Construction d'un relèvement. Correction Givry

Si d’un point connu on a déterminé l’azimut d’un autre point, cela donne un lieu géométrique de ce dernier. Inversement, si du point à placer on a déterminé l’azimut d’un point'connu, cela détermine encore un lieu du point inconnu.

En Topographie, on ne considère que des points suffisamment rapprochés pour qu’on puisse supposer que la surface de la Terre, dans la région considérée, se confond avec le plan qui lui est tangent. Le plan étant supposé orienté, pour y représenter le lieu fourni par l’observation d’azimut, on trace une droite faisant avec le méridien du point connu un angle égal à cet azimut : si le relèvement a été pris du point inconnu, on le porte encore à parur du point connu, mais après lui avoir ajouté 180°. L’azimut peut être déterminé astronomiquement : il peut aussi être observé à la boussole, mais avec une précision beaucoup moindre. En mer, on se contente de ce degré de précision et l’on admet l'égalité des relèvements inverses à 180° près, au moins pour la Navigation courante.

La sphéricité de la Terre exige qu'on modifie ce procédé quand la distance entre les points dépasse les limites d’un plan topographique. Comme il s’agit principalement de constructions graphiques, on peut faire abstraction de laplatissement. Nous ne considérerons ici que le cas où l’on opère sur une projection de Mercatlor.

Une direction de visée sur le globe est contenue dans un plan vertical, et son intersection avec la surface est un grand cercle : l’angle de ce grand cercle avec le méridien astronomique est l’azimut astronomique de la ligne de visée. En remplaçant, pour la construction, cet arc par la droite loxodromique, on commet une erreur que nous allons évaluer. ;

Soient À et B deux points de la Terre; À l’azimut de B sur l'horizon de À, et A l’azimut de A sur l'horizon de B : le triangle ayant pour sommels ces deux points el pour troisième sommet le pôle a pour angle au pôle la différence P des longitudes de À et B: l'angle en À est 180° — À, et l’angle en B — A’ — 180°; en apphquant la troisième analogie de Néper à ce triangle et prenant les

inverses des deux membres, on a

cos (À + \') cos ANSE

Si À et B étaient infiniment voisins, on aurait A’ — 180° — A; posons donc ÀA’— À — 180° — :, « étant une très petite quantité, remarquons que 4 (À — X) est très voisin de zéro, et que P est petit, on aura

e— P'cost(X + À.

Cette quantité est nommée convergence des méridiens (on reconnaît la correction d’azimut donnée plus haut). C’est la différence entre les gisements réciproques de deux signaux, si l’on compte ces gisements des deux points cardinaux opposés. Sur une

“Carte réduite, les gisements ainsi construits par la loxodromie sont égaux.

Si nous traçcons sur cette Carte la courbe transformée de l’are de orand cercle, elle peut être considérée comme se confondant avec son cercle osculateur, en raison de la proximité supposée des points, et ses deux angles de contingence sont égaux. Or, en vertu de la propriété de cette projection d’être orthomorphe, et d'après ce qui Mient d’être dit, le relèvement de B vu de À est la tangente en A à cet arc; celui de À vu de B est la tangente en B. La somme de ces deux angles représente donc la différence < ci-dessus, et l’on a GAB— DBA — { :. L’azimut réellement observé en À est CAE;

“pour que la droite partant de À passe par la projection de B, il faut retrancher + < de l’azimut observé. La différence P étant exprimée en minutes d'arc, e le sera également. Cette correction est connue sous le nom de correction Givry, du nom de l'ingénieur hydrographe qui, le premier, en a montré la nécessité et calculé Pex-

pression.

— Pouren trouver la valeur numérique, il faut avoir déduit d’une “première construction approchée la différence de longitude et les colatitudes des deux points.

Pour se rappeler le signe de la correction, il suffit de remarquer que les transformées des arcs de grand cercle sont concaves vers Péquateur. En appliquant la correction au relèvement pris de A, “elle doit avoir pour effet de mettre B plus près de l'équateur que ne ferait le relèvement vrai.

