Dépression de l'horizon
On a vu ($ 13) que l'horizon apparent est l'intersection de la sphère céleste par un cône ayant pour sommet l'œil de l’observateur, et tangent à la surface terrestre. L'angle au sommet de ce cône est moindre que 90°, son complément à 90° est la dépression vraie de l'horizon. En considérant la Terre comme sphérique, ce cône sera à base circulaire et aura pour axe la verticale. Les circonstances dans lesquelles on est amené à considérer la dépression sont telles qu'il n’est pas nécessaire d’avoir égard à l’aplatissement. L’approximation à laquelle on s’arrête ainsi est suffisante dans la pratique, parce que l’horizon, à une très grande hauteur, cesserait d'être net et distinct. Si l’on voulait pousser l'approximation plus loin, la dépression ne serait plus la même dans le sens du méridien et dans le sens perpendiculaire, à cause de la différence des courbures ; elle serait fonction de l’azimut aussi bien que de la latitude. M. Faye a fait voir qu’au sommet du Pic de Ténériffe (3780 mètres) la différence entre les deux dépressions
atteint 20"; si donc l'horizon était observable à de pareilles altitudes, et si on pouvait compter sur l'égalité des réfractions dans tous les sens, les observations faites en un seul point de hauteur bien connue permettraient de calculer l’aplatissement.
Par l'effet de la réfraction le rayon lumineux issu de l'horizon et arrivant à l'œil chemine en ligne courbe : l'angle de contingence de cette courbe est la correction qu'il faut retrancher de la dépression vraie pour obtenir la dépression apparente. Il n’y a lieu de calculer la dépression que pour l'horizon de la mer. On voit facilement que la dépression vraie est égale à l’angle que font au centre de la Terre deux verticales : celle de l’observateur, et celle du point de contact de la tangente menée par l’œil de l’observateur au point de l'horizon considéré.
Si donc nous désignons par 2 la hauteur de l’œil au-dessus du niveau de la mer, par R le rayon terrestre, par C la dépression vraie, le triangle rectangle qui a pour sommets l'œil, le centre de la Terre et le point de contact de la tangente susdite, nous donnera la relation
(R+k)cosC=R,
h d’où l’on üre, en remarquant que EF est très petit, que par suite GC
l'est aussi, et que le produit de ces ee est négligeable
Le DISIN — —
ou, si l’on veut avoir C en secondes d'arc,
I > à sin 1” R
Dans la théorie de la réfraction géodésique, on admet que la trajectoire courbe d'un rayon lumineux entre deux points terrestres est telle que les tangentes à ses extrémités sont également inclinées sur la corde qui joint ces extrémités. On admet de plus que l’angle de ces deux tangentes, ou la réfraction totale, est proportionnel à l'angle au centre, c’est-à-dire à la dépression vraie, Rien ne prouve que ces hypothèses soient parfaitement rigoureuses : quand la différence d’alutude des deux points est grande, les circonstances de
température et de pression, d’où dépend la réfraction, sont très différentes aux deux extrémités de la corde. C’est ce qui explique comment en Géodésie, même en opérant par distances zénithales réciproques et simultanées, on arrive à un degré de précision beaucoup moindre qu’avec le nivellement topographique direct.
Pour le cas particulier qui nous occupe, cette hypothèse est suffisamment exacte; il est d’ailleurs évident qu’en tout état de cause cette trajectoire est tangente à l'horizon de la mer. Il est aisé, d’après cela, de calculer la dépression apparente.
Par hypothèse la dépression est
0—=C—92nC—C(1—-2n),
n étant un coefficient à déterminer par la théorie de la réfraction ou, mieux, par l'expérience.
Le triangle MCA (/ig. 10) donne, en posant MA — x, AB — ,
(R+hÿ =R'+2 —2RzxsinnC
Fig. 10.
ou RENE ne Fe Re — vi = — Sin?
FOR RETR et aussi, par la règle des sinus,
æ sin C sin C F cos(0+n0). oo 70
Remplaçant par cette valeur, développant les lignes trigono-
métriques et négligeant les termes du troisième ordre, on a
R +pg=C(G—2r)fn +C(i1—-n}];
ne h multiplions par 1 — 2n, observons que C(1—2n)—3etque FREL
l2 Re même que le produit de C?(1 — 27) par le deuxième terme de la parenthèse, 1l vient
: 1 4 2h dE Le TT) Er : sin 1” R
de lordre de C? de l’ordre de C*, que nous négligeons, de
L Ans — et l'erreur
Pour les plus hautes montagnes —ne dépasse guère —
te F2 incertitudes de la réfraction géodésique et le fait même de s’en
relative résultant de la suppression de n’est que de ——. Les
tenir à l'hypothèse de la Terre sphérique introduisent des erreurs au moins égales.
