Calcul des longitudes

Le problème des longitudes se pose différemment, selon le nombre des observations faites et les données dont on dispose.

PREMIER Cas. — À l’époque zéro, on part du point A où l’on à déterminé l’état absolu et la marche. À l’époque t, on arrive au point B et l’on y détermine la correction du chronomètre. La longitude s'obtient dans ce cas en calculant avec la marche primitive, supposée restée constante, l’état absolu pour la date 4, et faisant sa différence avec la correction observée (corrigée de la température). Ce problème est celui qu'on rencontre dans la pratique de la navigation. Soient E l’état en A, » la marche observée, C la correction observée en B. La longitude de B à l’ouest de A sera

G—=E+mt—[C—cE(8 —0}]

DeuxiÈME cas. — Si en B, on a observé la marche m7’, on peut admettre comme deuxième approximation que la marche moyenne de la traversée est £(m + m'), et l’on remplacera m par cette quantité dans la formule précédente. Dans ces deux cas, on ne possède aucun élément pour déterminer la différence de marche en rade et à la mer. On manque donc de vérifications, quand on opère avec un seul chronomètre. Lorsqu'on en à plusieurs, la vérification résulte du degré de concordance des résultats donnés par chacun (').

MROISIÈME Cas. — On visite successivement les points À, B, C, D ; on y observe les états etles marches aux époques #, #', €”, 4". On connaît la différence de longitude des points extrêmes A et D. Alors

(:) Les considérations développées plus loin (2? 132) s'appliquent plus spécialement au calcul de ce deuxième cas.

a, b, c, d étant les marches, on calcule la différence entre A et 5} au moyen de la marche ? (4 + b), celle entre Bet C au moyen del marche } (b + c), celle entre C et D par la marche +(c + d). La somme de ces différences (en ayant égard aux signes) doit donner la distance connue de À à D, qui peut être nulle si l’on est revenu au point de départ. L’excès du résultat du calcul sur cette quan tité connue donne l’erreur résultant de l’hypothèse faite sur les marches. Il s’agit de reporter cette erreur sur les longitudes inter médiaires en cherchant la répartition la plus plausible. Nous avons vu plus haut que lindétermination du problème force à faire une hypothèse de ce genre; c’est ici qu'interviendra par conséquent la recherche de cette hypothèse, qui caractérise les procédés divers proposés jusqu’à ce Jour. : 0 On trouvera un exposé très circonslancié des méthodes appro priées à cet usage dans les Recherches chronométriques, publiées en 1859-62 au Dépôt des Cartes et Plans de la Marine par MM. Delamarche et Ploix.

Bornons-nous à en exposer ici l'esprit, La ‘pratique la plus ancienne, et qui est encore souvent suivie consiste à répartir l'erreur finale sur chaque différence de longi tude, proportionnellement au temps écoulé depuis le départ. Daussy admet que c’est la différence seconde des marches de la traversée qui est constante. Les marches deviennent ainsi des fonctions paraboliques du second degré du temps. 1 Vincendon-Dumoulin et Coupvent-Desbois déterminent la fonction inconnue qui représente l’état absolu en fonction du temps, en se servant de la formule d'interpolation de Lagrange; ils en déduisent les marches de la traversée, avec lesquelles ils calculent les longitudes. 4 M. Ch. Ploix prend le même point de départ; il représente a marche par un polynome entier ayant le nombre de termes qu'il est possible de déterminer par les diverses observations de

temps et pour ordonnées les marches, et remarquant que l'aire de cette courbe représente la variation d’état, il arrive, comme Vin cendon-Dumoulin, à l'emploi de la formule de Lagrange; mais résultat définitif se distingue du précédent par un calcul plus simp et en même temps plus rigoureux. Soient Yo, ÿ1, Ya, «.. , Ynlé

… marches observées aux époques æ5, 1, Z2,... , Zn en des heux - différents; la courbe des marches a pour équation

À Bon) (x — x)... (x —+;) (re) GRANGE 2)

Cm ti) (Lo — La) : . . (Lo — La) PRE NE Nr SE BIO nu ÉD dro a sr C/O CDD ONC LE Le (Dm) Dr Rte

É (ln Lo) ne LA) .. (En —Ln1)

; er 1e £ : ; !

Représentons par 09, d4, do, . . .Ôn les dénominateurs connus. Soient :

æ la somme des produits un à un des x;; & la somme des produits deux à deux;

0, la somme des produits 7 à n.

La variation d’état à une époque x est donnée par

1 PL cel n—1

Va NEA %p \ & Oo EoN Te 109

SE D Fo Ale Ne PA dp/N+HI 09 nm 09 I 09

Enfin l’erreur finale se répartit sur les états de la traversée pro-

portionnellement au temps.

Nous n'insisterons pas plus longtemps sur ces méthodes qui conduisent généralement à des calculs assez longs, et nous allons en exposer une,qui nous paraît plus simple et plus pratique, Remarquons d’abord que dans le problème qui nous occupe, les marches et les états ne sont que des intermédiaires, et que la véritable inconnue est la longitude. Il est donc conforme aux usages de l’Astronomie de faire figurer explicitément cette inconnue ou la correction de sa valeur approchée dans les formules du problème.

