X -r -~dx\ dydz. La somme des flux de forces à travers le
deux faces opposées ABDC et EFHG est donc — dxdydz.O^
trouverait de même pour la somme des flux de forces à travers les faces opposées AGGE, BDHF et ABFE, CDHG, en désignant par Y et Z les composantes du champ en A parallèles respecU-
vement à OY et OZ, -r-dx dy dz el ^ dx dy dz. La somme i^
flux de forces à travers les six faces du parallélépipède est donc
(j — \- - — ^ 'J~) ^-^ ^y ^^' Écrivons que ce flux de forces total
est égal au produit par /{Tz de la quantité de magnétisme contenue à l'intérieur du parallélépipède qui, si Ton appelle p la densité magnétique cubique à son intérieur, que nous supposons ne pa^ contenir la surface de séparation de deux substances diflférentes, est égale à p dx dydZy d'après la défmition même de o (3); on a, en supprimant le facteur commun dx dy dzy
^X ÔY '""^ == dx -^ JP
AIMANTS. l3l
çant X, Y, Z par leurs expressions au moyen du povient
Hation de Poisson dans le cas du magnélisme.
Lt magnétique. — Considérons un tube de forces fermé 3 (*) dans un milieu homogène ou hétérogène, mais î conserver du magnétisme rigide. Ce tube de forces avec un lube d'induction et le flux d'induction a la r à travers toutes les sections du tube, comme nous (n"* 18). Cette propriété rappelle une propriété s courants électriques : dans un circuit conducteur nsité du courant est la même à travers toutes les secducteur. L'analogie entre le flux d'induction et l'incourant électrique se poursuit plus loin, et ces deux onnent lieu a des relations de même forme, comme le montrer.
valeur constante du flux d'induction à l'intérieur d'un ces fermé infiniment mince. En désignant par s la le du tube en un point, par |jl et C^ la perméabilité t du champ en ce point, on a, d'après les défini-
le potentiel magnétique au point considéré et / la mptée sur une ligne de forces dans le sens des potensant à partir d'une origine quelconque; on a
nt :HL par cette valeur dans (i), il vient
ints fermés ou les bobines donnent des lignes de forces magncel, par conséquent, des tubes de forces fermés. Il en est de même nls.
]3'i CHAPITRE II.
AI
Remarquons que — ne dépend que des propriétés du tronçoi
lube de longueur dl\ on appelle cette grandeur la réluctana tronçon. En la désignant par dA, on a donc, par définition,
(4) dSl= — .
On appelle réluctance A d^une portion finie quelconque < tube de forces la somme des réluctances des divers tronçons ec quels on peut décomposer la portion du tube considérée :
En remplaçant, dans (3), — par sa valeur dAy on a
(G) — c?V = «tÉ^R.
Faisons la somme des deux membres de cette égalité pour les tronçons placés bout à bout qui constituent le tube de f(
fermé ; il vient, en désignant par ^ la variation / — rfV du pc
tiel magnétique le long d'une ligne de forces fermée du et en remarquant que 0 est une constante,
(7) .î = *Jl ou *=5f
Celle grandeur J s'appelle la force magné tomoiricc. D'î ce que nous avons élabli plus haut [Chap. I, n° 17, form. si le lube de forces fermé infiniment mince enlace /î| fois un rant d'intensité /<, n^ fois un courant d'intensité «j, n^ foi courant d'intensité /a, etc., on a, pour^ = V — V,
( 8 ) r7 = iti 4 71 « 1 /, zi: 4 t: /ij «2 di 4 TT Ws «3 rb
On doit prendre le signe + si, dans le sens considéré < marche sur la ligne de forces, on rencontre d'abord la face su feuillet équivalent au courant et ensuite la face nord, ( signe — dans le cas contraire. Il convient de choisir, du i comme sens de marche, celui qui donne pour § une valeur tive.
