Conclusion

Les développements dans lesquels nous venons d’entrer au sujet de la théorie des erreurs et de la résolution des équations de condition ne présentent pas le caractère de rigueur mathématique que l’on est habitué à trouver dans les Sciences exactes. On ne peut pas dire qu'elles aient rallié l'opinion unanime des savants; tandis que les uns y voient un instrument merveilleux de recherches, d’autres, frappés des mécomptes que l'application de ces procédés a occasionnés, leur dénient toute valeur. Nous ne songeons point à reprocher à la méthode des moindres carrés l’usage très général qu’en ont fait les savants allemands; les questions de nationalité sont ici hors de cause; M. Faye remarque d’ailleurs avec raison que Gauss

n’a fait que perfectionner cette méthode qui est due à Legendre. Les erreurs mémorables constatées sur le chiffre de la parallaxe solaire d'Encke et sur la masse de Jupiter, erreurs telles qu’on a dû admettre depuis des chiffres dont les probabilités étaient respectivement te els, Ont été expliquées (!); il n’en reste pas moins ce fait inquiétant que des observateurs et des calculateurs éminents n’ont été avertis par rien de l'incertitude des résultats qu'ils obtenaient : voilà qui est certes de nature à inspirer une défiance salutaire à l'endroit des nombres trop concordants,

Il est nécessaire de connaître ces théories et de savoir les appliquer au besoin, mais il est encore plus nécessaire de ne leur attribuer que leur valeur propre ; il faut les étudier plus spécialement en vue d'apprendre à connaître les erreurs si multiples qui peuvent vicier les observations, et à diriger toute l'attention des observateurs vers les méthodes d'observation les plus propres à en éliminer l'effet. A ce point de vue, nous attachons plus de prix à la manière d'établir les équations de condition qu’à celle de les résoudre.

Quand on se trouvera dans le cas d'appliquer la méthode des moindres carrés, il sera bon de ne pas perdre de vue la condition fondamentale de sa légitimité, qui est l’absence de toute erreur systématique. Or, nous avons montré que toute erreur étant l’effet nécessaire d’une cause, connue ou inconnue, il n’y a pas en réalité d'erreur fortuite, et que la Science tend de jour en jour à en restreindre le nombre et l'importance. Il faudra toujours vérifier a posteriori si les résidus d’erreurs suivent bien la loi des probabilités; s'ils ne la suivent pas, on saura immédiatement qu'on a des résultats incertains; s'ils la suivent, on ne sera pas toujours assuré de tenir la vérité, quoique cela constitue une présomption favorable.

En réalité, toutes les démonstrations s'appuient implicitement ou explicitement sur le théorème de Bernouilli, qui n’est vrai que pour un nombre infini d'événements. L'application à un nombre fini, et parfois minime, n’est donc permise -que sous réserve de contrôle. M. Faye fait observer qu'un petit nombre d'observations

(‘) On peut même y ajouter la détermination de l’aplatissement de la Terre, par

TOR en 1840, Si l’on admet, avec M. Faye, qu’il faut prendre

1 ‘est-à-dire orreur pr s ï à CARS Te gore Cest-à dire que l’erreur probable du dénominateur est 1,5; il s'ensuit que

l'erreur 7,1 du dénominateur de Bessel à une probabilité inférieure à

Bessel, qui a trouvé =

satisfaisant à la loi des erreurs fortuites peut être considéré dans certains cas comme suffisant. Il cite l'exemple de la détermination de l’aplaussement par les mesures du pendule. On peut admettre cette manière de voir quand il s’agit, comme dans l’espèce, de mesures exceptionnellement précises; nous penchons pourtant à croire qu'il y a là un hasard heureux, et que les exemples d’insuccès sont plus nombreux que ceux d'applications bien réussies.

Il suffit, pour s’en convaincre, de réfléchir aux difficultés qu’on éprouve à assigner à chaque équation le poids qui lui convient, et de voir combien une modification de ce poids change le résultat final quand le nombre d'observations est restreint.

Supposons, par exemple, qu’on ait à déterminer deux inconnues æety par trois équations

3x + kY Les DT —- 2Y — {, TL + ÿe 2 6.

On trouvera par la méthode des moindres carrés = =: Si l'on multipliait la dernière équation par 3, ce qui fait LRO) 10) ov : ‘119390 la valeur de x tirée du nouveau systéme serait Fe et le rapport

de ces valeurs est égal à 1,695.

En général, l’erreur probable calculée par ces méthodes est un minimum ; elle donne une idée trop avantageuse de la précision du résultat puisqu'elle ne comprend pas les erreurs systématiques. Supposons qu'on ait un théodolite dont le cercle ne donne que la minute, mais dont la lunette permet de pointer à 10”. Admettons qu'un grand nombre de pointés successifs aient donné une lecture déterminée, par exemple 55°31/. La considération de l'erreur probable assignerait à cette direction une grande précision. Et pourtant elle pourrait fort bien être 25°30/40" ou 25°31/20/ et l’incersitude du résultat est de 20".