Remarquons ensuite que la condition arbitraire à laquelle on assujettira les marches ne s'impose pas avec évidence; on peut se guider sur le sentiment de la continuité; mais on peut aussi, en considération de la nature supposée accidentelle des erreurs dont s'agit, recourir aux considérations tirées de la théorie des erreurs. Ces considérations seront exposées plus loin; le détail en est inutile pour l’intelligence de ce qui va suivre.

Reportons-nous au Paragraphe 127. Supposons les x connus, et considérons la courbe qui a pour abscisses les temps et pour ordon-

nées les états absolus, c'est-à-dire les C + x. Si la marche étai uniforme, celte courbe serait une droite. C’est le cas idéal, celu vers lequel on tend par le perfectionnement du chronomètre des méthodes d'observation. Nous aurons donc un résultat plæ sible si nous obtenons des valeurs de x telles que la ligne bri résultante diffère le moins possible d’une droite, tout en satisfaisan

aux conditions qui résultent des observations mêmes. 4 Soient :

a la longueur d'un des éléments rectilignes ; v. l’inclinaison de cet élément sur l’axe des temps; r l'intervalle en temps de deux observations consécutives ;

Fig. 56.

q la différence de deux états consécutifs, ramenés au temps dû 4 L A premier méridien : on aura y

tant Fe A'COSL=T:

ot r ,

d’où

que possible d’une droite, sa longueur doit être la plus courte pos sible ; 1l faut donc rendre la somme Ya& un minimum. t Faisons voir d’abord que dans le cas présent, cela revients au même que de chercher le minimum de Ya.

En effet, nous pouvons connaître des valeurs très approch

avec une valeur constante de la marche, déduite de la compa son des états extrêmes observés en des points connus.

Dans ce cas, les x ne seront donc plus que de petites corrections, et Ja ligne brisée des états absolus vrais sera déjà assez voisine de la droite qui joint les points extrêmes. Cela étant, on peut considérer les inclinaisons < de ces éléments sur la droite C, Ch comme des quantités très petites du premier ordre. Soit b la longueur de celte droite, et supposons trouvé le minimum Ya correspondant aux conditions du problème. Ce minimum existe évidemment, il est déterminé ; 1l diffèrera de b d’une quantité très petite 8 qui est également déterminée et peut être considérée comme une constante inconnue. On a donc les relations

4076, Da cose — 0,

puisque la droite b est la somme des projections des droites «. Affectant les & et les : d'indices &j pour les distinguer les uns des autres, et élevant au carré Za, nous irons de là

Da? + Ya; a; =D +2bp+f et

Èg/C0S ce; LR Da;a;cose;cose, —b?,

et en faisant la différence, DGA cos s;) Da; a;(1— cose;cose;) — 2 b6 + E?. | D'ailleurs, en faisant la différence des deux premières relations, | Da;(i —cose;) — 6.

On voit que 6 est du deuxième ordre en +. Négligeant alors les quantités en 2* et 8°, on aura

Da = 2024},

Let puisque B n’est pas variable, le minimum de Ya? correspond aux mêmes valeurs de a que celui de Ya;, et réciproquement.

Cela posé N 2 SrA g Ni PSE TN NE RES | NT gd) — T2 q;.

Comme Y+? est une constante, le-minimum de Ya? correspond à celui de 24? qu'il s’agit de trouver.

Rappelons que

qi (GC; ee QUE CE)

128 LIVRE IL. — DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS GÉOGRAPHIQUES. el par suile Dai rt FIG GS) EEE EI

il s'agira en dernière analyse de chercher les valeurs de æz qu rendent minimum le terme entre crochets. ;

Par hypothèse, les longitudes des points extrêmes sont connues donc x, et æm sont nuls. Si l’on pose

[(C: — Ci) +(ri- tin) = g(u), on a la différentielle totale

dg(u) —2o(u)du

ou bien d[(G—CG; 1) +(aei--z:)} =) [(G: — C;:) Sie (&; — Le) (dx; — d'E; AY:

sera

2 [(Gi — Co+æi)—(C —CG+z—2)]dæ, + 2{(Ce— Ci +ars — 2) — (C3 — Co + rs — 2:)]dæ

condition du minimum, on arrive aux équations suivantes :

C++ CG —2G —=27 — 2, Gi CG —2G— 2m — 7 —Z%;, Dre nr,

Y — (es de (CFE se SX EFRE = 2Lne — Cm 7 Lm—s) es IS Chr Ses LORS = 2Lp4 — Lyme d

Malgré le grand nombre de ces équations, l'élimination des ir

première équation une valeur de x,, de la dernière une valeur d Zm et substituant ces valeurs dans les deuxième et avant-derni équations. Dé celles-ci on tire +, et x»2, que l’on substitue dan les équations immédiatement voisines, et ainsi de suite.