On voit que la relation (7) donne la valeur du flux d'induct
lu moyen de la force magnétomotrîce § et de la réluctance ^,
E comme la relation d'Ohm 1= — (t. 1, Chap. XI, n" 10) donne
l'intensité d'un courant I au moyen de la force électromotrice E, tl de la résistance R du circuit conducteur fermé.
Remarquons aussi qiie, d'après les relations (4) et (5), la réluctance est donnée par une relation tout à fait semblable à celle
f rfR = p — , R = / rfR) qui fournit la résistance R d'un conducteur linéaire (t. 1, Chap. XI, n** 7); la perméabilité |a joue le rôle de la conductibilité ( -> inverse de la résistivité pj.
Supposons maintenant un tube de forces fermé de section finie, mais tel que toutes les lignes de forces contenues à son intérieur enlacent le même nombre de fois les courants fermés qui se trouvent dans le champ, de façon que la force magnélomotrice § soit la même le long de toutes ces lignes de forces. Décomposons ce tube en une infinité de tubes de forces fermés de sections infiniment petites, auxquels les relations précédentes s'appliquent. En appelant 0|, ^2j • • •; ^/i les flux d'induction à travers chacun de ces tubes de section infiniment petite et ^i, ^2? ^3} •••} ^//; leur réluctance, on a
En additionnant membre à membre et en remarquant que la »omme ^i -h^a-f-. ..-f- 4>„ est le flux d'indu'ction ^ à travers le Lube de forces de section finie, il vient
\tR| éif Sin)
Posons
wVi cR.j S{.n ^
^ étant, par définition, la réluctance du tube de forces fermé de
l3i CHAMTKC II.
section finie: on a encore
On voîl. d'après «9), qu'en appelant />erifirâ/ic^ l'inverse ?
d'une relue Lance, la perméance d'un tube de forces fermé est la somme des perméances des iubes de forces fermés en lesquels on peut le d •'composer.
Cette relation esl lout à fait analogue encore à la relation entre la conductance (inverse d'une résistance) d'un circuit fermé et I2 conductance des circuits fermés en lesquels on peut le décomposer.
On pourrait poursui\re plus loin l'analogie entre les propriétés du circuit magnétique et celles du circuit électrique, en toos points cornparalile. Cette analogie rend les plus grands services, car certains problèmes sur le circuit magnétique se ramènenl immédiatement aux problèmes analogues du circuit électrique dont la solution est connue ou évidente.
En particulier, remarquons qu'un circuit de fer doux qui est doué d'une grande perméance placé dans l'air, dont la perméabilité Cbt sensiblement égale à l'unité, c'est-à-dire très faible, est comparable pour la conduction des flux d'induction à ce que serait, pour un courant électrique, un circuit métallique de grande conductance placé au milieu d'eau acidulée de faible conductibi* lité. Dans les deux cas, les dérivations du flux d'induction dans l'air ou du courant dans l'eau acidulée existent, mais la ploâ grande partie du flux d'induction ou du courant passe dans le métal. Cette comparaison est souvent commode pour se rendre compte de l'eflet d'une disposition des pièces de fer dans le circuit magnétique.
Les dimensions d'une réiuctance sont, d'après la formule de délinition (4), l'inverse des dimensions d'une longueur, puisque la perméabilité a est sans dimension :
(10) [ia] = [L]-».
Quant aux dimensions d'une force magnétomotricc, d'après (8), elles sont les mêmes que celles d'une intensité de courant
('0 [^] = [F]« =- [Lp[M]«[T]-i.
On retrouve bien ainsi, pour le quotient de cf par t^, les dimensions d^un flux d'induction
[*l = [LnM]î[Tj-t.