Du reste, pour bien apprécier la méthode des moindres carrés, nous ne pouvons mieux faire que d'emprunter à Gauss lui-même quelques considérations éparses dans ses Ouvrages.

« La valeur moyenne de A? paraît très propre à définir et à mesurer, d’une manière générale, l'incertitude d’un système d'ob-

servations. Si l’on objecte que celte convention est arbitraire et ne semble pas nécessaire, nous en convenons volontiers. La question qui nous occupe a, dans sa nature même, quelque chose de vague et ne peut être bien précisée que par un principe jusqu’à un certain point arbitraire... Il faut chercher à établir l’accord le plus satisfaisant... Mais cette idée a, par elle-même, quelque chose de vague... De tous ces principes, le nôtre est le plus simple. Laplace se sert d’un autre principe, proposé d’abord par Boscovich, savoir : que la somme des valeurs absolues des différences devienne MINIMUM... »

Aussi Yvon Villarceau se demande-t-il s’il y à une raison pour préférer la somme des carrés à une somme quelconque de puissances finies.

Enfin, si l'expérience donne raison à la loi des probabilités des erreurs dans quelques cas, généralement le nombre des grandes erreurs est supérieur à celui qu'indique la formule.

Voilà pour ce qui a trait au principe. Quant à l'application, c'est-à-dire à la résolution même des équations de condition, il ne faut pas perdre de vue :

1° Que la méthode des moindres carrés donne des résultats différents selon la première valeur approchée que l’on adopte ;

2° Que la méthode de Cauchy ne donne pas les mêmes résultats numériques, quel que soit l’ordre des éliminations.

Notre but, en présentant ces critiques, n’est pas de déconseiller d'une manière générale l’emploi des méthodes en question. Nous désirons seulement faire comprendre que les chiffres, comme on le dit quelquefois, sont complaisants, et permeltent souvent de se faire à soi-même l'illusion d’une rigueur qui n’existe pas. C’est Pourquoi nous n'avons même pas mentionné ce qu'on appelle le criterium de Pierce, ou celui de Chauvenet, destinés à éliminer systématiquement les observations qui cadrent mal avec la moyenne. : Nous n’admettons cette pratique à aucun ütre, car elle fausse l’esprit même des Sciences d'observation. On ne doit pas rejeter un résultat après COUP, si ce rejet n’est motivé que par une discordance plus grande que celle des autres résultats, et si l’on n’a pas, dans l'impression de l'observateur, constaté avant tout calcul et dans les circonstances mêmes de l'observation, la preuve que celle-ci est douteuse. |

S'ensuit-il qu'il faille se condamner à faire entrer dans une moyenne d’un grand nombre d'observations assez bonnes une ou plusieurs mesures manifestement mauvaises? Une telle prescription serait évidemment trop absolue, surtout dans le cas des observations faites en voyage, avec des instruments plus sujets à des

dérangements, et qui ne peuvent prétendre à être toutes de même

valeur; les erreurs sont plus grandes, plus irrégulières ; des méprises plus où moins grossières sont possibles. Ce que nous repoussons, c’est emploi d’un criterium, arbitraire d’un côté, d’une application purement machinale de l’autre, qui cherche à déduire d’un seul groupe limité d'observations leur degré de précision, alors que M. Bertrand a fait voir combien cette pratique est peu justifiée. Plus les observations sont sujettes à discussion, plus aussi il importe que cette discussion soit réfléchie et consciencieuse, et qu’elle ne soit jamais conduite en vue de faire cadrer le résultat avec une Opinion préconçue et parfois erronée, comme par exemple de le faire s’accorder avec des nombres précédemment affirmés.

Tant qu'on s’en tient aux méthodes actuelles, déduites du calcul des probabilités, le seul criterium acceptable consiste dans la comparaison avec la loi de probabilité des erreurs, etce criterium donne la valeur du résultat total, sans qu'il soit permis de perfectionner celui-ci en rejetant les résultats partiels affectés en apparence des plus grosses erreurs. Telle est l'opinion des Le Verrier, des Yvon Villarceau, des Faye, pour ne citer que ceux-là; telle nous parait être la conclusion la plus digne et la plus vraie. Des nombres déterminés par les plus grands astronomes au début de ce siècle, pas un seul ne subsiste; tout résultat d'expérience est sujet à être modifié et perfectionné, mais les observations faites et discutées avec sincérité ont sur les autres cet avantage qu’elles ne sont jamais entièrement perdues et qu’elles concourent pour leur part au développement et au progrès incessant de la Science.