P. — IC

f46 CHAPITRE II.

par él= — la réluctance du circiiil magnétique, d'où

„ j 10 ooo , . .

oc = -T = —z — =200 (»),

Connaissant ainsi 5C, on cherche dans les Tables fournies par l'expérience quelle est, pour cette valeur de 5C, la valeur de |xco^ respondanle, et Ton trouve lil= 90; d'où, pour l'induction,

\\\) = |ji^ = 90 X 200 = 18000.

La force portante F est donc

^ iift)* 12.^7x18000 ^ , ,

F = — — = — , = 324000000 dynes.

Comme le poids d'un kilogramme à Paris vaut 981 000 dj-nes, la force y exprimée en poids du kilogramme est

Remarquons que, d'après les données, les bobines de cet électro-aimant auraient seulement 12^^ à iS**" de hauteur et lo*" de diamètre extérieur. Comme il est facile d'avoir des électroaimants bien plus puissants, on voit que la force portante de ces appareils est considérable.

28. Travail dans le déplacement d'un circuit. — Quand an circuit linéaire parcouru par un courant se déplace dans un champ magnétique de constitution invariable, les forces électromagnétiques qui agissent sur le circuit accomplissent un certain travail. Nous allons, pour évaluer ce travail, nous servir de la re-

(') On peut obtenir immédiatement la relation C^ = y en partant de la défi-

nition de la force magnétomotrice, qui est le travail de la force JC agissant sor un point M chargé de l'unité de magnétisme quand le point M a fait le tour d'une ligne de force fermée du circuit magnétique, c'est-à-dire a parcouru la loagueur /; on a donc^ = JC/.

AIMANTS. l47

:îon d/=iJQ,sinoLdl établie plus haut (Chap. I, n® 14), qui ►nne la valeur c/f de la force électromagnétique agissant sur îlément. Mais remarquons que cetle relation est fondée, en défiilive, sur les expériences de Weber(ou sur d'autres analogues). )r, ces expériences ont été faites dans Tair; la relation ci-dessus ledoit donc être appliquée que dans le cas où l'élément de courant est baigné par l'air ou par le vide, car, au degré de précision de ces expériences, le résultat aurait été le même pour le vide. Nous verrons plus loin, à propos de l'induction, qu'il y a tout lieu de penser que si l'élément est placé dans un milieu de perméabilité pi, la relation exacte qui donne la force rf/*doit être

df = |jLt JC sin a dl.

Mais, pour ne pas faire de cercle vicieux dans nos démonstrations, nous allons ici considérer uniquement le cas où le circuit se déplace dans le vide ou, par approximation, dans l'air, ce qui est toujours le cas de la pratique, du reste. Nous allons alors démontrer que ce travail est donné par

(i) w = iA4>,

en désignant par / l'intensité du courant et par A<I> la variation du flux d'induction à travers les deux positions successives du circuit, en considérant, pour les surfaces Si et $2 qui s'appuient sur la première et la deuxième position de celui-ci et qui servent à évaluer le flux d'induction, la normale tournée à la gauche de l'observateur d'x\mpère qui regarderait dans l'intérieur du circuit fermé.

Considérons d'abord le cas où un élément de courant, qu'on

peut supposer rectiligne, subit un déplacement infiniment petit.

Les forces électromagnétiques qui agissent sur lui se réduisent à

<ine résultante appliquée en son milieu. Nous allons établir que

le travail dw est donné par

2) dw = irfo,

n appelant d^ le flux de forces à travers la surface engendrée par r déplacement élémentaire de l'élément, la normale à cette surce étant tournée du côté que regarderait un observateur d'Ambre ayaDt le déplacement à sa gauche. Pour cela, nous allons con-

j48 chapitre II.

sidérer successivement plusieurs cas particuliers pour arriver an cas général.

Premier cas. — Le déplacement élémentaire est de translation et la direction du champ est normale au plan du déplacement. — Dans la figure 75, où les deux positions successÎTes

Fig. 75.

Ao ^ ^ *' ^B»

de Télément sont A| B| et A2B2, nous supposerons que le sensdo champ est d'arrière en avant. La force électromagnétique rf/ perpendiculaire à la fois au courant et au champ, se trouve dus le plan du déplacement, étant à la gauche de Fobservateur d'Ampère qui regarde dans le sens du champ, et accomplit ici un travail positif donné par

(3) dw = d/xOK = i:K,dl>: OK,

en désignant par JC 1 intensité du champ, par dl Isl longueur de l'élément de courant et par OK la distance des deux positions de celui-ci. Mais remarquons que dl x OK représente Taire ds dft jiarallélogramme engendré parle déplacement de l'élément; ont donc

(4) dw = i^ ds.