24. De réTaluation de la force magnétomotrice. — La force ma-
p^nétomotrice est fournie habituellement par une ou plusieurs
lM>bines de fil parcourues par un courant. Elles donnent naissance
à des lignes de forces fermées passant à l'intérieur des bobines et,
par conséquent, à des tubes de forces fermés, pour lesquels le flux
d'induction est donné par la relation ci-dessus. Chaque bobine fournit à la force magnétomotrice, en appelant n
le nombre de tours de fil et / l'intensité du courant, un terme de
la forme
qa'on appelle la force magnétomotrice de la bobine. En désignant par ^i, ^2) '?3j ... les forces magnétomotrices des diverses bobines à Tintérieur desquelles passe un môme tube de forces fermé, la relation générale qui donne la force magnétomotrice totale j (n« 23, formule 8) devient
tf I — rf \ i rf-^Z' (if 3 it . . . ,
avecla même convention que ci-dessus. Les forces magnétomotrices précédées du même signe ajoutent leurs ellets : elles sont dites en tension ; celles qui sont précédées de signes contraires produisent des eflets qui se nuisent : on les dit en opposition. Bien entendu, quand on veut obtenir la plus grande valeur pour Je pJus d^induction, on doit disposer toutes les forces magnétomotrices en tension, c'est-à-dire qu'elles doivent être toutes disposées de façon qu'en suivant une ligne qui les traverse on rencontre dans le même ordre les faces sud et nord pour chacun des feuillets équivalents aux courants.
Comme nous l'avons vu, dans la pratique on évalue l'intensité d^un courant en ampères. Soit I l'intensité évaluée avec cette unité; l'intensité du même courant en unités électromagnétiques C. G.S, est i= — > et en substituant à i cette valeur dans ^ 10
i36 CHAPiTas II.
la relation (i) celle-ci prend la forme
Le produit ni qui, multiplié par le facteur conslant — > doniK la force magné le motrice de la bobine, se nomme le nomhrt d'ampères-tours. C'est toujours en ampèrea-toars qu'on indiqdt, dans la pratique, la force magnélomotrice d'une bobine.
Les considérations sur l'évaluation du flux d'induction que oaui venons d'exposer ont un grand intérêt pratique pour l'étude d« électro-aimants et des dynamos.
25. Ëlfictro-aimants. — Un électro-aimant consiste en uneoo plusieurs bobines disposées en tension entourant un circuit u fer doux. Ce circuit est généralement ouvert, et ses exlrémitésA et B {Jig- 65) s'appellent les pièces polaires de l'électro-aimiDt on, par abréviation, ses pâles.
if
Entre les pièces polaires d'un électro- aimant (entrefer) « trouve un cbamp magnétique qui peut être considérable; aussisc sert-on, comme nous l'avons déjà dit, des électro-aimants poot obtenir des champs très intenses.
Pour trouver les conditions qui donnent un champ intense dui l'entrefer, remarquons que le flux d'induction qui traverse lef« doux à l'intérrenr des bobines a la même valeur que celui qui tciverse Je tube de forces qui, dans l'air, rejoint ces pièces poltim et ferme le circuit magnétique (Jig. 66). Dans l'air, le flux d'induction * se confond avec le flux de forces ç et l'induction A itbc
AIMANTS. l37
rinlensilé du champ 5C. Par conséquent, tout ce qui augmente Finduction dans le circuit magnétique augmente l'intensité du
champ dans Tentrefer, en général. Or, d'après la relation O = ^,
Fig. 66.
tique, à cause de la grande perméabilité du fer doux (A = / — \
on voit que l'induction est d'autant plus grande : i^ que la force magnëtomotrice #des bobines, c'est-à-dire leur nombre d'ampèrestoiirs, est plus considérable; 2^ que la réhictance du circuit est plus Taible. Or, la réluctance de la partie fer doux du circuit est faible vis-à-vis de la réluctance de la partie air du circuit magné-
Puisque la plus grande partie de la réluclance se trouve dans l'entrefer, il y a avantage à rendre celui-ci aussi court que possible. En rapprochant beaucoup les pièces polaires pour diminuer l'entrefer, on trouve un second avantage : c'est que les tubes de forces s'élargissent moins dans l'air et, par conséquent, que le flux d'induction pour une surface égale à l'unité et normale aux lignes de forces, c'est-à-dire l'induction iil> dans le champ o, est plus intense.
