Circomméridiennes

La méthode des culminations ne permet qu’un seul pointé à chaque passage au méridien : elle ne comporte pas l'emploi de la répétition ; elle se trouve en défaut si, à l’instant précis de la culmination, un nuage vient cacher l’astre; enfin elle n’est pas applicable à l’usage du théodolite ordinaire, avec lequel on mesure toujours la double distance zénithale. Pour ne pas perdre les avantages résultant du fable mouvement en hauteur aux environs de la culmination, on emploie fréquemment la méthode des distances sénithales circommédiennes.

Une hauteur quelconque d’un astre peut donner la colatitude si l’on connaît l’angle horaire : il suffit de résoudre la formule fondamentale par rapport à À. On peut toujours supposer la distance zénithale déterminée dans tous les cas avec la même précision, sauf les erreurs de réfraction; mais l'évaluation de l’heure donne heu à deux erreurs :

1° Erreur d’estimation de l'instant du pointé ;

2° Erreur de l’état absolu du chronomètre,

Les meilleures conditions d'observation sont celles où une erreur donnée sur l’heure produit la moindre erreur sur la colatitude.

Différentions donc la formule fondamentale en ne faisant varier

CHAP. VI. — DÉTERMINATION DE LA COLATITUDE. 13 que P et à, il vient 0 = — (cos à sin À + sin cos] cos P ) dX — sinà sin À sin P 4P. et comme

cos sin À — sin3 cos À cos P -— -- sin& cos A, on a

sin à sin À sin P di = — D — 1 œ ) dT ar oÀ dP sin À tang À.

Pour une valeur donnée de dP, dX sera d'autant moindre que P ou À seront plus petits; pour P = o° ou P — 180°, dX sera nul. C’est ce qui arrive quand l’astre est dans le méridien. Ce sont donc les hauteurs voisines du méridien qui sont les plus avantageuses à ce point de vue. De plus la culmination supérieure correspondant au maximum de hauteur est affectée d’une moindre réfraction que les autres hauteurs du même astre.

Il ne faut pourtant pas que € soit trop petit : les observations très voisines du zénith, assez difficiles à faire, ne sont pas favorables à la précision, comme le montre la première valeur de dx et comme on s’en rend facilement compte à priori. Ce qui constitue en effet l'avantage des circomméridiennes au point de vue de la détermination de la colatitude, c’est la lenteur du mouvement en distance zénithale aux environs du passage méridien. Or un astre qui culmine au zénith se meut rapidement en distance zénithale aux environs du passage : sous l’équateur, ce mouvement est même égal au mouvement en angle horaire.

Le calcul de À peut se faire avec la formule fondamentale

cost — cosô cos + sin Ô sin À cos P.

Faisons cos — asinv, sin 0 cos P — a cosv, il vient : £ cosé cosÜsing cosCcoso 6 Sin (o+À) = d— - D 7, (6) (e ) a cos à sin cos P

l'angle auxiliaire + étant donné par la relation

coto — cos P tangà.

Bien que cette formule offre l'avantage de donner une vérification

14 LIVRE Il. — DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS GÉOGRAPHIQUES.

du calcul par les deux valeurs de sin (9 + x), elle n’est guère employée quand P est petit. Abstraction faite de l’ambiguïté qui résulte de ce que 9 + À est donné par son sinus, difficulté assez facile à lever dans la généralité des cas, puisqu'on a toujours une valeur approximative de x, le calcul est assez long et exige l'emploi de logarithmes à six décimales. On peut appliquer ici une méthode d'approximations successives.

La formule fondamentale s'écrit en effet

(7) COsE — cos (À — à) — — 2 sind sin À sin? + P ou (8) sint(i —0+C)sim£ (A — 5 —E€)— — sinû sinÀ sin° 1 P.

Posons maintenant —2 + fr; comme, dansle méridien même, A—D+{—0, x est une quantité assez petite dans son voisinage; on l’appelle réduction au méridien (\).

Éliminons { au moyen de cette relation, la formule (8) devient

sin$æsin( —à— 1x) ——sindsinÀsin !P, ou encore æsiniæ sin à Sin À . 21D Sin(À — à) a =—— — 2 sin?#P— —— : :

Sæ sin(À— 0) fn sin(}—0—:;:x)

Or on à, aux termes du quatrième ordre près,

Sin # 7 4 — /cosa (formule de Maskelyne),

car on vérifie aisément qu’en négligeant les termes en 4,

IS en SIN 0 Sin À

TONCADDSANT A MR sin (À — à)

> et calculant avec une valeur ap-

(*) Ne pas confondre avec la correction de même nom relative à l'emploi du cercle méridien ($ 90). Cette dernière est la différence entre un arc de grand cercle de déclinaison et sa projection par grand cercle, soit entre deux distances polaires ; celle qui nous occupe est la différence entre deux distances zénithales, ou bien la distance de deux petits cercles de hauteur.

prochée de à, SNL 0))

See 3 ZNCOS ir — 2 a sin LP — = =.

(9) 5 ? sin(i—d—1x)

On prendra pour première valeur de x

La deuxième approximation sera

sin (À—Ô) I

sin (À — 5—1E) Vcosit

Elle suffira en général; sinon on substitue £/ à £ et l’on refait le

calcul. Finalement, après avoir divisé la correction par sin 1”, Ro Cm LUE

Cette formule a l'avantage de ne laisser subsister aucune ambi-

guité, relativement au signe de la correction. 93. — Formule de Delambre.

La formule des circomméridiennes de Delambre est plus élé-

gante. Revenons à l'équation (5), dans laquelle nous faisons

— 2sin èsin sin !P— b,

(ô—À)=7y et

elle prend la forme

Cosé — cos y + b

et € peut se développer par la formule donnée au Paragraphe 7. Si l’on pose comme précédemment

sin Ô sin À — le)

CO or RE sin(è — À) ce développement donnera, après substitution des valeurs de y et

de b Ç—0—)+2asin?4P —2cot(5—à)asint&P + ...,

Ici la réduction au méridien se présente sous forme de série. Dans cette formule, x, 3 et € sont exprimés en partie du rayon : en les divisant partout par sin 1”, ils se trouveront exprimés en secondes d’arc et la colatitude sera

Hosni Œcot (0 — À) ———.

2 sin? 1 P t . — Sin I

Sin 1”