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cherché. Le calcul de ce point revient donc à la détermination de deux triangles de position.
Géométriquement, le point est l'intersection de deux cercles de hauteur. On voit tout d’abord que l'observation des deux distances zénithales, combinée avec la connaissance de l'heure de Paris qui correspond à chacune d'elles, détermine les cercles et leur intersection. L'heure observée au chronomètre n'intervient que pour trouver l'heure de Paris.
Il est dès lors indifférent que les observations soient faites simultanément ou successivement, et dans ce dernier cas, qu'elles portent sur le même astre ou sur des astres différents. La longueur de l'intervalle qui sépare les observations est également indifférente, si les astres sont convenablement placés, pourvu qu'on tienne compte de la marche du chronomètre. De plus, si l’observateur s'est déplacé, il faut réduire une des hauteurs à l'horizon de l’autre. Ce sont là les seules corrections dont il y ait à se préoccuper, quand les hauteurs ne sont pas simultanées.
Quelle que soit la méthode employée, on doit trouver deux
Fig. 67.
solutions qui correspondent aux deux intersections des cercles de hauteur. Cette double solution résulte de la nature même du problème : il y a effectivement deux points différents de la Terre où les hauteurs des deux astres sont les mêmes au même instant physique. Mais les azimuts correspondants diffèrent, et leur connaissance approchée suffit en général pour lever lincertitude. On sera aussi guidé par lestime, car on possède généralement une valeur des coordonnées suflisamment approchée pour dissiper
tous les doutes.
Pour résoudre le problème, on pourrait d’abord poser les deux équations générales
cos Ÿ — cosà cos À + sind sin À cosP,
cost! — cos cos À + sind’ sin À cos P’,
£ et £' étant observés, il reste trois inconnues, x, Pet P'; pour avoir une troisième relation, on déduira la différence P — P' des heures d'observation.
Établissons cette troisième relation.
À l'heure £ du chronomètre, on a observé la distance zénithale d’un astre dont x et 3 sont l’ascension droiteet la distance polaire : puis, à l'heure 4, on à observé la distance zénithale {’ d’un astre >. - Cet C’ étant les corrections chronométriques et » la marche en une seconde, le tout sur le temps sidéral, on aura
CCR CEE)
l'— L'étant exprimé en secondes. Les angles horaires sont liés aux. heures sidérales par les relations \
PES ES, PS et l’on trouve les heures sidérales par St -+ CG; Sr Cr On a par conséquent (8) PP (amet,
quantité connue.
Soient maintenant, dans le triangle formé par le pôle et les deux étoiles, x et x’ les angles aux étoiles; nous aurons les formules de eee pour Re la distance angulaire D des deux étoiles et les angles x et x’
(9) sin 1D cost(x — x!) — niTsint(à +3), (10) CosT D cost (x + x’) — sinircos1(5 + à), ' (11) sin LD sin 1( = cos;rsint(à— à),
los 0) (12) cos$ D sin£(x + x’) — costrcosi (à — 5).
CHAP. X. — GÉOGRAPHIE ET NAVIGATION, 225 Connaissant D, on peut calculer l'angle parallactique & des astres. On a en effet, pour l’astre S, cose/ — cos 6 cos D + sin sin D cos (x — 5), et pour l’astre S,
cos? — cost’ cosD + sint'sinD cos(z'— x).
Ce calcul, identique à celui de l’angle horaire, se fait par les formules connues qui donnent ce dernier.
Enfin, si nous considérons le triangle de position de l'étoile S, les formules de Delambre donnent en y remplaçant l'angle A, — PZS par son supplément, l’azimut A,
63) sin+ À sint(A + P) —siniw sint (à + €), (14) cos+à sin! (A — P)—sinkw cost (à +£), (19) sin EX cost (A + P)—cosiw sinlt(i —t), (16) cos A cos, (A P};—cosi5cosi(à —€).
Les formules (9) et (10) donnent par division tangi (x — mi, Go) et (12) donnent tang+ (x + x’), et l’on connaît ainsi x et x’; une quelconque des formules (9) à (12) donnera alors D. On calcule ensuite æ — & et l’on en déduit 5.
La division des formules (15) et (13) donnera tang1 (A + Is celle des formules (16)et(14)tang + (A — P), d'où l’on tire A et P. Enfin on ürera + À d’une quelconque des formules (Cro)a (16) par son sinus ou son Cosinus, Où encore par sa tangente en divisant les formules deux à deux. L’angle P sert à calculer la longitude et le point se trouve ainsi complètement déterminé.
La symétrie des formules et le nombre assez petit de logarithmes qu’on est amené à chercher rendent en réalité le calcul moins long qu'il ne paraît au premier abord, et l’on peut opérer de nombreuses vérifications.
…— On peut refaire le calcul de (5) à (8) pour la deuxième étoile S'; cela est inutile puisqu'on connaît P'— P, mais cela fournit encore une vérification.
L'azimut se trouve en même temps que l’angle horaire.
Les formules s'appliquent à un même astre observé successive-
Caspart, — Astronomie, Il. 15
ment, au Soleil par exemple, sans qu'il y ait rien à changer marche des opérations.
