Projection de Mercator ou carte réduite

La direction suivie en Navigation est la route, déterminée par le cap du navire, c’est-à-dire par l’azimut de son plan médian longitudinal, tel qu'on le déduit de l'observation de la boussole ou du relèvement d’un point extérieur. L'idée qui s’est présentée la première a été d’avoir toujours le même cap pour une même traversée : on est ainsi conduit à parcourir une ligne définie par la condition de faire un angle constant donné avec les méridiens successifs. Pour tracer le plus simplement possible une pareille ligne sur la carte, il conviendra de la représenter par une droite. Tous les méridiens devant faire le même angle avec cette ligne dont ils sont des cas particuliers répondant à l’angle de route nul, on sera amené à les représenter par des droites parallèles entre elles, faisant, en projection, l’angle donné avec la route. Aucun méridien ne se distinguant physiquement ni astronomiquement des autres, on les fera équidistants entre eux. Le problème se pose donc ainsi :

Les méridiens étant représentés par une série de droites parallèles et équidistantes entre elles, on se propose de figurer par une droite la route qui fait des angles égaux avec tous les méridiens : déterminer le système de lignes qu’il faut adopter pour représenter les parallèles terrestres.

Ceci revient évidemment d’abord à chercher un système de pro- Jection dans lequel les angles soient conservés, ceux du moins que font entre eux des éléments de courbes tracées sur la sphère et partant d’un même point. Il suffit en effet de se rappeler que l'angle de deux directions est la somme ou la différence des angles qu'elles font avec le méridien de leur point de concours.

On voit immédiatement aussi que si ce système est trouvé, un parallèle quelconque, devant faire avec chaque méridien un angle droit, sera représenté par une droile normale à la direction con- Stante des méridiens : la condition de conserver les autres angles nous fournira (l’espacement de ces droites, et le système de projec-

tion sera déterminé.

La ligne qui coupe tous les méridiens sous un angle constant est: appelée la loxodromie : cherchons son équation sur la sphère. A cet effet, considérons le triangle infiniment petit bac : soit À — baN le supplément de l’azimut de la direction ba : on a

bc = — actangA — — mac

et si À est la colatitude de &, on aura

bc = b'c' sin).

De même

On üre de là (1) rdG sin] = —7n#r di; dG=—-m—;

et en intégrant

(2) G— mLogcot}i+ constante. 1

pour que cette équation représente une droite faisant un angle À avec l’axe de y.

(*) Nous représentons de préférence par L la longitude comptée en temps eb par G la longitude évaluée en arc. 1

Les degrés des parallèles auront, en vertu du tracé des méridiens, une longueur constante : à l’équateur un degré de latitude est égal au degré de longitude, et les degrés de méridien ou de colatitude vont en croissant depuis l'équateur jusqu'aux pôles où ils deviennent infinis. De là le nom de latitudes croissantes donné à l’échelle parallèle aux méridiens.

Sur cette projection, le triangle bac sera remplacé par un triangle semblable £xy, et l'angle Gxy égal à bac aura pour tangente m, ce qui montre la conservation des angles et la similitude des figures infiniment petites.