Méthode de Cauchy
La méthode des moindres carrés donne les résultats les plus probables, quand toutes les hypothèses qui lui servent de base sont réalisées. Elle permet aussi, dans ces conditions, le calcul systématique des erreurs qui affectent ces résultats. Mais à mesure que le nombre des inconnues augmente, le calcul devient plus pénible. Il arrive aussi que l’on ait, pour premiers membres des équations de condition primitives, des séries indéfinies plus ou moins convergentes; dont on doit déterminer un nombre de termes suffisant, sans que rien dise a priori combien de ces termes sont nécessaires. Si l’on applique la méthode des moindres carrés à des équations où le nombre des termes conservés est insuflisant, et qu’on vienne à se convaincre de la nécessité d’adjoindre des termes nouveaux, il est nécessaire de recommencer tous les calculs. On a donc quelquefois intérêt à employer une méthode qui n’expose pas à cette éventualité.
La méthode de Cauchy, reprise par Yvon Villarceau, est à proprement parler une méthode d’interpolation, c’est-à-dire de calcul des coefficients numériques d’une série. Les équations de condition sont mises sous la forme linéaire, comme pour Papplication des méthodes précédentes. |
Soit un système d'équations de la forme
ge) Y—AarBb+Cc+Dd+...,
dans lequel les y sont des quantités données par l'observation,
Caspar. — Astronomie, I. 21
À, B, C, D des coefficients constants connus, et a, b, c, d,... des constantes inconnues qu'il s’agit de déterminer.
Comme première approximation de à, prenons la valeur qui résulte du système d'équations ae aux premiers termes des
seconds ombres ou LE A 4.
Multiplions chaque équation par une constante X, égale ou inférieure à l’unité en valeur absolue et faisons la somme
Zky—=aZkA, a = ——Z. :
Soit Ÿ la valeur vraie de y, et x l’erreur inconnue de l’observaton, telle que Y=Yy+n;:
La valeur calculée sera donc DAY EAn SE JA) SEA SEA
Le premier terme est la vraie valeur de y, et le deuxième est. l'erreur de la valeur calculée.
Pour rendre ce dernier terme minimum, donnons à Æ# sa valeur maximum, l’unité, et le même signe que A. Le dénominateur sera ainsi maximum. Quant au numérateur, 1l sera toujours inférieur à la somme des valeurs arithmétiques d’ : et même, par suite du caractère fortuit de ces erreurs, dont le signe n’a pas de relation avec celui des À, on admettra que si l’on traite un nombre d'équations suffisamment grand, et que l’on groupe séparément les Ay positifs et les An négatifs, chaque groupe sera près d’être nul, et qu'il en sera ainsi @ fortiori de leur différence.
Le calcul que nous venons de faire pour trouver une première valeur d’y revient à changer les signes de tous les termes dans les équations dans lesquelles À est négatif, et à faire la somme algébrique des y ainsi obtenus et la somme arithmétique des A rendus tous posilifs. Si, au lieu de considérer les équations réduites à leurs premiers termes, nous considérons plusieurs termes
V=AURPEEOCCRDAIE",,
en changeant les signes de tous les termes des équations dans les-
quelles A est négatif et sommant les coefficients, 1l viendra une relation Sy =aSA + bSB + cSC + dSD;
le symbole S désigne la sommation, et les sommes S seront dites subordonnées à À, qui est la dominante. (Yvon Villarceau. ) La valeur approchée obtenue pour & sera d’après cela
HOTSA)
et en la substituant dans chacune des équations primitives réduites à leur premier terme, il viendra une série de valeurs d'y de la forme
qui devront être corrigées de quantités inconnues Ay, pour avoir
égard à l'influence des termes négligés en B, G,..., de sorte qu’en réalité Sy = À == + AY.
lise”
Reprenons maintenant les équations complètes, changeons les signes de tous les termes dans celles où À est négatif; sommons les coefficients de même rang, nous aurons
Sy = aSA + bSB +cSC+...;
les S seront ainsi des sommes subordonnées à A. Cette équation sera satisfaite par les valeurs qui satisfont au système y7=aÀ + bB +cC+ ee
CAE À :
Multiplions-la par Sx et retranchons-en successivement chacune
des équations primitives, il viendra un nombre d'équations égal à celui des proposées, qui leur seront encore équivalentes, et de la forme
x À A -Asy=a(a-dsa)+2(8—6x se) +e(c— sc) Lu
dans lesquelles, comme on voit, & aura un coefficient nul, d’où
FL
cette inconnue sera par suite éliminée, et dont le premier membre
sera A y.
En posant de même par analogie
A A | B—SiSB—AB, C— 2 SC—AC, |
les équations nouvelles seront de la forme
Ay =6ABÆcAC +... 1
En recommencçant sur ces équations les mêmes opérations que sur les proposées, on éliminera b.
On est amené ici à subordonner les sommes à AB, à en tirer des valeurs analogues aux A, que nous dénommerons A? y, A0 AD, ..., et des nouvelles équations obtenues on éliminera c, et ainsi de suite.
Les Ay, A°#,4.1, AG, A?C; ... ont des valeurs numériques | que nous calculons; les À successifs de y sont les différences suc- | cessives entre y calculé et y observé. Quand on sera amené par la marche des opérations à une série de valeurs A?y, telles que leurs grandeurs ne dépassent pas les erreurs moyennes du genre d’observations dont il s’agit, on sera autorisé à arrêter l'élimination; la valeur trouvée pour la dernière inconnue sera considérée comme exacte, et servira à calculer les autres en remontant.
Résumons la marche à suivre.
Former d’abord les équations de condition de la forme
Y=AaE Bb +Cc+Dd+...
dans lesquelles 4,b,c,... sont les inconnues à déterminer, et les écrire les unes sous les autres.
Adoptons pour le coefficient A le signe +; changeons de signe tous les termes des équations dans lesquelles A a le signe —.
Faisons alors la somme algébrique de tous les coefficients A, puis des coefficients y, B, C.... dans les équations ainsi transformées, ce seront les sommes subordonnées à A. Nous obtiendrons une équation unique de la forme
Sy — aSAt+ bSB + cSC +...
Tirons-en la valeur approchée
Remplaçons & par cette valeur dans les termes de la forme Aa de toutes les équations primitives et faisons les différences
S A AY AE =Y sx
L'inspection des Ay nous fera connaître, d’après les règles que l’on jugera devoir adopter pour les conditions dans lesquelles on opère, si l’on doit s'en tenir au premier terme ou pousser les calculs plus loin. Dans ce dernier cas, calculons les différences
pour chaque équation de condition et écrivons les 7 équations de la forme
(2) Ay = bAB + cAC -- dAD + ...,
résultat de l'élimination de &.
Donnons à AB le même signe dans toutes ces équations; additionnons membre à membre et désignons par S/ les sommes subor-données à AB, il viendra
S'Ay = 6S/AB + cS'AC + Tirons-en la valeur approchée
S'Ay
= of
Calculons encore pour chacune des » équations les quantités
* suivantes NE AY : S'Ay S'AB el , 7 MONTE Au ABUS MC—AC— ESC, AMD=AD— GS AD.
Si l'inspection des A?y nous apprend qu’il faut continuer, for-
mons les n équations (3) A y—cAC+dAD +...
Donnons à A2C le même signe dans toutes les équations, et soient S/ les sommes subordonnées à A2C. Additionnons membre à membre, il viendra l’équation
S'Ay— eS'AC + dS'AD +...
Tirons de là la valeur approchée
2e SA