Or, :iQ,ds est le flux de forces d'f à travers la surface du parallélogramme; on a donc bien, dans ce cas :

{•ibis) dw = id^.

Cette relation donnera toujours aussi le signe du travail si Ton choisit pour la partie positive de la normale au parallélogramme celle que regarderait un observateur d'Ampère ayant le déplacement à sa gauche.

Deuxième cas. — Le déplacement est encore de translation mais le champ est dans le plan du déplacement, — La force

AIMANTS. l49

lectromagnétique étant, dans ce cas, perpendiculaire au plan du léplacement, accomplit un travail nul. D^ailleurs, le flux de forces I travers la surface engendrée par le déplacement de l'élément est Qul aussi; par conséquent, la relation (2) est satisfaite, les deux membres étant nuls.

Troisième cas. — Le déplacement est toujours de translation, mais la direction du champ est oblique au plan du déplacement. — Ce cas se ramène immédiatement aux deux précédenls, en décomposant le champ en deux autres : l'un normal au plan du déplacement et l'autre dans ce plan. Le travail div est la somme des travaux des forces électromagnétiques /i ety2 correspondant aux deux champs composants. Or, la première accomplit un travail égal à id^^ (premier cas), en appelant rfcp, le flux de forces à travers la surface S engendrée par l'élément pour le champ composant perpendiculaire à cette surface. Quant au travail accompli par /jj '1 est nul (deuxième cas). Le travail se réduit donc à id(fi. D'autre part, le flux de forces dtf à travers la surface S étant la somme des flux dus aux deux champs composants, se réduit au flux d'fi donné par le champ composant perpendiculaire à S, puisque le flux donné par l'autre champ composant situé dans le plan de S est nul. On a donc e/cp = rf'^i, et 'a relation (2) est encore applicable dans ce cas.

Quatrième cas. — Le déplacement infiniment petit de Vêléent n'est pas de translation. — Le travail étant le même quel 16 soit le trajet infiniment court qui amène l'élément de sa posi- ►n initiale A|Bi à sa position finale A2B2 {fig^ 76), supposons

Fig. 76.

ir en calculer la valeur dw^ que, par un mouvement de transon, l'élément soit d'abord déplacé de façon à amener le point >plîcation O de la force électromagnétique de sa position îale 0| à sa position finale O2, puis que, par une rotation

l5o CHAPITRE II.

inGnimenl petite convenable, on amène l'élémenl de cette position A', B( à la position finale A2B2. Le travail étaut nul dans cette rotation, puisque le point d'application de la force ne bouge pas, le travail total dw se réduit au travail dans la translation égal à id^i^ en appelant d'ft le flux de forces à travers le parallélogramme A|A'^B'^B|. D'autre part, la surface engendrée 5 par It rotation infiniment petite de Télément autour de O^ est un infiniment petit du troisième ordre, tandis que la surface S du parallélogramme n'est qu'un infiniment petit du second ordre; s est donc négligeable devant S, et il en est de même du flux de forces à travers s vis-à-vis du flux do^ à travers S. On a donc, en appelant d^ le flux de forces à travers la surface engendrée par le déplacement total de l'élément, doi = do^ par conséquent la relation (2) est toujours applicable.

Enfin l'élément peut, en se déplaçant, se raccourcir ou s'allonger infiniment peu par rapport à sa longueur, et la relation (s) reste encore exacte, parce que ses deux termes ne varient que d'une quantité inOniment petite par rapport à eux, négli{[eable par conséquent; cette relation est donc tout à fait générale.

Nous pouvons facilement passer maintenant au cas d'un circoil fermé se déplaçant d'une quantité infiniment petite en se déformant infiniment peu ou non. En appliquant la relation (2) à chacun des éléments du circuit et en faisant la somme de ces relations membre à membre, on obtiendra une relation dont le premier membre sera le travail div des forces électromagnétiques el le second le flux de forces d'f à travers la surface S engendrée par le déplacement du circuit fermé. Nous obtiendrons donc encore une relation div = ido de même forme que la relation (2).

