Réduction d’une hauteur à l'horizon d’un autre lieu

Les méthodes dont il va être question peuvent être employées à terre aussi bien qu’en mer; c’est pourtant dans ce dernier cas qu’elles sont le plus avantageuses. Elles reposent toutes sur des mesures de hauteurs, et il faut tenir compte du déplacement du navire dans l'intervalle des observations, en ramenant toutes les hauteurs observées à l’horizon d’un même lieu : cela est nécessaire pour la simplicité des calculs, afin de n’avoir à considérer qu'un seul zénith.

Admettons d’abord que la courbe de hauteur puisse étre confondue avec sa tangente, et supposons qu’à l'instant #, on ait observé la distance zénithale £ de l'étoile S; au même instant on a pris le relèvement de l’astre au compas. Le bâtiment fait route suivant

OM, et quand il est arrivé en M on fait une nouvelle observation, soit de l’astre S, soit d’un autre. Pour combiner la distance zémithale observée à cet instant £ avec celle qu’on a trouvée à l’époque Lo, il faut savoir la distance zénithale &,, de S qu’on aurait mesurée à l’instant initial 4, si au lieu d’être en O, on avait été en M. Soient maintenant A l’azimut de l’astre, V l’angle de route, c’est- | à-dire l’azimut astronomique du chemin parcouru par le navire; … s le chemin OM évalué en milles, c’est-à-dire en minutes d’arc :+ s est toujours compté positivement quand le temps croît : c’est

XV] A+ / | ; / / JM 1 »

A — V qui détermine le signe de la correction. Comme on Pa vu, la droite de hauteur OH est perpendiculaire à OS, et le pôle. du cercle de hauteur est situé sur OS. Si de M nous abaissons MP perpendiculaire sur OS, la longueur OP est la différence des. rayons des cercles de hauteur simultanés, relatifs à O et à M; elle, représente par conséquent, dans le cas de la figure, la diminution qu'éprouve la distance zénithale quand on va de O vers M: On a donc

(3) Em= Go — OP —E,—scos(A—V),

l’azimut A et la route V étant corrigés de la variation. Le pro= blème est ainsi résolu, On peut encore en trouver une solution analytique, qui offrira l’avantage de permettre lévaluation du degré de précision que comporte la substitution d’une droite au cercle de hauteur.

Soit, sur la sphère, S le pôle du cercle de hauteur: c’est le point qui a l’astre à son zénith. L’angle en O est encore A —V : les côtés MS, OS sont respectivement égaux à f, et Co; OM =s, et:

l’on a

(4) COSË,, — cos t,coss + sin Csins cos(A — V).

Le théorème de Maclaurin donne

ee 4 L d ere d Ce s° (RSR CA L ( ds ).s Ù ( en) à À

Pour s — 0, la valeur initiale (Em )o est Co.

En différentiant deux fois l'équation (4) par rapport à s, il vient

Q Sn D . . , — sinê,, ire — CosC, sins + sin, coss cos( A — V), La 9 A] COCA DE Cr ie ; à — COS» ( DE — sin» Fe — — cos, COss — sint, sins cos(A — V).

he : : dé S1 nous faisons $ — 0, nous obtiendrons des valeurs de (Se) el ds

CAE 2 È , , | | PA qui, substituées dans le développement de Maclaurin,

donneront

(5) Em —t—5scos(A ent Ù sm = Cp — S COS( À V)- Coté sin (A— V)+...

où 6 et s sont exprimés en minutes d'arc, Le troisième terme ne cesse d’être négligeable que pour les petites valeurs de €, c’està-dire pour les astres voisins du zénith.

Grâce à cette correction, il sera toujours loisible de supposer que les observations ont été faites en un même lieu, et c’est ce point qu’il s’agira de déterminer.