Méthode Talcott

Nous indiquons encore le procédé Talcott pour déterminer la latitude sans cercle divisé, soit au moyen du senith-telescope des Américains, soit à l’aide d’un cercle méridien dont le cercle de calage ne donne qu’une approximation grossière. Il faut pour cela que la lunette soit munie d’un micromètre à fil mobile, dont le pas de vis aura une valeur connue. Supposons qu'on se serve du dernier instrument cité. Il conviendra dans ce cas, pour augmenter la précision du nivellement, de remplacer le petit niveau parallèle au cercle par le grand niveau, plus sensible, si l’on a les moyens et lhabileté nécessaires pour faire cette substitution. On fait tourner le micromètre de 00°, de manière à rendre horizontaux les fils horaires et le fil mobile qui leur est parallèle. On choisit alors deux étoiles qui culminent à peu près à la même distance de part et d'autre du zénith. Soit À la colatitude, dont on doit avoir une valeur approchée,

les étoiles qui satisfont à cette condition satisfont aux relations

GEÈ Y, CES ou — À $ . 2 L

exactement ou à peu près,

On observe la première étoile cercle à l'Ouest et on la pointe avec le fil mobile. Puis, sans toucher au calage de la lunette, on retourne celle-ci sur ses tourillons, la deuxième étoile passera dans le champ de l’instrument ainsi placé, et on la pointera également avec le fil mobile. On aura soin d'amener le niveau entre les mêmes repères, où du moins on fera les lectures D et T du niveau dans les deux positions. La différence des deux lectures du micromètre M“ M'est égale à la différence des distances zénithales des deux étoiles

CS Nos

par suite Ru MM, DT

M — Met D —T sont réduits en arc; le signe de la correction dépend des positions de la vis et du niveau, et se déterminera sans difficulté, On tiendra encore compte de la différence des réfrac-m Uions, qui est toujours une quantité minime.

La condition nécessaire au succès de la méthode étant la con slance du calage de la lunette, on ne peut pas employer le bain de

mercure pour la détermination du nadir.

103. — Colatitude par le temps que le diamètre du Soleil h met à disparaître à l'horizon.

Considérons, à l'instant où le centre du Soleil se trouve à l'horizon, lé plan vertical tangent en ce point à la sphère céleste. En raison de la peutesse du diamètre du Soleil, on peut admettre que le mouvement de lastre se fait dans ce plan. La portion de paral: lèle diurne décrite par le centre est perpendiculaire au cercle de déclinaison : par suite, angle que fait la trajectoire du Soleil avee la trace de l'horizon est égal à celui que fait son vertical avec le cercle de déclinaison, c'est-à-dire à l'angle à lastre du triangle dem

position.

GHAP: VI. — DÉTERMINATION DE LA COLATITUDE. #10.

- La relation

(23) COS À — cos Ô cost + sin sinC cost se réduit alors pour € — 90° à (24) cos À — sinô CO$w.

Soient P et P’ les angles horaires du centre du Soleil qui correspondent aux instants de contact des deux bords, l’arc de trajec- Loire parcouru par le centre pendant le temps P'— P est

2 sin£t(P'—P).

Sin Ô

cet espace projeté sur la trace du vertical est égal au diamètre D du Soleil, ou mieux à 2 sin! D; donc, d’après ce qui a été dit,

sint(P'—P)

— sing = sini{D.

Si donc on a observé les heures des deux contacts, on connaît P'— P, et l’on peut calculer sin : l'angle & étant connu, la colaütude se déduit de la formule (24 ).

Si l'observation est faite à l'horizon de la mer, on n’a pas exactement = 90° : la réfraction, la dépression et la parallaxe interviennent et l’on a en réalité € =- 90° + réfraction + dépression = parallaxe. Soit plus généralement { — 90° + y, y étant une petite quanuté. Dans l’ordre d'approximation que comporte cette méthode, et puisque l'on a établi les formules en projetant sur un plan, c’est-à-dire en négligeant les termes du deuxième ordre en P — P'et D, la valeur de & ainsi obtenue est celle qui correspond au triangle de position qui renferme = 90°+ y. Mais pour le calcul de à par la formule (24), on suppose € — 90°. Il y a done à corriger la valeur de & qu'on a trouvée par la formule (25).