Menons une surface S2 (.A^- 77) s'appuyant sur la deuxième position A2B2 du circuit et située entièrement dans le vide. Désignons par 4>2 le flux de forces à travers cette surface, c'est-à-dire le flux d'induction à travers la deuxième position du circuit, en prenant la normale à la gauche de l'observateur d^Ampère qui regarderait dans l'intérieur du circuit; et soit, avec la même convention pour la normale 4>|, le flux de forces à travers la surface S| formée par l'ensemble des surfaces S et S2, c'est-à-dire le flux d'induction à travers la première position du circuit A| B|. On a,

AIMANTS. l5l

grandeur et en signe, rfcp = <I>2 — <I>, = rf<I>. Ainsi, dans la lation dw = idf, la quantité rfy représente l'accroissement lilniraent petit rf4> qu'éprouve le flux d'induction à travers le

fis- 77-

circuit par le déplacement ou la déformation infiniment faible de celui-ci.

Dès lors, pour avoir la valeur des travaux w des forces électromagnétiques dans un déplacement fini accompagné ou non dW déformation Gnie du circuit, il suffit d*inlégrer la relation dw=zid^. En appelant ^^ et <ï>2 les flux d'induction à travers deux surfaces Sj et So s*appuyant sur la première et sur la deuxième position du circuit, avec les mêmes conventions pour la normale que ci-dessus, on a

(5) iv = /(*j-- *i) = i A*;

c'est bien la relation (i) que nous voulions établir (*).

Remarquons que la considération du flux d'induction à travers le circuit fermé est plus commode que celle du flux de forces pour l'énoncé du théorème précédent, parce que le flux d'induction a la même valeur à travers toutes les surfaces s'appuyant sur le contour du circuit, quelles que soient les substances coupées par la surface, tandis qu'il n'en est pas de même pour le flux de forces,

d'où la nécessité alors de ne considérer que des surfaces menées

dans le vide.

(') Dans le cas où le circuit ne se déforme pas en se déplaçant, on peut donner le démonstration plus rapide fondée sur la considération du potentiel fourni en I |>oint par un circuit fermé. Mais, vu l'importance du théorème précédent, surit à cause de Tinduction, il était nécessaire de l'établir en toute généralité, iir comprendre le cas où le circuit se déforme.

iSl CHAPITRE II.

On peul encore donner une autre forme à l'énoncé de ce ihéort-me en faisant la convention suivante sur le signe du flux d'induction. Menons le feuillet équivalent au circuit traversé pirle courant; suivant que le champ rencontre d'abord la face sud du feuillet ou la face nord, on dira que le Jliix d'induction pênèlrt par la face sud ou par la face nord du feuiltel. Dans le premier cas, le flux sera considéré comme positif, dans le second comme négatif. On voit alors que la relation (5) peut s'éaoour en disant que :

Le travail en grandeur et en signe est donné par le produit de l'intensité du courant par la variation du flux d'induction qui le traverse.

Ainsi, sons l'influence des fon-es électromagnétiques, un drcnil tend toujours à prendre la position ou la forme qui rend mia* mum le flux d'induction à son intérieur.

29. Moteurs électromagaétiqnes. — Le travail accompli parki forces électromagnétiques dans le déplacement d'un circuit i été utilisé. Les appareils qui servent à cel effet s'appellent àa moteurs électromagnétiques, ou, plus simplement, des moteun électriques.

Le plus simple de ces moteurs est la roue de Barlow, imaginée en 18:^3. Elle consiste {fig. 78) en une étoile découpée dans

une lame de cuivre rouge, mobile autour d'un axe ei dont \t pointes trempent dans une rigole contenant du mercure; c< pointes sont situées entre les pâles d'un aimant et, parcoDséquen

. Si l'on Uni cnmn

"curc cl le pôle ni^palif avec l'a

■ ]>-. pùle

^on. il se produit un conraal monlaiil dans le rajon de l'étoile mercure à l'nse; ce couraot étant |ilacé dans tin champ i^tî(]ue perpendiculaire, tl se prodnil, sur le in^ou c|u'il par- , des forces éleclromagni^ tiques dans le plan de la roue, <]iii nîiicut sa rolation. I.e sons de cciLc rotation chan^^c avec le 4u coiirunl et avec le sens du champ.

s moditication de la roue de Barlow est cunniie sons le nom isquc df Faraday; la seule dill'érence r|ui existe entre ces mcnts est (|iic le second est un disque circulaire plein, ! premier ctait une ùluile. Le pliénonn'^uc est absolul le même qu'avec la roue de Barlow : le disque prend aussi un ^Vemenltlrroiation, comme on se l'explique aisément, puisque I savons que cVst la mali^-re même du conducteur, traversée i courant, qui est le siège des forces électromagnétiques. S moteurs précédents sont bien trop faillies pour pouvoir être les dans l'industrie ou d^ns les laboratoires. Les premiers électriques utilisables ont été imaginés par le conslruc-

