Interpolation

Nous ne considérerons ici que les méthodes qui permettent de calculer pour un instant déterminé les éléments qu’on tire des éphémérides astronomiques, et plus spécialement de la Connaissance des Temps. En exceptant la deuxième page de chaque mois des Tables du Soleil, qui a pour argument le temps vrai, et les étoiles, rapportées au temps sidéral, l’argument des Tables de la Connaissance des Temps est le temps moyen du méridien de Paris, compté de o" (midi) à 24". Le jour astronomique commence douze heures après le jour civil de même date.

L’intervalle de l'argument est 24" pour le Soleil et quelques planètes, 12" pour Vénus et Mercure, 3" pour les distances lunaires, 1" pour les coordonnées équatoriales de la Lune, etc.

Soit y, la valeur tabulaire de la fonction pour l’époque +5. Soit fe la raison arithmétique de l’argument, ou intervalle tabulaire. On forme les différences successives Av,, A?y,... avec les données de la Table, et on applique la formule de Newton pour avoir la valeur y de la fonetion à l’époque x :

GE — ÿ CAE GE D D ; 60e apr + ( k )( k Jae+

Avec les éphémérides actuelles, notamment la Connaïissance des Temps et le Nautical Almanac, on n’a pas à se préoccuper des différences d’ordre supérieur au second.

Si l’on évalue le temps en prenant pour unité la différence constante de l’argument, ce qui revient à compter en fractions décimales de jour pour le Soleil, en fractions décimales d'heure pour la Lune, etc., on fait £— 1, et l’on pose

La formule devient alors, en simplifiant les notations,

ASE

a in oi) = L

L'usage de cette formule est facile à comprendre. Si A? est négligeable, elle se réduit à l’interpolation proportionnelle.

Exemple : On demande la déclinaison du Soleil à 11°34® du soir, heure de Paris, le 26 mai 1878.

On trouve dans la Connaissance des Temps les déclinaisons, el on calcule les différences :

o ! 1” A A) Mai 26+ 21. 9.22,6 + 10.11,1 tn27 19:33, — 29,1 + 9.49,0 « 28 29.22,7 1 202 + 9.26,8

Chaque nombre se retranche du suivant, ce qui détermine le signe de la différence. On réduit 11"34" en fractions de jour, en divisant d’abord les minutes par 60 pour en faire des décimales d'heures, puis divisant par 24.

gah34m — 11h,567, 0 — La formule devient donc, avec t— 1 = — 0,518, t(é— 1) :

et ——— = — 0,129, Lo " Vale 210-2200 CAT 0 1025 CTI —= 124.94, 00 (À CE :

Re (OM) EP 72272

Ce calcul n’est pas difficile : il est pourtant un peu long. Depuis 1879, la Connaissance des Temps donne des éléments pour l’emploi d’une méthode plus rapide. Voici sur quel principe elle repose.

On a, par le théorème de Taylor h° (ro + k)= fa) + Rf' (@o) + ES" (ar) +

On peut toujours, avec les éphémérides actuelles, négliger les

CHAP. I. — RÉSUMÉ DE LA TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 33 différences d'ordre supérieur. Si l’on développe par la même for-

le à à :

mule À f' (2 +)» on trouve, avec la même approximation,

k ie LT (ei +=) =Af (a) + 5 J'(&) et, par suite, k ro + hk) = f(æo) + hf! (+2 - La Connaissance des Temps donne la valeur de f/'(x,) calculée d'avance, sous le nom de : variation pour une heure (ou pour une minute), à l’époque x. Connaissant la variation pour les

’ Fe ete h époques æ, et æÿ + X, on en déduit la varialion pour x, + - par

une proportion à vue et l’on a

Peut) = Gen) + US Ce + 0) — F0)

Géométriquement, ce procédé revient à assimiler Parc de la courbe y entre x, et xÿ + À à un arc de parabole : le calculindiqué donne la direction de la tangente au milieu de l'intervalle A, tangente parallèle à la corde qui correspond à l'intervalle entier A.

Dans l’exemple qui précède, après avoir réduit 1134" en 11°,969 — h, on continue ainsi : la Table donne

Di.

Le 26, variation pour une heure + 25”,92 Le 27 = — + 25,00 ; Là pe À b Hhestiésal cr à 24°, h / / 12 STE O2 R107 920022), 2 k

donc la variation horaire pour le milieu de l'intervalle est EI 1 EU À - & FT c , 29,02 — O0 ,22 — + 29 ,70 et son produit par 11 2307, qui est de + 4/57",3, ajouté à la déclinaison du 26, donne, comme plus fl [4 haut, 21°14!19",9.

Au lieu de déterminer la valeur d’un élément pour une heure donnée, on peut avoir à résoudre le problème inverse : calculer à quelle heure du premier méridien correspond un élémeni

Caspari. — Astronomie, I. 3

observé. On rencontre ce problème dans la détermination des longitudes par les observations de Lune.

On applique alors la méthode des approximations successives. L'inconnue est 4; négligeant d’abord le terme en A?, on calcule une

valeur approchée