La figure 67 représente la forme que le constructeur parisien Ruhmkorir a donnée à l'électro-aimant pour obtenir des champs très intenses. Deux bobines à noyaux de fer doux ont leurs axes disposés horizontalement dans le prolongement l'un de l'autre. irémités qui se font face dans les deux bobines forment les
pièces polaires auxquelles on donne des formes diverses : soitls l'orme de troncs de câneC et D{/ig. 68) pour avoirun champ très
intense de faible étendue tt A ou B pour avoir tin clia
nsvcisale ('), soit la forme de cyW*:
ij» à peu près iinifornie sur une
iQi^^i
grande étendue, mais moins intense qu'avec les troncs de cûd<^ Les autres extrémités sont portées par une forte équerre eo fdoux HH' ou Il'{y/^'. ti-j), qui repose par sa partie inférieure! ou 1' sur un banc de fer doux D. Des vis de pression permelten d'assujettir à une distance convenable les équerrcs sur le banc el par conséquent, de donner à l'entrefer la longueur désirée. 0 voit que les pièces polaires sont réunies par un circuit eu ( doux. HIl'DI'l; la réiuctance est donc très faible.
Dans le but d'augmenter le plus possible la force magnéto»)
AIU\NTS. l^<t
trice, M. I*. Weiss a donné ù IV'Ieclro-aimant spivant à obtenir lies clinmps intenses la forme indiquée par la ligure 69 : la plus gnaiJc partie du circuit de fer doux est entourée par des bobines. U (iislancc des pièces polaires A et B est variable à l'aide de vis, i|!ii^ lies poignées en bronze C et D servent à mana'uvrer.
I- du Bois, en Allemagne, a inditjut- une disposition d'élecnanl, ayant des branches arquées (JΣ.'. 70), qui fournil un MmjUrJs intense entre ses pîi^ces polaires A et B, mai* qui rsl d'une coDsIruclion un peu compliqm^e.
Signalons, enfin, l'exisience d'un electro-aimant monstre, conitruilpar M.Limb pour le laboratoire d'enseignement de la Phjfiqae à la Sorbonne {Jig, 71). Il a la même disposition, pour fe* hobînes, que l'électro-aimant de RuhrakorlT; mais la portion da circuit magnétique en fer, rejoignant les nojanx des deux !i0l)ine«, forme une enveloppe cylindrique autour de celles-ci. Irflle enveloppe est percée de deux grandes ouverlures, pour «rtncttre l'accès entre les pièces polaires situées à son intérieur.
irge sectiOJ
niagm
, fer
obtenu)
AIMANTS. l4r
donne une réluctance 1res faible ; aussi fournit-il, entre ses pièces polaires, le cliamp le plus inlcnse qu'on ait obtenu jusqu'ici, 5oooo unités C.G.S. environ. Cette disposition a aussi l'avan- ^ge, considérable pour un laboratoire de Physique, de ne donner qu'un champ magnétique relativement faible autour de l'électro-aimant, le flux d'induction passant presque entièrement à l'iniérieur de l'enveloppe cylindrique en fer, une très faible fraction seulement se dérivant dans l'air extérieur.
j 26. Tension magnétique. — De même qu'un conducteur élec-
trisé a sa surface soumise à des forces de tension normales tendantà tirer chaque élément de surfaces vers l'extérieur, de même la suri'ace d'un atmant est soumise, dans ses parties couvertes de magnétisme, à des forces de tension dirigées aussi vers l'extérieur. C'est ce que nous allons établir, surtout en vue de traiter U question de la force portante des aimants ou des électroaimanU,
Nous nous bornerons à examiner le cas où la substance aimantée est incapable de conserver du magnétisme rigide (c'est le cas comparable à celui des corps conducteurs pour les tensions électrj({ucs}. Supposons un corps homogène de cette catégorie placé dans un champ uniforme d'intensité 3C. Pratiquons une fente vide plaoe infiniment mince AA' et BB' i^fig. 73), perpendiculaire aux
Fig. 71.