Caspart. — Astronomie, Il. 17

Un signal peut être placé par deux azimuts déterminés en deu points connus, en appliquant la correction comme il vient d dit. Il peut être également fixé par les azimuts de deux points con qu’on aura observés du signal à déterminer. Mais, dans ce derr cas, il faut appliquer à Rare mesuré la correction Givry sens inverse, Si donc du point K on a déterminé les azimuts de de B,il faut leur appliquer la correction de manière à trouver po une position PIE élevée en lautude que celle K' que donnerai les azimuts qu’on y a observés. Si, au contraire, on a pris en À

en Bles azimuts de K,la correction doit être appliquée de manière à rapprocher de l’équateur le point K” que donneraient sans corre@ tion les relèvements observés en A et en B.

différence des corrections afférentes à ses côtés, selon les situations respectives en longitude el Da 6

On connaît dans ce triangle la base AB et les deux sel Re on peut donc calculer les côtés AK et BK par l inalants des sinus connaissant la distance BK et l'azimut de cette gel le point ] est déterminé. On peut évaluer AB en mètres ou mieux en minutes

équatoriales. Ce procédé de calcul sera avantageusement remplacé par celui que nous donnons plus loin. La correction Givry a surtout de l'intérêt au point de vue des constructions graphiques.

162. — Construction et calcul d’un point par les segments capables.

Le problème est celui-ci : deux points étant placés sur un plan, décrire le lieu des points d’où l’on a mesuré entre ces deux points un angle donné.

Soient À et B les points entre lesquels on a mesuré un angle 4. Au milieu de la droite AB on élève une perpendiculaire FO. On

INRP

fait angle BAE = 90° — ;; de l'intersection de AE avec FO comme centre, et avec AO — OB comme rayon, on décrit un cercle : on voit immédiatement que d’un point quelconque M de l’arc AMB, la droite AB est vue sous l’angle 4. D'un point M’ de Parc opposé, on voit cette droite sous l'angle 180° — +. Du point M, le point A est vu à gauche : donc pour choisir celle des deux portions de la circonférence qui convient à la solution cherchée, on prendra pour point de départ le point de gauche; on observera que, pour que À soit vu à gauche de B, il faut être en dessous de la droite AB: c’est donc à parur de AB vers la droite qu’on mesurera l’angle 90° — x.

Si & est plus grand que 90°, le point O sera au-dessus de AB : on fait rentrer ce cas dans le précédent en convenant de compter les angles positivement de À vers la droite de l’observateur et négati-

vement vers sa gauche, la ligne AB étant le zéro. Il n’y a d’ailleurs jamais à considérer d’angles supérieurs à 180°, car ce n’est que 3 pour des angles inférieurs à deux droits que les mots : objet de … gauche et de droite ont une signification. Si l’on avait mesuré de À vers B un angle de 230° en allant vers la droite, il y aurait à considérer un angle de 130°, B devenant le point de gauche. Si donc d’un point inconnu M on a mesuré les distances angu- … laires d’un point À à deux autres points B et C situés dans le même plan, on obtiendra la position du point M en effectuant la construction précédente d’abord pour AB, avec l’angle 4, puis pour AC avec l’angle £ : l’intersection des deux circonférences donnera …

le point M,

On connaît un grand nombre de solutions de ce problème, qui « est désigné à l’étranger sous le nom de problème de Pothenot 4 (Voir le Traité d'Hydrographie de M. Germain.) : nous en indiquerons encore une qui peut être construite sans le secours du compas. |

Remarquons que la ligne des centres OO'est perpendiculaire au. milieu de la droite AM. Si nous prolongeons les rayons AO et AO! jusqu'aux points E et D des circonférences respectives, les angles M AME, AMD, ABE, ACD inscrits dans des demi-circonférences, sont droits : de là la construction : élever en B une perpendicu=. laire BE à AB, eu déterminer le point E tel que EAB soit égal. à 90° — 4; faire de même CAD — 60° — 8 et déterminer le pointD; joindre DE, et abaisser de A une perpendiculaire sur cette droite; le pied de cette perpendiculaire sera le point M. F

La construction montre :

1° Que le point O est d'autant mieux déterminé que x diffère moins d’un droit ;

2° Que si zest petit, le centre s'éloigne beaucoup de AB, et se trouve de moins en moins bien déterminé ; J

3° Que cette indétermination produit une incertitude correspôndante sur le rayon du cerele ; .

4° Mais que l'incertitude qui en résulte pour le point M lui-… même est maximum quand M se trouve voisin de la perpendiculaire FO, tandis qu’elle diminue à mesure que M restant sur le … même lieu se rapproche de A ou de B ;

5° Que pour un angle très obtus, l'incertitude sur le rayon est du

même ordre, mais que l'incertitude sur le lieu même est très réduite ;

6° Que le problème est indéterminé quand les points A,B,C,M sont sur une même circonférence;

7° Que l'intersection M est d'autant mieux déterminée, toutes autres choses égales, que les deux cercles se coupent sous un angle plus voisin d’un droit.

Cette construction peut se traduire en calcul. Soient données les distances AB — «, AC — b et l'angle CAB — A. Les diamètres des cercles sont respectivement