sFromenl, mais ces moteurs n'avaient qu'une faible

nnce. Plus tard, en Italie, M. Paccinotti, vers 1864, et, en

M. de Ilomillj, vers 1866, imaginèrent, indépeiidam-

L l'un de l'autre, des moteurs assez semblables entre eux el

loques â celui qu'inventa, en 1869, M. Gramme. Ce construc-

EOl lo mérite de fabriquer de puissants moteurs et d'en

riser l'emploi. Le muLcur Gramme est encore aujourd'hui

;s plus employés. C'est le seul que mius décrirons avec

^uc détail et dont nous donnenins la lliéorle. Celle-ci étant

I comprise, en elfel, la théorie des autres moteurs et, en

liculîer, des moteurs Siemens, s'établit .sans dîHiculté, d'après

r description, qu'on trouvera dans les Ouvrages spéciaux.

I pièce essentielle du moteur Gramme {Jig- 7g et 8u) est un

uu de ferdouv BB(/i^. 81) qui peut tourner autour d'un axe,

Kidant avec son axe de sjinétrie; sur cet anneau est enroulé

y de cuivre recouvert d'une substance isolante. Ce fil piirt d'une

1 cuivre To, fait nn certain nombre de spires autour de

tiu, de façon i constituer une pelote A|, puis va aboutir à

lucbe voisine T, ; de celte dernière louche part un nouveau

AIUANTS. l55

fîl. s'enroulant daos le même sens sur l'anneau et formant une deuxième pelote Ai, idenli([ue à la première; ce fil aboutit à une Iruisième touche métallique Tg, et ainsi de suite; enfin, l'extréniîlé du fil de la dernière pelote A^ aboutit à ta première touche Tu.

On voil que l'ensemble de toutes ces pelotes identiques forme un circuit fermé, grâce aux louches de cuivre en même nombre que les pelotes. Ces touches sont disposées suivant les génératrices d'un cylindre, dont l'axe se confond avec l'axe de rotation et constituent ce qu'on appelle le collecteur. Ajoutons que toutes les

Fig. 8ï.

I sont cooliguës, de façon à utiliser le mieux possible la

i de l'snneau. Contre le collecteur frottent, aux extrémités

d'an même diamètre, deux balais b,, 0.^ ( fig. 8a) formés par un

l56 CHAPITRE II.

faisceau de fils flexibles de cuivre ou par un morceau de charbon de cornue, qui est bon conducteur de l'électricité; nous en verrons le rôle un peu plus loin. L'anneau se trouve logé dans uoe cavité cylindrique, constituée par les deux pôles N et S d'un aimant ou d'un électro-aimant, ceux-ci étant creusés de chaque côté, de façon à embrasser chacun sur un peu plus du tiers de Tanneau. On appelle entrefer l'espace annulaire qui existe entre l'anneau et la cavilé formée par les pièces polaires. La ligne diamétrale PQ, suivant laquelle les balais frottent sur le collecteur, est voisine de la perpendiculaire à la ligne NS.

Si l'on fait communiquer chacun de ces balais respectivement avec les deux pôles d'une pile^ on constate que l'anneau se met à tourner ; c'est cette rotation qui est utilisée, et pour cela une poulie est calée sur Taxe et reçoit la courroie qui sert à transmettre la force motrice (^fig* 80).

Le fonctionnement de la machine Gramme s'explique aisément : ce sont les forces électromagnétiques, appliquées aux spires enroulées sur l'anneau, qui donnent lieu à la rotation.

Pour pouvoir préciser la valeur de celles-ci, cherchons la direction des lignes de forces du champ magnétique. A cause de la grande perméabilité de Tanneau, le flux d'induction qui s'échappe des pièces polaires N et S passe presque entièrement à l^intériear de celui-ci; très peu de flux d'induction s'écoule à l'extérieur. Aussi, tandis que le champ, dans l'entrefer, a une valeur considérable, celui qui règne dans la partie centrale de l'anneau ou à Texlérieur du moteur est très faible. Le champ est d'ailleurs, dans chaque partie de l'entrefer, à peu près normal à la surface des pièces polaires et à la surface de Tanneau.