lignes de forces du cliamp; il apparaîtra, sur la face A.V, par où le champ sort du corps du magnétisme nord ou sud suivant que la subtance est magnétique ou diamagoétique ayant pour densité 3, ^ k'X.y en appelant k la susceptibilité magnétique de la substance. Cette couche de magnétisme qui est sur la surface plane AA.',
Ma
fournit, pour des points C ou D {^fig- 72) situés à une distance infiniment petite de AA'^ un champ ayant pour intensité JC| =: 2ff7| (Chap. I, n° 2o), et normal au plan AA^ Si nous appelons JC^ rintensité du champ dû aux autres causes que la couche magaétique AA', le champ, soit dans Tintérieur du corps, soit dans la fente, est la résultante des champs d'intensités ^1 et JC2. Comme le champ résultant est normal à AA' ainsi que ^i , il faut que X^ soit aussi normal à AA'. Si, pour fixer les idées, nous supposons que o-Q est positif (corps magnétique), le champ produit par la couche magnétique AA' est tourné en C comme en D dans le sens qui éloigne de cette surface; on voit qu'alors, on a, pour le champ rfC dans le corps (en C par exemple), CKi = JC^ — 3C|; d'où :
rîCj = 5c -4- îAiTffOî
et en désignant par ill> Tinduction, c'est-à-dire l'intensité du champ dans la fente vide (en D par exemple), ilb = 3C2-h 3C|; d'où
rfCj =t \ii) — 211^0.
Ces relations (1) et (2) subsistent évidemment, du reste, dans le cas des corps diamagnétiques, car si «Tq est négatif le champ produit par la couche magnétique AA' est tourné dans le sensqni rapproche de celte surface.
Or, le champ produit par la couche magnétique AA' ne peut agir sur cette couche. Il n'y a donc que le champ d'intensité 3Cj qui agit sur elle. Par conséquent, une surface d'étendue s de la couche AA' est soumise à une force / normale à celle-ci ayant pour intensité
f — S(Jo ^i = S7o{3t -^ 2 TZIq ) = 5 ffo ( '^^ — 2ir<Jo ).
f Le quotient ~ de cette force par l'étendue de la surface sur
laquelle elle agit est ce que nous appellerons la tension niagné^ tique; en la désignant par t, on a donc
T = — = ao(3C -f- 27rTo) = ^o('^i> — aiTffo).
Comme on a «Tq = A' JC = — , — 5C = -^ i)b en désignant par |x
perméabilité du corps, il vient
1, - !^'-' Vi- '"•'V, M
Nous n'avons considéré jusqu'ici que la face A A' par où le hamp sort du corps. En considérant la face BB' par où il entre lans le corps et en raisonnant de même, on trouverait que la rela- .ion (5) représente encore la tension sur cette face.
Si le corps est magnétique, la force de tension est toujours tournée vers l'extérieur du corps, qu'il s'agisse de la face de sortie (lu champ AA' ou de la face d'entrée BB'. C'est l'inverse si le corps est diamagnétique, puisque la densité des couches magnétiques sur les faces AA' et BB' est changée de signe, le champ agissant sur ces couches conservant le même sens.
Dans le cas des corps ferromagnétiques, — étant en général (* )
négligeable devant Tunité, la relation (5) devient simplement
Toules les fois que, pour une même substance homogène inca- ^ble de posséder du magnétisme rigide, les lignes de forces eroRl normales à la surface de séparation du vide et du corps, et ue rintensité du champ 3Cà l'intérieur de celui-ci à une distance '//niment petite de sa surface sera la même, que, par conséquent, nduction i»l> sera la même, en vertu du principe d'action de mi-
j (T. I**", Chap. IV, n*" 1), la tension magnétique t = -j- sera
méfxie aussi, quelle que soit la forme de la surface du corps lanlé et quels que soient les corps environnants. Les relais (4)? (5) et (6) sont donc générales.