. Mais alors on peut prendre P et P' en temps vrai, et se dispë
surtout quand le chronomètre est réglé sur le temps moyen. Da ce cas, et si la distance poiiRe de l’astre peut être considérée comi invariable, on a æ — x", et il suffit de calculer x + x! par ( et (12). Alors, puisque à = 3 et x — x/, on aura,
siniD — sinirsinà, cosæ cos D — sintrcosà,
sin æ cosiD.— cost.
exposer.
Conservant les mêmes notations, calculons d’abord l’are SS' = On a .
(17) cos D — cos cos è'-+ sinÔ sind’ cos.
Calculons maintenant l'angle SZS'— M,
cos D — cos£ cost!
(18) cos M — É = +
sin C sin C
Pour fixer la position du point Z, calculons les angles
ee A0 Æ=PSS, VE LD) Li
par les formules
NT sint . M
(19) sinz = 2 sind sn = sin è 9 Li sin D à K- sin D à Le) : sinM . v DR EU ME 20 sin y — sin sin y — ——— sin Ë- ( J sin D Ô Y sin D ÿ
déterminés par leurs sinus, on fera une Ps comme celle qu nous avons indiquée, en s’aidant des azimuts approchés. |
On aura enfin les angles PSZ — % et PS'Z — © qui sont dans le cas présent
DE et CNE La double solution est M0, dopage
selon que les astres sont du même côté du mér
idien ou de côtés.
différents.
On calculera x par deux formules qui doivent se vérifier
D. ce { — COSÉ cosô + sin£ sinô cos(x — y),
= COSE/ cos + sin£/ sind cos(x'— y’),
et les angles horaires par
à Siné sin (x — Sin ein (a eu (22) EM É it fe Sin Pi € ( Sp) sin À
5 , Si À
et l’on doit trouver pour vérification PT—= P nr Un calculateur exercé qui ne tendrait pas à avoir des vérifica- Lions pourrait faire usage des seules formules cos D — cosi cosû + sinôsinÿ’ COST,
, Sin r sin SIN TE = — SIN 0°
cos t!
cos D cos €
COS == 5 DEEE J sin D) sin
COS À — cosË cosà + sin sind cos(r ap A)
nP sin — sin(r +) SAT ES , sin À
Les calculs se simphifient et le choix entre les deux solutions est indiqué par la position estimée et par l’azimut. On peut faire intervenir des angles auxiliaires pour rendre les formules logarithmiques, et c’est ainsi que le problème est traité -dans la plupart des Livres de Navigation : mais l'emploi des logarithmes d’addition est préférable.
Voici un exemple d'application de cette dernière méthode : Le 29 janvier 1881, vers 9! du soir, à bord d'un bâtiment faisant ro
N. 49° E. du monde, avec une vitesse de 8,5 on a observé deux étoil dont les hauteurs, corrigées de la dépression et de la réfraction, sont.
3 Orion à 8h22m 6$ du compteur, hauteur — 28046'15" (au S. 40° ). Régulus à 8 26 35 .................... = 44 29 50 (au S. 58
Le compteur est réglé sur le temps moyen. Retard sur Paris : 3h 1674 Le point estimé à l'instant de la deuxième observation est |
Latitude 43°45' N. Longitude 12°4 O.
des étoiles
6 Orion «= 5hg® 1,9 à = 98° 20'20" Régulus 4 —10 3 16,4 Ô — 77 2880.
Réduction de 8 Orion au zénith de la deuxième observation
AO 8',5[8b26m35s — 8h22m65] F
: s— = 30 Vi 29 35600 A—V——189 logcos 9,995 (—) 1085201477)
log corr. 1,472(+) Correction = + 30° C'obs.".. 61043408
‘ C'réduit. 6101415" ELEC 45 30110:
h m # h m s Heures d'observation ......... D Le 8.26.35 État absolu, correction........ Je T0 107 3-10.FD; — Heure de Paris, temps moyen. 11.38.21,7 11.42.50,7 0 Réduction en temps sidéral.... 154,7 TD 00 Temps sidéral à midi......... 20.35.34 .4 20.35.34,4 Heures de Paris, temps sidéral. 8.15.50,8 8.20.20,6 Ascensions droites............ Does 0) 10. 2:16.4 Angles horaires S) —4........ 32.060.489 22, 10-1002
Différence 7 = 4h48"445,7 = 72°IL 10 .
Calcul de D et de M.
Formules (17) et (18).
lopicoso..... 9,336191 (+) log sind 9,989539 lAcosd. .... 9,161451 (—) log sind 9,995384 log cost 9,485617 9,470540 SOMME. Me 8.497642 (—) 8,497642 log de soustr. 0,924022 (--) 0,972898 logtcos D. 9.421664 D=—=510410257° log sint... 9,853263 log cost 9,845640 log sin£... 9,942812 log cost! 9,682308 log dénom. 9,796075(+) 9,527948 log numér. 8,864572(—) log cosD 9,421664 9,421661 log cos M.. 9,068497(—) 0,106284 log desoustr. 9,442908 lognumér... 8,864572
Calcul de x, x!, y, y’. (Voir fig. 67; Régulus est en S, $ Orion en S') æ est obtus, y, æ', y' sont aigus.
Formules (19) et (20).
log sinr. 9,978662 log sin D 9,984308
9994354 log sind 9,995384
9994354 logsinè. 9,989540
log sinz' 9,983894 logsinæ 9,989738
log sin M 9,997003 log sin D 9,984308
log sin£. 9,853263
logsiny'. 9,865958 Da 7015136!