Les lignes de forces du champ magnétique subissent une certaine modification dans leur direction lorsqu^un courant traverse les bobines enroulées sur l'anneau. En eflet le courant, entrant dans ces bobines par un des balais et sortant par l'autre, se bifurque; Tune des moitiés passe suivant un certain sens dans les spires d'une moitié de l'anneau, alors que l'autre passe en sens inverse dans les spires de la seconde moitié de cet anneau. Supposons pour un instant que l'aimant soit supprimé; par le seul cfl'et du courant, la moitié droite de l'anneau prend, d'après l'enroulement représenté sur la figure 81 et le sens du courant indiqué

AIUANTB. l57

sur la figure 82, un pôle nord en baul et un pAle tiud en bas; de même, la moitié gauche de l'anneau prend aussi ua pôle nord en haut et UD pôle sud en bas. Faisons maintenant intervenir, à la fois, l*efiet du courant dans les spires et celui des pièces polaires de l'aimaDt, c'est-à-dire deux champs dont le dernier est tout à fait prépondérant; ces champs se composent pour donner naissance, dans i'aoDeau, à des pôles Intermédiaires n et j {fig- 82 et 83)

Fig. 8Î.

assez rapprochés de ceux que tendrait à créer le champ provenant des pièces polaires N et S, si ce champ existait seul. Par suite, le réseau de lignes do forces subit une légère déformation (indiquée sar la figure 83) par rapport à ce qu'il est quand le courant ne circule pas.

On appelle ligne neutre le diamètre 1*Q, qui passe par les deux sections de l'anneau où le flux d'induction est maximum. Comme nous venons de le voir, cette ligne neutre, perpendiculaire à la ligne des pôles NS quand aucun courant ne passe dans l'an- Dcau, s'incline un peu pendant le fonctionnement du moteur, dans UD sens qui, comme nous allons le voir, est l'inverse de celui de la rotation.

Oonsidérons maintenant une des portions de spire de cuivre située, en K., parallèlement à l'axe, dans l'entrefer {Jig.ii. ei83); supposons que celle portion soit parcourue d'avant en arrière par un courant (ce qui est conforme au sens du courant représenté

l58 CHAPITRE II.

sur la figure 82). Comme elle se trouve dans un champ normal aa fil et dirigé de gauche à droite, elle esl soumise à une force électromagnétique f tangente en K à Tanneau et dirigée vers le bas. Considérons de même la partie K' de la spire symétrique de K, par rapport au centre de Panneau, située également dans l'entrefer; il s'exerce sur cette portion du fil une force électromagnétique parallèle à /, égale à celle-ci en valeur absolue, mais de sens contraire : ces deux forces forment donc un couple. Pour chaque paire de spires opposée, il existe des couples analogues, qui ajoutent leurs effets et produisent la rotation de l'anneau.

Examinons maintenant les actions électromagnétiques sur les parties de spires parallèles aux précédentes à l'intérieur de l'anneau et sur les portions latérales. Les premières sont négligeables, le champ à l'intérieur de l'anneau étant très faible. Les secondes sont faibles, d'une part, et, d'autre part, agissant parallèlement à l'axe de rotation, ont un moment nul par rapport à cet axe; elles sont par conséquent sans effet. Il n'y a donc que les forces qui agissent sur les parties des pelotes situées dans l'entrefer qui sont efficaces.

Pour trouver l'expression du travail w accompli par les forcei électromagnétiques, pendant un tour complet de l'anneau, il sufSl d'appliquer la relation iv = £ A<I> établie plus haut (n** 28). Considérons la spire passant en Ki (^fig- 82 et 83); celle-ci est traversée par un flux d'induction entrant par la face nord et sortant parla face sud du feuillet équivalent au courant, si celui-ci a le sens indiqué parla figure 82; par suite, le flux d'induction à travers la spirecst négatif; désignons-le par ^o- ^ mesure que l'anneau tourne, It surface de la spire qui livre passage au champ va en diminuant; elle devient nulle lorsque le plan de la spire devient parallèle au champ, c'cst-à-dirc quand la spire passe par la ligne sn\ comme le flux était négatif auparavant, on voit que, ayant diminué en valeur absolue, il a augmenté en valeur relative jusqu*à zéro. A partir de cette position, l'anneau continuant à tourner, le flux devient positif, car c'est maintenant par la face sud de la spire qu'entre le champ ; ce flux continue à croître jusqu'à ce que la spire atteigne la position inférieure pour laquelle la valeur du flux passe par un maximum ^, ; la variation du flux depuis la position initiale jusqu'à la position actuelle est alors 0, — ^0. Or, on a dis-

posé les balais de façon que c^esl précisément au moment où le flax est maximum, que la touche correspondante arrive au contact do balai inférieur; il en résulte que, après le passage par cette position, le sens du courant a brusquement changé dans la spire. D en est de même du signe du flux, qui passe subitement de la itleur ^1 à la valeur — ^i. L'anneau poursuivant sa rotation, le flux diminue en valeur absolue jusqu'à zéro, puis devient positif ei atteint la valeur -h 0, au balai supérieur, cl, comme tout à l'heure, il passe brusquement à la valeur — <I>| : entre les deux balais, le flux a varié de 2^,. Ce flux passe enfin de la valeur — <I>| à la valeur ^0 qu'il atteint quand la spire est revenue à sa position nîlîale K| ; dans ce dernier parcours, la variation du flux d'inducion est ^0 + ^1 • La somme des variations du flux A<I> pour un tour tomplel de la spire est ainsi