I Ce n'est que pour des champs extrêmement intenses, très difficilement utiles» que, la perméabilité [i des corps ferromagnétiques se rapprochant de
;é, — 5 cesserait d'être négligeable.
Remarquons que cette relation est la même que celle trouvée pour la ten-
riecinquc a la suridcu ucs uuiiuui;icur& «tu cuiiicili uu viuu ^ = - — , où 9 repré-
rintensité du champ électrique dans le vide, comme ci-dessus 1iî> représente usité da champ magnétique.
Remarquons enfin que les propriétés magnéliques de Faîr sodI si voisines de celles du vide que les relations ci-dessas sont pratiquement applicables dans le cas où le corps aimanté est baigné par Tair.
Nous n'avons traité que le cas où les lignes de forces sont oormales à la surface du corps. Dans le cas où elles sont obliques, Ii force de tension est aussi oblique à l'élément de surface sur lequel elle agit. Nous ne nous occuperons pas en détail de ce cas plus complexe peu utile pour la suite. On le traiterait, du reste, en suivant exactement la même marche que celle que nous veooos d'indiquer.
27. Force portante d'un aimant. — Quand on veut faire porter un poids à un aimant ou à un électro-aimant, on lui donne, et général, une forme en fer-à-cheval (^fig- 78 et 7.4) et Ton place
Fig. 73.
Fig. 74.
rc
ûj
ûD
en face de ses extrémités polaires A et B une pièce de fer doux CD appelée contact; celle-ci prend, vis-à-vis des extrémités polaires A et B, des pôles de noms contraires, d'où une attraction par les deux extrémités.
Supposons le contact plan à sa partie supérieure et à une distance infiniment petite des pièces polaires de Taimant planes aussi. Supposons le contact assez large pour couvrir complèl^ ment les surfaces polaires planes A et B d'étendues s. Dans ce cas, tout ou presque tout le flux d'induction qui sort de Faimaot par une de ses extrémités polaires et rentre par Fautre, traverse le contact, qui ferme ainsi le circuit magnétique. Dans l'entrefer infiniment mince existant entre A et C ou B et D se trouve une induction égale à Db; les lignes de forces étant presque partout
)rinales à la surface plane du contact, la tension à la surface C 1 D est égale à -r^ et la force de tension est donnée pour chacune
25 extrémités par — — » ce qui fait, pour l'ensemble F des deux 5les parallèles agissant aux deux extrémités.
Telle est la valeur de la force portante de l'aimant ou de électro-aimant, c'est-à-dire de la force qu'il faudra faire agir ormalement aux surfaces polaires pour détacher le contact.
Pour montrer une application de la formule (i) et de quelques itres formules établies antérieurement, faisons le calcul complet B la force portante d'un électro-aimant avec les données suiîntes :
Deux bobines ayant chacune 10 couches de fil de cuivre, de 3°*™ nviron de diamètre, faisant 4o spires par couche, sont alimentées ar un courant d*intensité I = i o amprres ; soit
ni = 800 X 10 = 8000 ampères-tours.
La force magnétomotrice ^ a donc pour valeur
^ = ~ /i I = — 8000 = loooo ( en nombre rond). 10 10
Le noyau de l'électro-aimant en fer doux a la forme d'un fer à cheval de section circulaire ayant 4^" de diamètre, soit pour seclion 5 = 12*^"', 57; les pièces polaires sont réunies par un contact enfer doux d'une section un peu plus grande. Le tout forme un circuit magnétique fermé, en fer, d'une longueur totale /= 5o*^". L'intensité du champ JC est ici la même à peu près dans tout le circuit magnétique, puisque la section s et le flux d'induction 4> y sont l'un et l'autre partout à peu près les mêmes (*). Voici comment on peut alors en trouver la valeur. On a, en désignant
( •) Le flux d'induction aurait partout la môme valeur dans le fer si Ton néglirait les dérivations très faibles à travers Tair.
