Développements en série

Il est souvent plus avantageux et pratiquement plus exact d’employer les développements en série pour les calculs numériques. On y parvient généralement par les formules de Taylor et de Mac-

laurin, ou par la méthode des coefficients indéterminés. Rappelons les développements les plus usuels :

; de GA gt SIN T — æ — BE — 9 —— +...

M IPS TD, (1:29.4:040:7 É js 2 x* PA COST — 1 — :

TICT.2,00h Lt OU se pes ne DE k. DU ANT a > Rene F HE PO Se PAR PR nt ; ÉRIC NE T'ON T" à Log(r RE D es 3 mg not) (pour æcomprisentré Es Gr Ge GR

JE = + À = + 1 Me 1279

Les formules de Moivre :

EX VTT = cos x + V—1sinx, ET V1 cos x — V—1sinx, 2cosæ = EVE V1 UV Fe D ES vo EX VTT cosmax + V—1sinmæ —(cosx+V/—1sinx)", utiles pour le calcul des arcs multiples ;

sinæ 3sin°æ

arCæ = Sin æ + a +...

2.3 NO î tangÿæ tangÿæ ALCHONETE 3 6) MON À m(m—1)(m—2 (Gi+æ)"—1+ max - ) ve )( TAG T2 DA

Cette dernière pour x < 1en valeur absolue, positif ou négatif,

(!) Nous désignons par Log les logarithmes népériens, et par log les logarithmes vulgaires; E sera la base des logarithmes népériens pour éviter la confusion avec e, excentricité.

Caspari. — Astronomie, I. 2

18 LIVRE I. — COORDONNÉES VRAIES ET APPARENTES. et toutes les valeurs de » positives, négatives, entières et fraction-

naires.

Il est évident qu'avant d'employer une série quelconque il faut

s'être assuré de sa convergence. Quand on veut calculer un petit terme de correction, on opère

quelquefois par approximations successives.

Soit l'équation o(x,y)—=0

que l’on ne peut résoudre par rapport à y sous forme explicite, ou dont le calcul des racines serait trop pénible. IL arrive souvent

qu’on peut la mettre sous la forme 7y=Ÿ(x)+0(x,7),

dans laquelle les valeurs numériques de 6 sont petites par rapport à celles de 4. On prend alors comme première valeur approchée ne —Y (x);

on calcule 0 (æ,y,) el on substitue dans la valeur de y, ce qui donne une deuxième approximation

Ja=Ÿ(x)+0(2,71), puis une troisième si c’est nécessaire Ja = Ve) +0 (a72).

La légitimité de ce mode d'opération se reconnaît le plus simplement quand la différence des deux valeurs consécutives y, et Ynxa est une quantité négligeable d’après les données de la question.

Le méthode des coefficients indéterminés est souvent uuüle, et se combine parfois avantageusement avec celle des approximations successives.

Soit, par exemple, à résoudre l’équation

cosà — cos À cosËé — sin À sint cos A

par rapport à cos À, lorsque £ diffère peu d’un angle droit.

Si € était exactement égal à un droit, on aurait

COS — — sin À cos À ; calculons donc s cos è COS 7, £ sin À

puis posons, {—90°—h}, A—A,+e, : étant un petit arc à déterminer. Il viendra, après avoir substitué dans l'équation primitive,

0 = sin A cos À + sin} cos A [cos A, (1— cose) — sine sin À, |, d’où l’on üre, en négligeant les termes du troisième ordre en k etz,

0 — hcosÀ — sin À É cos A, — esinA. ).

£ est du même ordre que À ; on peut donc négliger :? et écrire

____ hcotang] (9) CET: 3 Eu 5. — Séries trigonométriques.

Nous rappellerons ici que toute fonction périodique peut être représentée par une série de la forme

J(z) = à + &cosx + a,cos2x + a;cos3æ + ... + d, sin æ + b,sin2x + b,sin 3x +...

ou de celle-ci, qui lui est équivalente, f(æ) = & +asin(x — A) +Bsin2(æ—B)+ysin3(x—C)+... séries finies ou infinies suivant la nature de la fonction.

Les séries trigonométriques jouissent de la propriété suivante :

: 2T soient 7 et À deux nombres entiers, et K — —, on a ñ

( sin AK + sin 22K + sin 3AK +... +sin(n— )AK —o, 107) 1 + cos AK + cos2XK + cos34K +... + cos(n —1)AK —0,

en exceptant pour cette dernière relation le cas de AK —2mrx,m

étant un entier, c’est-à-dire À multiple de n; dans ce cas la valeur du second polynome est égale à n.

On a en effet

cos K + V—1sinK ee à donc Tr;

n—1 TNT Le À br n—1 Mar — ZE coshrK+ÿ—1X) sinkrK=X, Three

et comme T2 — cos 2 À 7 + — 1 sin2 AT = I,

les deux sommes Ÿ sont généralement nulles, sauf le cas où le dénominateur T#— 1 est nul aussi, c’est-à-dire

2 hr ho DT cos VE SIN —— —1, D) n

See OL x a :

ce qu CXI9E que PL entier.

Alors la vraie valeur de la fraction, cherchée par la méthode de Lhôpital, est n.

6.— Transformation des coordonnées avec changement d'origine. Formules générales de la parallaxe.

Examinons seulement le cas où deux systèmes d’axes sont parallèles entre eux. Le genre de coordonnées que nous considérons est celui des coordonnées polaires : un point de l’espace est défimi par sa distance D à l’origine, par l’angle 0 de son rayon vecteur avec la partie positive de l’axe des 3, et par l’angle 4 que la projecuon du rayon vecteur sur le plan xy fait avec la partie positive de l'axe des x.