Si nous désignons par <I> le flux d^induction qui pénètre dans ^anneau, qui se bifurque en passant par moitié dans sa partie supérieure el par moitié dans sa partie inférieure, flux sensiblement Sgal à celui qui sort de la pièce polaire nord N pour rentrer par la pièce polaire sud S, on a

* "^ <Pi = — »

d'où

En appelant i l'intensité du courant extérieur qui, se bifurquant dans les deux moitiés de Tanneau, fournit un courant d'inten-

tilë - pour chaque spire, le travail (r,, accompli par les forces élec-

tromagnétiques agissant sur une des spires pour un tour complet, est donc donné par

(3) ivi = ~ -i*!» — t4>.

Par conséquent, le travail total w des forces électromagnétiques pour un tour complet est, en désignant par n le nombre total de f pires,

(4) tv = nt*.

If» CJLàHTKC II.

SapposoDs que le motear e&écute N lours dans un temps/; le travail \V pendant ce temps e>l

W = iiNi*.

Entio le travail fourni pendant Funité de temps, c'esl-à-direk puissance P du moteur, est donné par la relation

«Ni*

•fil P= =ll>il*,

en désignant par N| = y le nombre de tours de Tanoeau par

seconde. La puissance est ainsi proportionnelle au nombre des spires, qui augmente comme le diamètre de l^anneau; au nombre de tours par seconde, qui dépend des résistances qu*a à vaiiKit le moteur: à l'intcnsilé du courant, qui ne peut dépasser unecotainc limite, réglée par la grosseur du fîl, sans risquer de délniire les isolants à cause de réchaufTemenl de celui-ci; enfin à la valeor du Ihix d'iodiiction.

Pour avoir un flux d'induction intense on se sert aujourd'hii presque exclusivement délectro-aimant dans ce genre de motear. C'est le mémo générateur de courants électriques qui alimentek plus souvent réleclro-aimanl (inducteur) et les pelotes de l'anneau {induit } ( '). Tantôt le fil de Tinduit est placé dans le mène circuit quo le fil de l'inducteur, de façon qu'un courant de mène intensité passe dans rélcctro-aimanl cldans les balais (disposilioi en série)^ lanlùt le courant du générateur se bifurque entre l'inducteur et rinduit (disposition en dérivation).

Nous renverrons aux Ouvrages spéciaux pour les avantages elles inconvénients de ces deux dispositions ainsi que de dispositions mixtes, dont nous ne faisons que mentionner Texistence.

30. Remarques sur les analogies du champ électrique et dn champ magnétique. — Les analogies entre les propriétés d« champ m;ignéli(|ue et celles du champ électn<|ue sont trop frappantes pour <|u'il y ait lieu d'insister; nous ferons remarquer seulemenl (pic la perméabilité magnétique joue le même rôle qof le pouvoir inducteur spécifîcjue en Électricité : le flux d'induction

(') Nou^i verrons plus loin (Voix viennent ces dénominations.

magnétique pour les corps dépourvus de magnétisme rigide s'exprime au mojen de la perméabilité magnétique (n** 20) comme le flux d'induction électrique au moyen du pouvoir inducteur spécifique (T. I, Chap. IV, nM4).

Il semble pourtant y avoir une différence en ce qui concerne le théorème de Gauss ; la quantité d'électricité multipliée par 4^^ est épie au Jlux d* induction électrique à travers la surface fermée qui la contient, tandis que la quantité de magnétisme multipliée par 4?: est égale au flux de forces magnétique à travers la surface fermée qui la contient. Il est bon de voir d'où vient cette différence.