Il suffit de considérer les variations comme représentées par les différentielles : différentions donc la formule (23) en y faisant varier {et w, remplaçons d£ par y, nous aurons

NES . DS COS à sin — sin cosË cost

le = =" RTE ee ; sind sin{ sin

NC) Le u , r \ . = Faisons sin£ = 1, remarquons que le numérateur est égal à sin}

cos À, et enfin-que sin sin,

Sin à — sin A?

il viendra dt — — y cotA.

Pour cotA, on peut prendre en va'eur absolue la tangente de lPamplitude occase. Avant calculé 5 par la formule (25), on introduira & — do dans la formule (24).

Le signe de dx est déterminé par ceux de cot A et de y : cette. dernière quantité est positive au-dessous de l'horizon, négative au= dessus.

ILest clair que l'observation en question peut se faire aussi avec une lunette munie d’un fil horizontal, pourvu qu'on soit à même de vérifier l'horizontalité de ce fil et celle de Paxe optique.

& étant calculé par son sinus, les conditions les plus favorables correspondent à de petites valeurs de cet angle, qui est d’autant plus petit que P— P'est plus grand.

D'autre part, x est donné par son cosinus, il ne faut donc pas qu'il soit trop petit. En fait, c’est entre les tropiques et les pôles que la méthode est applicable : plus près de l'équateur, 5 se trouve mal déterminé. £

On remarquera que l'incertitude de la réfraction près de l'horizon n'influe que sur le terme correctif : en effet, la réfraction est la même pour les deux observations.

Si l’on connaît l’angle horaire du Soleil, on peut appliquer une autre formule, qui est rigoureuse. Les distances zénithales du centre aux instants des deux observations étant

g0+y—ID et go+y+{#D,

en retranchant l’une de l’autre les deux valeurs de cost données

par la formule fondamentale, on aura

sint D cosæ — sin sin À sin L (P + P') sin £(P'— P),

el il suffit d’une valeur grossièrement approchée de + pour trouve À, à condition d’avoir £ se u is

Oril peut se faire qu en voyage on arrive en un point trop Lati pour déterminer la latitude par des observations méridiennes, mai assez tôt pour observer l'heure à l'instant favorable : dans ce cas,

GHAP. VI. — DÉTERMINATION DE LA COLATITUDE. 43

el en procédant au besoin par approximations successives, on peut trouver à la fois l'heure, l’azimut et la colautude.

104. — Colatitude par le temps que met le Soleil à passer par un vertical.

La méthode qui précède ne donne de bons résultats que sous les hautes latitudes. Près de l’équateur, la durée du passage varie peu avec la colatitude, et une petite erreur sur l'évaluation de lintervalle en occasionne une beaucoup plus considérable sur le résultat. Mais en remarquant qu'à l'équateur la trajectoire apparente des astres à une certaine distance du méridien est très près d'être verticale, on est amené à observer le temps que met le Soleil à traverser un vertical éloigné du méridien, en mettant à profit la lenteur de son mouvement en azimut.

On installe une lunette mobile autour d’un axe horizontal, en apportant un grand soin au nivellement de cet axe et à la rectification de la verticalité du fil. Pour réduire les erreurs dues à ce que cette dernière rectification est imparfaite, on observe les contacts avec le fil vertical à son intersection avec le fil horizontal.

On note au chronomètre l'instant £ du contact du bord qui mord, puis l'heure 4! du contact du bord qui démord. Entre ces deux observations, on peut prendre des distances zénithales avec un sexlant, de manière à interpoler la distance zénithale£ du centre du Soleil pour l'instant moyen +(4+ 4") du chronomètre. Soient 5 et s' (fig 55) les positions du centre aux heures £ et #', 1 D le demidiamètre tabulaire ; les contacts ont été observés aux points b et D du disque, et l’angle 5P3= #'— {1 — 2p est connu. Menons par & et 5 un arc de grand cercle; on voit aisément que les triangles sbS et s'L'S, rectangles en b et D’, et dans lesquels b5 = br —+D sont égaux, etque S est le milieu de 55° et de bb". On peut admettre sans erreur sensible que les points b et D! ont les mêmes distances zénithales que & et s/, etque la distance zénithale de S en est la moyenne €. On peut aussi négliger la variation de la distance polaire pendant le petit intervalle 2 p.

