SUD EE

He Etre

cosE(À + }') )

tang{ (A, + A°) — cotiP, tang} (A; — A) — Il va sans dire que l’on commencera par s’assurer que la route en question ne traverse ni terres ni régions inaccessibles. Si une route orthodromique devait faire passer trop près du pôle, dans des régions où l’on fût exposé à rencontrer des glaces, des nuits pro: FER ou des mauvais temps persistants, il faudrait la modifier. On résout habituellement cette difficulté en décomposant la route en trois tronçons : les deux portions extrêmes sont les parties de l'arc de grand cercle en dehors du parallèle limite : la portion inele est ce parallèle limite lui-même.

IL est aisé de voir que cette solution n’est pas la meilleure. D'une part, elle fait rester assez longtemps sur ce parallèle limite,

c’est-à-dire dans le voisinage des dangers ou des inconvénients qu’on veut précisément éviter; et, d’autre part, elle ne donne pas le plus court chemin. Supposons, en effet, les points placés sur la projection gnomonique en À et B {Jig. 70), et soit CDEF l’arc d'hyperbole qui représente le parallèle limite qu’on ne doit pas dépasser dans le Sud. De A et B nous menons des tangentes AD, BE à cette courbe, il est clair que l'arc de grand cercle AD est plus court que la somme de l’arc de grand cercle AC et de l’arc de parallèle CD, de même pour EB < BF + FE. En suivant l’arc de grand cercle de À en D, le parallèle de D en E et l’arc de grand cercle EB, on fera donc une route plus courte que celle qui résulte de la

règle admise, et l’on sera moins longtemps sur le parallèle limite. Cette simple considération empêchera aussi de chercher à remplacer la route directe AB par deux arcs de grand cercle qui se coupent en un point du parallèle limite. Il est clair, en effet, que si nous joignons À et B à un point quelconque G du parallèle hmite, une au moins de ces lignes passera dans la zone défendue.