AL ==4/0 AD

sin %

L'angle DAE est égal à

Pot) (007 B)= A+ a+ 6 —180°— À.

On peut donc calculer les angles ADE = ÿ' et AED — 3 par les

relations connues

et l’on obtiendra alors AM — «’ sind — D! sind.

Pour que À, B, C soient placés sur la carte, il faut connaître de plus l’azimut de lun des côtés, AB par exemple; on en déduira l’azimut de AM en remarquant que la différence des gisements AB et AM est l'angle BAM — 180° — (a + à).

Le point M est ainsi complètement déterminé.

L'inconvénient de cette méthode est de ne pas se prêter facilement aux généralisations de signes et d'exiger la construction d’une figure pour se guider dans chaque cas particulier.

Il existe une méthode plus générale, due à Gauss : nous ne l’indiquons pas, parce qu'elle se rapporte plus spécialement à la représentation des points par coordonnées rectangulaires dont nous avons, à dessein, omis la théorie.

163. — Construction de trois points inaccessibles par trois stations.

Il est un cas assez simple dans lequel il est possible de construire

une figure semblable à celle du terrain au moyen de trois stations indépendantes les unes des autres. Cette construction a été employée d’abord pour le levé sous voiles, et la solution rigoureuse en est due à l'ingénieur hydrographe Vincendon-Dumoulin. Elle s’appliquera pourtant très bien et avec plus d’exactitude à terre, par exemple si l’on parcourt un pays boisé, et qu’on fasse station à des points qui ne se voient pas les uns des autres, mais d’où l’on découvre des sommets lointains inaccessibles. Ceci dit, nous allons donner la

solution en supposant, pour la clarté du langage, qu’on effectue un levé sous voiles ou vapeur.

Le problème se pose ainsi:

Des trois points à la mer A, B, C, on a pris les angles que font deux à deux trois points de terre D, E, F et les relèvements astronomiques d’un de ces points (d'où l’on déduit ceux des autres); construire sur le papier un hexagone ABCDEF semblable à celui du terrain.

Dans des Considérations sur Le levé sous voiles, MM. Ploix et Halphen ont montré que ce problème est en général déterminé et n'admet qu’une solution, sauf le cas où les six points appartiennent à une courbe du second degré. On ne peut pas savoir à priori si l’on est dans ce cas d'exception, mais on peut éviter dans la pratique de s’y mettre. Il suffit pour cela, après avoir faitles deux premières stations, de construire grossièrement, avec la route estimée, ces deux stations et les trois points de terre, de tracer la courbe du second degré qui passe par ces cinq points, et de faire la troisième station en dehors de cette courbe. On se rappellera que les systèmes de deux lignes droites parallèles ou non, sont des cas particuliers des courbes du second degré. On sera dans de bonnes conditions si, par exemple, la station intermédiaire B à la mer fail avec les deux autres un angle dont les côtés soient dirigés dans le même sens que ceux de l'angle formé par les droites ED et EF.

Néanmoins, comme on ne peut pas toujours choisir les points de terre d’une façon convenable, il est bon, en prévision du cas

d'indétermination, et aussi pour se ménager une vérification toujours nécessaire, de prendre plus de trois points principaux à terre et de faire plus de trois stations principales à la mer. L'expérience prouve qu'on n’est jamais embarrassé de la surabondance des données recueillies, tandis que souvent, faute d’une station ou d’un angle, on éprouve la plus grande difficulté à construire sa Carte. — Nous allons maintenant donner la solution graphique du pro-

blème posé plus haut.

Supposons le problème résolu et la figure construite. Puisqu’on

s'est donné arbitrairement la base AD ( /g.73) et que les gisements de toutes les droites joignant chacune des stations à la mer à chacun des points de terre sont connus, on peut d’abord tracer en direction les lignes AE,AF, BD et CD, qui aboutissent en À et en D. Il reste à placer les droites BE, BF, CE, CF dont la direction est connue, mais dont la position ne l’est pas. Si l’on connaissait le point P d'intersection de BF et de CE, le problème serait résolu, puisqu’en menant par ce point ces deux droites dans la direction connue, elles couperaient les droites déjà tracées aux points B, CG, E, pe:

Le point P se trouve sur le lieu des sommets d’un triangle semblable à BPE, inscrit dans l'angle BME, et de mème sur le lieu des sommets des triangles semblables à CPF,, inscrits dans l’angle CNF.

Chacun de ces lieux est une droite aisée à construire : prenons | premier. Soit B, un point arbitraire sur DB; menons, par B,,B,E dans la direction connue BE, et B,P, dans la direction BF, et pe E,,E;P, parallèle à EC; le lieu cherché passe évidemment par P,. et par M: c’est donc la droite MP, On construira d’une manièr analogue la droite NP’ et l'intersection de ces deux droites donnera P. Le problème sera ainsi résolu. | On voit que, pour que la construction puisse se faire, les deu droites MP, NP doivent se couper. Si elles étaient parallèles, problème serait impossible : mais cela n’arriverait que s’il y avait erreur dans les données, puisqu'avec des angles exacts le problème a nécessairement une solution. Seulement il peut être indéterminé,, et alors les droites MP, NP se confondent : c’est précisément ce qui arrive quand les points A, B, C, D, E, F sont sur une même conique. :4

164. — Mesure des bases par les moyens rapides. Calcul des points.

La mesure d’une base est une opération longue et délicate. Quand on ne peut pas s’en procurer une par les méthodes classiques, ce qui est généralement le cas en voyage, on arrivera encore à des résultats très acceptables par une des méthodes que nous allons exposer.

1° Mesure d’une base par des observations astronomiques.

L'opération consiste à déterminer les coordonnées géographique des deux points et l’azimut de la direction qui les joint, et à en conclure leur distance. Elle suppose la connaissance des résultats: de la Géodésie, relativement à la forme et aux dimensions de la Terre. Mais ces résultats viendraient à être modifiés, que cela n'aurait pas d'influence sensible sur les positions géographiques des points de la triangulation appuyée sur cette base.

Pour le calcul, on part des formules du n° 160. Dans ces formules la distance des deux points est |

K— 7! e"sini1”

et sera déterminée si l’on connaît w'. Or, dans les valeurs des à k

N, Get À, on voit qu’il suffit de connaître deux des quantités N— À, G'—G, A (ou A) pour pouvoir calculer w”.

Si l’on connaît G/ — G, x et A, on calculera w" par la formule qui donne G’, et en le portant dans la précédente, on trouvera W'. Si l’on a déterminé les colatitudes et l’azimut A, la formule en \ donnera w#’; pour la facilité du calcul, on cherchera d’abord w” approché en négligeant le dernier terme de *', puis on substituera dans ce terme cette valeur approchée, ce qui fournira une nouvelle approximalion.

2° Calcul d’un triangle sphéroidique et de la position géographique du troisième sommet.

Si maintenant, des extrémités À et B d’une base ainsi obtenue, on a observé les azimuts d’un troisième point C, on pourra calculer la longitude et la latitude de ce point. On commence par calculer, si l’on ne les a déjà tirés d’un calcul antérieur, la valeur de uw” et les angles À et A! par les formules données au n° 160.

Ce calcul se simplifie beaucoup quand le deuxième terme de N — à est plus petit que les erreurs d'observation de X et ', ce qui permet de poser

G'—G . 1 tang À — RS sin À (1 + e? sin? À),