UE COST
Yo
cos x eY + e2%0 — 0.
Nous avons vu que æ — 0 est un axe de symétrie: si donc nous faisons æ — 0, cosæ — 1, les deux racines de l’équation obten donneront les ordonnées des deux extrémités de cet axe: les deu racines sont Y et Y/ déterminées par
(1— sinæ);
et + (1 + sinæs), Et COS Zo COS Zo on peut donc calculer Y et Y’.
En divisant ces deux valeurs l’une par l’autre, on a 1 + Sin Yo
, NN Vosges
1 + Sin Lo °1—sinYyo
Les équations (42) et (45) déterminent les deux demi-axes de la courbe, qui sont æç et F(Y — Y').
Ces formules peuvent se développer en séries convergentes |
Sin®Zo . 3Sin°%
1120 RE EAU pa
Ty — Sn LG |
SIN To SIN TC,
L(Y — Y!)= sin x, + M Eu à rer
sin 1/. En donnés £et à, on Te calculer +, Fr la différente el
s'assurer de l’erreur commise.
En divisant l'équation (44) par eYe*o il vient CT AO ET nd En LUE
e — cosæ
ne l’origine des coordonnées au Pasta de l’axe des x qui a pour ordonnée y, on a l'équation de la courbe sous la forme COST
e* + ee — (5) COS To
Elle ne contient plus qu’un seul paramètre x,; donc toutes les courbes ayant même axe horizontal, c’est-à-dire qui sont inscri dans un même fuseau de la sphère, sont superposables quell que soit la lautude de leur centre. D'ailleurs, en vertu de la for
mule (45), Y — Y’ ou l’axe vertical n’est fonction que de x;; toutes les courbes ayant même axe horizontal ont donc même axe vertical, et sont, par suite, aussi superposables. Nous avons dû faire plus haut une restriction importante relative à la condition de réalité de y’ + y". Montrons maintenant, d’après M. Guyou, comment la discussion peut être conduite d’une façon plus générale. Pour cela, aux paramètres 3 et { substituons les angles S et N qui représentent les colatitudes des deux sommets de la courbe; S sera la colatitude du point le plus austral, N celle du point le plus boréal. On aura les relations
SU ON Rip),
PREMIER cas. — Si l’on suppose d'abord 3€, nous sommes dans le cas précédent : la courbe de la sphère est extérieure au pôle, et sa transformée est la courbe fermée que nous venons de discuter. Faisons maintenant croître €; le sommet nord se rapprochera du pôle qu'il atteindra avec à —{; sur la carte ce sommet est à l'infini, la fonction cesse donc d’être continue. € croissant au delà de à, le sommet reviendra à une distance finie, mais sur la carte comme sur la sphère sa longitude diffèrera de 180° de celle du sommet sud, la courbe est ouverte. Dans ce cas, pour que l’auxilaire N reste positif, on prendra N—1({—5). Nous allons indiquer la marche des calculs qui sont Fe simples, et les résultats.
Reprenons le premier cas.
A Nat) | D—SEN, CSN.
L’équation (39), dans laquelle on substitue ces valeurs, donnera sinS sin Ne — sin(S + N)cosxer + cosS cosN — 0. Comme cotS et cot N sont positives, on peut poser COS, CON 62;
remplaçant les sinus et cosinus par leurs valeurs en fonction de la SE nie :
cotangente et divisant partout par e*72*77, on arrive à
e-Ets+n) sé e-Lr-is+n)] Less de ein |,
Si nous transportons l’origine au point de l’axe vertical qui a
pour ordonnée $ — », ce qui revient à substituer aux ordonnées : les ordonnées # telles se pe — }(s +»), l'équation devien en posant +(s—n)— d,
EUR T1 = Cos ve ee
Sous cette forme, l'intervention des fonctions hyperboliques employées par Yo Villarceau pour la solution de la question devient évidente. On vérifie immédiatement que la nouvelle orig est un centre et que la courbe a deux axes; le seul paramètre restant est d. Ÿ
Or, en comparant les formules e7 — cot1xet e‘ — cotS, on vo que, si l'ordonnée y correspond à la El x, l’ordonnée.
Le carte sont égales.
En faisant 5 — 0, on trouvera la valeur du demi-axe horizonta
N COS Lo — cie a?
et l'équation peut se mettre sous la forme déjà examinée (39).
SIT IS RSS El = 1/y DEUXIÈME CAS. — On écritici (£+2)—=S, 1({— U que cot N ait un logarithme, et, en calculant de même, on arrIiS à
ét SCtAIL Se =fr-$t Cm] = cos e2 1-7) se 26m) ], ;
On fera le même changement de coordonnées que plus haut. Ici, si l’on change en — ;, cos æ change de signe : le caractère de la symétrie ARE elle n'existe plus par rapport à l’axe horizontal, mais le SA 40 de signe de x n’aflecte pas cosx, € l’axe "TA reste un axe de symétrie. Ces paramètres g rardentils signification, et les courbes de cette nature inscrites dans des zones dont la DA sur la carte est la même, sont superposables : ce ‘à propriété concerne aussi bien les Re cercles que les petits. … Pour æ — + 90°, la courbe a deux points d’inflexion : pour des
valeurs x — 90° HE, x a les mêmes valeurs numériques avec des signes contraires.
Le cas intermédiaire est celui des courbes de hauteur passant par le pôle; alors N — 0 etles deux équations se réduisent à
ÉCOLE COLS ou CBACOS Le
#—s est l’ordonnée rapportée à la tangente au sommet unique ; l'équation est alors indépendante de tout paramètre et s ne détermine que la position de la courbe : tous ces cercles sont représentés -par une courbe unique de forme, asymptote à deux méridiens situés à 90° de part et d’autre du méridien de l’astre.
Applications pratiques. Revenons maintenant aux équations primitives des courbes fermées du premier cas.
1° La distance zénithale est petite, sans que à le soil.
On peut alors remplacer approximativement la courbe de hauteur par un cercle tracé sur la carte. Il faut pour cela que l’on puisse négliger la différence des deux axes de la courbe, en se tenant dans les limites de l'approximation requise.
De la formule (45) on déduit
L(Y—Y')— Logcot ( 45° — a) »
\ CAD ce qui indique que + (Y — Ÿ’) ou le grand axe est au petit axe x, dans le même rapport qu'une latitude croissante x, serait à une latitude vraie x.
On en conclut que si x, est pris comme une latitude vraie avec laquelle on entre dans la Table des latitudes croissantes, L(Y — Y') sera le nombre de minutes de latitudes croissantes correspondant. Or on peut trouver immédiatement Ÿ — Y', en remarquant que sur la carte les sommets de la courbe ont pour colatitudes 3 —# et >. Calculons ces deux quantités; entrons avec ces colatitudes sphériques dans la Table; nous trouverons à la colonne des latitudes croissantes deux nombres L et [/ dont la différence exprime, en minutes de l’équateur, la longueur Y — Y’; on calcule 5 (Y—Y'), on le considère comme une latitude croissante qu’on cherche dans la deuxième colonne; la latitude sphérique qui y correspond dans la première colonne est #4. On prendra