Soit un système d’axes parallèles aux précédents. Convenons d’affecter les lettres sans accent au premier système, les lettres accentuées au second. Soient enfin p, 04, d, les coordonnées polaires de l’origine du second système, a, b,c ses coordonnées rectangulaires, par rapport à l’origine du premier système. On a

æ = x'+ a = D sin cos, J =J' + b—=Dsin6 sin Ÿ,

| 2—20-C0 —Dcos(,:

Remplaçant x’,7',2', a, b, c par leurs valeurs de même forme, les formules de transformation seront

(11) D sin 0 cosh — D' sin 0’ cosŸ'+ b sin 0, cost;, (12) D sin 9 sin Ÿ — D' sin 0 sin ÿ/ + o sin 0, sin 4, (13) D cos9 — Dhcosÿ” + p cos.

Multiplions (11) par siny, (12) par cos et retranchons-les membre à membre :

(14) D'sin0’sin(4" — 4) —psin0, sin(Ÿ — 4).

Multiplions (11) par cost, (12) par sinŸ et additionnons : (15) D'sin0’ cos(4' — 4) — D sinô — p sin0, cos(b —Ÿ;).

Posons maintenant

o sinÜ, NN = ——; D sin 0?

il vient d’abord, en divisant membre à membre les équations (14)

ét (15),

(16) tang (d'— 4) — m sin(d—4;)

I — 7 cos(d — 4)

Reprenons les équations (14) et (15) : multiplions (14) par sin +(Y — 4%), (15) par cos 1(4/ — 4); ajoutant membre à membre, nous aurons, en divisant par cos +(4"— 4},

cos | di —

DS Dennoe & 2 , (17) sin@ = D sin0 — p sin, LATEST UE

DD cos [4 — TS ) = tang 0,,

cos (Ÿ — 4)

la formule (17) prendra la forme

Posons encore

(18) tang y —

179 Dis D'sin0/ — D sin0 — po cos0, tangy.

Soit enfin D' (19) = Re

les formules (17 bis) et (13) deviennent respectivement (20) fsin 0 — sin 0 — nsiny, (21) f cost = cos0 — ncosY.

On peut encore déduire de ces formules des expressions qui sont très souvent employées. On multiplie (20) par sin 0, (21) par cos 0, on ajoute :

(22) fcos(0! — 6) = 1 — n cos(0 — y).

On multiplie (20) par cosb, (21) par sin, on soustrait :

(23) fsin(9"—6)—nsin(s —).

La division de (23) par (22) donne nsin(0—+)

/ œ Nu RE ee.

(2%) de er 1—7COS(0—7)

et, en élevant les deux membres de chacune des équations (22) et (23) au carré, et ajoutant,

(25) ff=1+r —2ncos(0 —}),

le système des équations (16), (24) et (25) est équivalent au système primitif (11) (12) (13), et les équations sont résolues par rapport aux inconnues D’, 4 et Y.

On obtient encore une relation (mais qui n’est plus distincte des trois précédentes) en retranchant l’une de l’autre les équations (17 bis) et (13), après les avoir multipliées respectivement par

cosy et sir Yo

(26) D'sin(9—}) —Dsin(0— y).

Ces diverses expressions résolvent dans sa généralité le-problème des parallaxes, qui n’est autre que le passage d’un système de coordonnées à un autre système parallèle.

Ainsi qu'on le verra plus tard, la quantité & est généralement petite par rapport à D et D’, et alors les formules se prêtent très élégamment au développement en séries.

Les équations (24)et(25) sont précisément de la forme de celles

qu’on emploie pour calculer un angle À et un côté À d’un triangle rectiligne, dont on connaît les côtés &, b et l’angle compris C. Si l’on pose

= Sin, AY:

on a, en remarquant que B— 180° — (C + y), l’analogie des sinus

siny = Fsin(C +Y) d’où l’on tire n sin C (27) tuer 1 ncosC

et la formule connue C— a bn) abcosQ

devient de même

(28) ff=1+ nr —ancosC.

£ . Cp Er :

Si l’angle y est petit, 5 diffère peu de lunité et son logarithme

sera une petite fraction.

Pour développer en série les deux formules (29) et (28), diférentions-les en considérant C comme variable indépendante, y et fl comme fonctions de cette variable. Il vient

dy = ncosC— n° TOME no ncCosC € n sin C

fdC 1+n—2ancosC

etl’onestamené à écrire la relation équivalente aux deux précédentes

dy df Dr MP EE cosCO + V=rsmC OU AC \ ii) 1+ n°? — 2ncosC

Le cosC +V/—1sinC | Dar = > (cos 0 __UVnsnC)

Effectuons la division algébrique et égalons séparément entre elles les parties réelles et les parties imaginaires, nous aurons les

Caspart. — Astronomie, I. 2h

séries infinies

D = n cos + nt cos2C + n° e058C +

d : z ; 2 — nsnmC—+nsin2C + nisin3 C++.

Fac | convergentes pour toute valeur de 7» inférieure à l’unité. Dans cette hypothèse on peut les intégrer et l’on trouve

2 3 (29) ÿ =nsin CH sin2C+ + sin3C+..., 2 - 3 (30) Logf — — n cosC —c0s2 C —% cos3 C — +

On calculera le logarithme vulgaire en multipliant par le module M. Les équations (25) et (28) sont équivalentes au système

fsny=—nsinC,

fcosy — 1 — n cosC,.

qui se trouve également résolu par rapport à f'et y. Sila deuxième équation était

fcosy = 1 + ncosC,

on reviendrait au premier cas en remplaçant C par son supplément.