Courbes de hauteur

On appelle courbe de hauteur le lieu des points de la surface terrestre pour lesquels un astre donné, à un moment donné, a la même hauteur ou la même distance zénithale. Un point de la surface est évidemment déterminé par l'intersection de deux courbes de ce genre, c’est-à-dire par l’observation des hauteurs de deux astres.

Il est aisé de voir que si la Terre était supposée sphérique, la courbe de hauteur d’un astre quelconque serait un petit cercle ayant pour pôle le point qui a cet astre à son zénith, et pour rayon sphérique un arc égal à la distance zénithale de l’astre : ou, ce qui revient au même, celte courbe serait la trace sur la sphère d’un cône de révolution, ayant pour axe la droite qui joint l’astre au centre de la Terre, et pour angle au sommet, c’est-à-dire au centre, la distance zénithale. Ce petit cercle étant coupé normalement par les grands cercles qui passent par son pôle, la tangente à la courbe de hauteur en un point quelconque est perpendiculaire au vertical de l’astre.

Si l’on restitue à la Terre sa forme ellipsoïdale, la courbe de hauteur n’est plus un petit cercle, mais une courbe à double courbure; le lieu des normales au sphéroïde le long de cette courbe n’est plus un cône, mais une surface gauche, lors même que l’ellipsoïde est de révolution. Mais si l’on considère d’une part cette surface, et de l’autre le cône de révolution auquel elle se réduit dans le cas d’une sphère, on voit que chacune des normales à l'ellipsoïde a sa correspondante qui lui est parallèle parmi les génératrices du cône : que, par conséquent, le pied d’une normale de colatitude donnée a même longitude par rapport au point qui a l’astre au zénith, qu'il s'agisse de la sphère ou de l’ellipsoïde, et réciproquement.

CHAP. 111. — FORME ET DIMENSIONS DE LA TERRE 8t

Les deux courbes diffèrent :

1° En ce que les distances, mesurées à la surface de l’ellipsoïde, des points du lieu à la verticale de l’astre ne sont pas égales entre elles, cette verticale ne passant pas par le centre du lieu géométrique, ou mieux, ce lieu n’ayant pas de centre; tandis que sur la sphère il y a symétrie complète autour de cette droite.

2° En ce que la tangente au lieu géométrique n’est plus rigoureusement perpendiculaire au vertical de l’astre.

Il résulte de là que si l’on se borne à la recherche des coordonnées angulaires d’un point (longitude et colatitude), on peut conduire le calcul en supposant la Terre sphérique. Si l’on fait, au contraire, intervenir les azimuts et les distances linéaires, il est nécessaire d’avoir égard à l’aplatissement. De la petitesse de cet élément et du fait que l’ellipsoïde est de révolution il résulte que ces corrections sont petites. Cest plus spécialement dans la pratique de la navigation qu’on est amené à considérer les courbes de hauteur : on peut alors négliger l’influence de l’aplatissement sur l’azimut et admettre que le lieu est normal au vertical de l’astre. Il est tenu compte de l'influence sur les distances par l’introduction de l’aplatissement dans le calcul des latitudes croissantes des cartes marines. Mais dans les calculs des lieux géométriques, où les latitudes croissantes sont employées comme quantités tabulaires auxiliaires, il faut employer celles qui sont calculées pour la sphère, comme on les trouve dans les Tables de Callet.

La courbe de hauteur est déterminée en grandeur par son rayon sphérique, et en position par les coordonnées géographiques de son centre.

On a vu que le rayon sphérique est la distance zénithale; la colatitude du centre est la distance polaire, et sa longitude, l’angle horaire de l’astre relativement au méridien initial : nous avons appelé cette quantité la longitude géographique de l’astre.

Soient £ la longitude géographique de l’astre comptée positivement vers l'Ouest, «l'ascension droite, S, l'heure sidérale du premier méridien, on a pour calculer £ la relation

D — " 1e— Sp KE

La connaissance de l’heure sidérale du premier méridien et des coordonnées équatoriales de l’astre détermine donc le centre du

Casparr. — Astronomie, I. 6

petit cercle de hauteur, dont l'observation de distance zénithale fournit le rayon. |

Sur une sphère ce lieu se trace aisément à l’aide du compas sphérique. Sur une projection stéréographique il se traduit par un petit cercle assez facile à construire. Sur les autres systèmes de projection, ces courbes prennent des formes plus compliquées.

Analyüquement, si l’on désigne par G la longitude d’un point quelconque, l’angle horaire de l’astre en ce point est £{ —G et l'équation du cercle de hauteur est

cost — cosè cos À + sin à sin À cos (£ — G).

Nous aurons à revenir sur diverses applications de ces principes.