On a donné des valeurs diverses de ce coefficient n.
On a longtemps admis pour la Géodésie n = 0,08, d’après Biot et Arago. En partant de la théorie de la réfraction astronomique, on trouverait avec M. Faye 0,067. Le colonel Everest a tiré n — 0,055 de mesures géodésiques faites aux Indes. L’ingénieur hydrographe Monnier a trouvé que le coefficient qui convient à la Martinique est à peu près le même, 7 — 0,054. Au Caucase, Struve donne 0,09 pour le pied de la chaîne, 0,07 pour le haut. Ces discordances doivent être dues en partie aux différences de température, dont on ne tient pas compte.
11 résulte de là que la dépression n’est jamais connue qu’approximativement, Il serait bon, quand on recherche le maximum de précision, de la déterminer empiriquement dans chaque cas particulier. Un instrument à réflexion pouvant mesurer des angles voisins de 180° peut servir de dépressiomètre. (Cercle avec miroir additionnel de Daussy, cercle à prisme de Pistor). Mais l’expérience même ne donne pas toujours des valeurs suffisamment concordantes. Il faut d’ailleurs supposer alors que la dépression est la même dans toute l'étendue de l'horizon, ce qui resterait à prouver.
Ce qui est établi par l'expérience, c’est que les Tables de dépressions, calculées avec le coefficient 0,08 donnent souvent lieu à des erreurs pouvant s'élever à 2’; M. de Tessan l’a montré par des mesures directes : nous en avons acquis nous-même la preuve en comparant des latitudes observées à l'horizon de la mer avec des latitudes exactes données par le théodolite.
Les mesures d'altitude par la dépression de l’horizon ne donneront donc en général, et «& fortiori, qu'une approximation médiocre; cette approximation est encore moindre quand on emploie, comme cela se fait quelquefois, des dépressions assez petites pour la détermination des distances horizontales.
Lorsque la mer est agitée, le cône des rayons visuels est tangent à la surface supérieure des lames. Si donc on considère la hauteur de celles-ci comme étant la même dans toute l'étendue de l'horizon visible, et si on est parvenu à la mesurer, il faudra diminuer la hauteur de l’œil, avec laquelle on entre dans les Tables de dépression comme argument, d’une quantité égale à la moitié de l’amplitude des lames, c’est-à-dire de la distance verticale qu'il y a entre le creux et la crête.
Par mer agitée il y aurait intérêt à augmenter la hauteur de l’œil pour réduire cette erreur. Il est vrai qu'on augmenterait d'autant la difficulté d'observer, due aux mouvements du navire.
Lorsqu'il y a du mirage, on peut être exposé à des erreurs beaucoup plus fortes que celles que nous avons signalées. M. de Tessan cite des cas de dépression négative, d’où on déduirait ? — 0,53 et même 7 — 0,75 (en remplaçant dans la formule /1—27 par 1 — An). D’autres fois il a observé des dépressions exagérées qui conduiraient à des valeurs négatives — 0, 13 et — 0,08 de ce coefficient. De l’ensemble de ses observations à la mer on déduirait » — 0, 045. M. le lieutenant de vaisseau Perrin est arrivé récemment au même résultat. La Table des dépressions que nous donnons est calculée avec ce chiffre. Nous avons adopté, pour le rayon, le rayon de courbure moyen par 30° de latitude, parce qu’on navigue rarement au delà de 60° de latitude et que, dans ce cas là, on subit des gros temps qui enlèvent toute précision aux observations faites à l’horizon. Nous prenons donc
R = 6 364 323 mètres, log R — 6,80396.
Nous n'avons pas à parler ici d’une manière plus détaillée de la réfraction géodésique. Il n’est pourtant pas sans intérêt de donner la formule à l’aide de laquelle on peut calculer la différence de niveau de deux points, en l’un desquels on a observé la distance zénithale de l'autre. Soit A cette différence, 4 la distance itinéraire en mètres, c’est-à-dire la longueur de l’arc de grand cercle, { la distance zénithale observée, on a
h = d'cotang € + 0,42 es Le coefficient 0,42 — + — 0,08 dépend du coefficient » de la
réfraction géodésique. Il sera bon de lui substituer 0, 44 dans les pays chauds.
mm