Dans le Cours d'Électrostatique, nous n'avons jamais considéré que les quantités d'électricité réelles : nous entendons par là celles qui peuvent être mises en évidence par le cylindre de Faraday ou par l'influence qu'elles exercent sur un conducteur; nous n'avons jamais considéré cette électricité fictive dont se servent beaucoup d'auteurs pour expliquer l'action instantanée que produit un diélectrique tout en considérant que les forces électriques soDl transmises par lui comme par le vide. Cette hypothèse des électricités fictives développées par polarisation à la façon dont nous avons considéré le développement du magnétisme dans un corps soumis au champ magnétique, non seulement n'est pas nécessaire à l'intelligence des phénomènes, mais nous a toujours apparu comme une complication fâcheuse. Si nous avions adopte celte manière de voir, nous aurions été amené à énoncer le théorème de Gauss au moyen du flux de forces électrique, et non au moyen du flux d^induction, pour que la quantité d'électricité contenue à l'intérieur de la surface fermée soit la somme des charges électriques réelles et des charges électriques fictives. )'autre part, nous avons insisté sur le côté entièrement fictif de e que nous avons appelé une quantité de magnétisme : le manélisme est toujours comparable à cette électricité fictive par iquelle on a voulu expliquer les phénomènes présentés par les iélectriques; d'où la nécessité du théorème de Gauss sous la »rme du flux de forces. En employant le flux d'induction manëlique, on trouve toujours un flux d'induction nul pour une irface fermée quelconque, comme nous l'avons vu (n"" 18), de éme qu'on trouverait un flux d'induction électrique nul à travers P. — II. Il

j62 chapitre II. — AIMilNTS.

une surface fermée ne contenant que des diélectriques non électrisés réellement, mais soumis seulement à un champ électrique et pouvant, à la surface de séparation de deux d'entre eux, avoir de l^électricité fictive dans la théorie hypothétique rappelée plus haut.

Ainsi, on voit que cette discordance entre les énoncés du théorème de Gauss dans le cas du champ électrique et dans celui du chamj) magnétique n^est qu'apparente.

i . Production des courants d'induction. — C^esl par une Iransilîon toute naturelle que nous allons être amenés à Télude des phénomènes d'induction découverts, en i83i, par Faraday : nous avons vu qu'un courant pouvait mettre en mouvement un aimant; réciproquement, nous allons voir qu'un aimant en mouvement peut créer un courant.

I Toutes les fois que y à V intérieur d^ un circuit fermé (ne con-

' tenant aucune pile), le flux dHnduction varie, ce circuit est traversé par un courant. Faraday donna le nom de courants induits à ces courants et le nom de circuits induits aux circuits qui en sont le siège; il appela aimants inducteurs ou courants inducteurs, les aimants ou les courants qui produisent le champ magnétique.

Quelques expériences vont nous montrer Texistence de ces courants^ ainsi que l'exactitude de la loi que nous venons d'énoncer :

1** Considérons d'abord, comme champ inducteur, le champ magncHique terrestre, dans lequel nous plaçons un cadre portant un fil enroulé, dont les spires sont soigneusement isolées les unes des autres {fig- 84); ce cadre peut tourner autour d'un axe vertical à l'aide d'une manivelle.

Disposons le plan du cadre perpendiculairement au plan méridien magnétique et relions les deux extrémités du fil aux deux l>ornes d^un galvanomètre. Faisons faire au cadre un quart de tour; le flux d'induction à travers les spires passe de sa valeur

i maxima à une valeur nulle.

En continuant à tourner le cadre d'un nouveau quart de tour, le fluiL d^induction, pénétrant cette fois par l'autre face du cadre,

doit être considéré comme aégaiif, si le premier était coDsid^ré comme positif, et, puisque sa valeur absolue augmente à mesuR que le cadre se rapproche de )a position pour laquelle son plan est de nouveau perpendiculaire au plan méridien magnélique, le flai

Fig. 84.

d'induction continue à diminuer en valeur relative parcenouven quart de tour. Par conséquent, uu demi-tour complet du cadre.à i partir de la posillon primitive, unii'-ne une variation continuedn i Oux d'induction. Or, nous constatons, par la déviation du galvaoo- '■ mètre, qu'un courant s'est produit pendant celte demi-révolution. Cette expérience nous montre aussi que le courant d'induction dure exactement le temp» que dure lu variation du (lus : il cesse en même temps que le mouvenieiit du cadre.

L'appareil décrit cî-dessus est connu sous le nom de rerceaude Delezenne.

'j." Produisons maintenant un cliamp magnétique ù l'uide dune liol)ine B {Jlg. Si), parcourue par un courant, dite bobine indue trice; soit A une bohinc induite, dont le circuit est fermé sur no galvanomètre. Aj>proc)ions la bobine 13 de la bobine A, tes spires des deux bobines restant parallèles; il se produit immédiatement une déviation uu gulvanonièlre, qui ne cesse que lorsque cesse le mouvement de lu bobine IS. Or, le mouvement de la bobine B détermine une \arialion du flux d'induction à l'intérieur de A.