Cela posé, le triangle isocèle 5P est décomposé par PS en deux triangles égaux, rectangles en S. Ge point S n’est pas une

des positions du Soleil, n'étant pas sur le petit cercle que décril lastre, mais sur un grand cercle passant par 5 et 5. Les de angles en P sont égaux entre eux et à p.

Les côtés S3—S; —zx seront donnés par la formule. triangles rectangles

(a) sinæ — sin sinp.

Fig. 57 724 l'A Du A Ve + 4 A N 1e Se URLS RIRE res 2 eee Es \ er NES \ | real = et \ Sa si $ | XX À| { Ces ]

Le côté PS, que nous appellerons 5,, diffère peu de P3 = 3 se calcule par

tangà, — tangà cos p Le : L ou, si l’on voulait, par le développement

; tang? 1 p sin 2 à

sin1” TES D,

I est maintenant facile de trouver l'angle parallactuique 5 — PSZ Puisque PS3" est droit, & est le complément de $'S ?’, et d’après la formule connue des triangles rectangles,

siniD sintD

(b) cosw — sing S b'— — = ——< sinZ sinosinp

. . ‘1 Enfin le triangle PSZ nous donnera la colatitude par la form

(c) cos À — cosû, COsÈ + sin à, sin£ cost, rh

dans laquelle tout le second membre est connu. Elle peut se cal culer directement ou par les logarithmes d’addition. On peut auss poser

sin, sin ti D

- - = m Sins COS, = /N COS Y Sinà sinp té : is

= ea

? * [2 A et calculer l'angle + par

sin + D sinô, cotp sin + D

Ÿ sinpcosü sind cos à

(d) E tang

et À par

; Gosô, cos (o —) cos cos(# (e) cos À — FRE PRE G Cosw. . COSæ COS

Les formules (a), (4), (e) résolvent le problème. Elles donnent À par son cosinus, et le déterminent par conséquent très bien sous les basses latitudes.

Pour examiner les conditions de précision, différentions (c) en y faisant varier À, Cet &; on trouve, après une substitution évidente,

(f) FR auto eng

sin À

Pour évaluer d5 en fonction de dp, différentions l’équation (b)

en petw

Ve dp :

tango Lang p qui montre d’abord que & est d'autant mieux déterminé qu'il est plus voisin de oo°et que p est plus grand. Cette relation substituée dans (f) donne

di= — cos À dE + Heete dp sin À tang p

et nous montre :

Que l'erreur sur la colatitude, provenant de celle qu’on a commise sur la distance zénithale, est nulle lorsqu'on observe dans le premier vertical ;

Que, pour réduire au minimum l'erreur provenant de l’apprécia- Lion de l'intervalle 2p, les conditions favorables sont :

À voisin de 00°, c’est-à-dire qué l'observation convient sous Îles basses latitudes ;

€ petit, condition qui se concilie avec la précédente aux époques où le Soleil culmine près du zénith;

& voisin de 00° (digression) ou avant sa valeur maximum (pre-

mier vertical) ;

p aussi grand que possible, c'est-à-dire que lazimut du Soleil doit varier lentement; cette condition résulte des précédentes, A ou & voisins de 00° en même temps que à.

La connaissance de lazimut peut: remplacer théoriquement celle de la distance zénithale. On a alors

SIDA = SIN D 2 sin À ?

mais si À est voisin de 00°, son sinus le définit mal. Cela était à prévoir, car lorsque l’azimut varie lentement, 1l n’est pas propre à donner l'angle horaire ou la distance zénithale.

Si, au contraire, on connaissait l'heure (par exemple par la

méthode des hauteurs correspondantes), on aurait COLA sinû, = cotw sin P + cosà, cos P et l’on calculerait directement, ou en posant