On arrive ainsi aux solutions, qu’on peut mettre sous la forme

Mt =(m—1)G —-mO +C»,

Mt, =(m—2)CG —mCG +20,

Mama —=20—mO» ;+(m—2)C, MEm =. Co— MO 1 +(m—1)C,,

et l’on vérifie aisément que ces valeurs satisfont en effet aux équations proposées.

On remarquera que c’est bien un minimum que nous avons obtenu : car on peut représenter les équations primitives du problème en donnant aux x; des valeurs arbitraires positives ou négatives aussi grandes qu'on le veut, ce qui allonge sans limite la ligne brisée Za : il n’y a donc pas de maximum, mais bien une valeur plus petite que toutes les autres, et c’est celle que donne la méthode.

Il est curieux d'observer que les intervalles + de temps ont disparu de la solution et que celle-ci ne contient que les états absolus multipliés par des nombres entiers. De là une grande simplicité de calcul, relativement à toutes les autres méthodes qui font intervenir la considération des marches. On est dispensé du calcul des dates et de la réduction à des heures uniformes.

Nous allons considérer un cas particulier très intéressant. C’est celui où, partant d'un point À, on visite successivement les points B, C,...,E,F, G, puis on revient de G Pan FLE; 7400, Ben A C’est donc un cycle fermé d'observations qui impose aux marches de satisfaire à certaines conditions, car on connaît la marche de À en À, de B en B, etc., et celle observée en G.

On voit alors facilement, en combinant les valeurs symétriques, que

Fe | F2 o% 2Lh — IL pp — QUE (US FF Cp + Cr

Il peut aussi se faire qu'on connaisse une relation entre deux des x : en Pintroduisant dans le calcul, on aura des simplifications analogues pour la détermination de ces valeurs.

En général, cette méthode donne des valeurs qui satisfont à toutes

Caspari. — Astronomie, II. ()

les relations obligées qui existent entre les diverses observations

toutes les observations interviennent en effet dans le calcul. Les longitudes dépendent bien uniquement des marches

mer. La seule restriction, c’est que si l'on fait aux points extrême

les marches observées en rade à la détermination des coefficien d'accélération ; mais un seul état doit figurer dans les équation celui qui est le plus voisin de la traversée : l'introduction des au aurait pour résultat de mêler des marches en rade et des marches la mer, et l’on perdrait l homogénéité des données. k Pour la même raison, une série de calculs ne doit comp que les observations comparables entre elles, comme on l’a dé fait observer.

Pour la recherche du minimum, nous avons dû supposer x petit afin de pouvoir supposer Èa? minimum èn même temps que Ïa Mais, dans le résultat définitif, la condition de petitesse imposé aux æ; disparaît.

En effet on a m—p

Th = Co LEA ch Pr Ps Xe nt

Soit X la longitude admise pour ce point comme première appro: ximation ; soit C, le retard réellement observé sur le temps loca On a, X désignant une longitude ouest,

C=C,+X D'ailleurs la vraie longitude est

X + Th — LEE d'où

Cor Ch x.

Substütuant dans la première équation, on a F

On n’a done pas besoin de calculer au préalable une valeur a ppro-

CHAP. IX. — DÉTERMINATION DE LA LONGITUDE GÉOGRAPHIQUE. HOIr

chée de la longitude : celle-ci se déduit directement des états observés.

C,, seul doit être réduit au même méridien que C,, c’est-à-dire au méridien de départ qui est supposé, pour plus de simplicité, aNoir été pris pour origine des longitudes. Les x représenteront donc les longitudes elles-mêmes, et les C seront les corrections observées.

Cette méthode Joint à sa simplicité l’avantasge de donner le résultat le plus plausible, et surtout de fournir une règle fixe, et de faire ainsi disparaître tout arbitraire dans la manière de combiner les données entre elles. On remarquera que les nombres figurant Mdans les calculs ont tous le méme degré de précision; ce qui Warrive pas pour les marches.

Cela posé, voyons comment on utilisera un plus grand nombre de chronomètres.

On peut admettre que les erreurs de COMparaison sont négligeables, surtout si l'on a recours à la méthode des coïncidences. Les“erreurs d'état affectent ainsi de la même manière tous les résultats obtenus en un point, el se reportent intégralement sur la longitude calculée. Les relations nécessaires résultant des compataisons se trouvent satisfaites pour chaque valeur de Cp, etil n'y à plus à en tenir compte ultérieurement. Si Les chronomètres marchaient complètement d'accord, les corrections Lpy Lyy Bi Idéduites de différentes montres seraient égales entre elles. Il n’en eSbpas ainsi dans la réalité, mais chacune des valeurs différentes a la même probabilité, si l’on n’a Pas constaté de perturbation indiscutable. La moyenne arithmétique des Ch AS CR On ee ira donc la valeur la plus probable de la correction. Nous donnons ici un exemple d'application de la méthode qui vient d’être exposée. En 1858, on a fait la série d'observations qui Suib'avec trois chronomètres et un compteur :