On constalt^ d'ailleurs que, pendant l'apprc aduclrice, la liohine induite est parcourue par bol le sens est inverse de celui de la L>obiiie

Kig. Sh.

:lie de la l>obine D courant induit, ridiiclrice. Si l'on

boliinc induite, émc sens que le

foîgne, au contraire, la liobiite AD conslolc re\i5leiii^c tl'iin cnii icMKirant îrnlui'U'ur.

Les plit^nom^nes d'iiidiiclion tu? peuvent assurément dépendre .que du mouvement relatif des deux bobines A et B; il est facile elc prouver en inlervertissarit le rôle de ces bobines. On reTnarque Cque, si on laisse immobile la bobine A et que l'on en approche ^t bobine I), celle-ci est encore |iarco(iriie par un courani induit de ^Mna inverse à celui du cnuraril inducteur; si on l'tHoigne au con- * treire de la bobine A, elle est parcourue par un courant induit de \ même sens que celui du courani inducteur.

3" [.es mêmes pb^nom^nes se produisent aussi lorsque le champ

l'SUgn^ tique est créé par un aimant; ce fait était à prévoir puis-

ii*un aimant est assimilable à un faisceau de solénoïdes. Si, au

' lien de la bobine B, on approche un aimant B ( /(>. 8(i) de la

bobine A, le galvaijomitrc montre qui' cette bobine est traversée par un courant induit; dès que l'on cesse d'approcher l'aimant, le courant cesse; si l'on éloi};ne l'aimant, il se développe un courant induit inverse du premier.

Quant au sens du courant induit, il s'obtient facilement en assimilant l'aimant à un faisceau de solënoïdes et en appliquant la loi indiquée dans le cas précédent.

l66 CHAPITRE III.

4® Jusqu'ici, nous n'avons obtenu de variation de flux d'induction que par suite de mouvement; mais on peut aussi en obtenir autrement. Plaçons la bobine B dans la bobine A et faisons varier l'intensité du courant de cette première bobine au moyen d'on rhéostat. Si Ton diminue la résistance du circuit comprenant la bobine B, rinlensilé du courant inducteur augmente, el il en est de même du flux d'induction qu'il produit dans la bobine A: aussi constate-t-on la production d'un courant induit dont le sens est le même que si Ton avait augmenté le flux d'indoction en approchant la bobine B de la bobine A : en augmentant l'intensité du courant inducteur, on produit un courant indail inverse du courant circulant dans la bobine B. Si l'on diminae au contraire l'intensité du courant inducteur, il se produit dans la bobine A un courant induit de même sens que celui de la bobine B.

Remarquons que, des que l'on cesse de faire varier l'intensité du courant dans la bobine A, le courant induit cesse dans la bobine A.

5** Un cas particulier du précédentest celui où le courant inducteur est nul au début. Si on lance alors le courant dans la bobine inductrice B, le flux d'induction à travers la bobine induite varie | pendant un temps très court, de sorte qu'il se produit un courant induit qui ne dure que très peu de temps et qui est accusé par une brusque déviation au galvanomètre, suivie immédiatement d'un retour au zéro. Ce courant induit, dit de Jermeture, est de sens contraire à celui du courant inducteur, conformément à ce que nous avons vu ci-dessus.

Si, maintenant, on ouvre le circuit inducteur, le courant qui le traverse passe rapidement d'une valeur finie à une valeur nulle, d'où nouvelle variation du flux d'induction à travers les spires de la bobine induite et courant induit de très courte durée et de même sens, cette fois, que le courant inducteur (courant induit d'ouverture).

Ce phénomène est le premier qu'a découvert Faraday.

2. Identité des courants d'induction et des courants fournis pai les piles. — Ayant reconnu Texistence des courants d'induction une question capitale se pose : les courants induits sont-ils iden-

PHÉNOMÈNES D'iNDUCTION. 167

tiques aux courants fournis par les piles? Les expériences qui suivent permettent de répondre affirmativement.

Pour produire des courants d^induction, il nous sera commode de faire usage de la machine Gramme. Nous avons vu (Chap. 11, n**29) que Tanneau de cette machine était recouvert de spires de fil; or, si Ton vient à tourner l'anneau à l'aide d'une manivelle, le flux d'induction à travers les spires est variable, en sorte qu'il se produit, dans ces spires, des courants induits que l'on peut recueillir par les balais et transmettre par des fils conducteurs. Ces courants induits jouissent de la propriété d'être toujours de même sens, lant que l'anneau tourne dans le même sens, c'est ce que nous établirons plus loin (Chap. IV, n^" 2 et 3) quand nous ferons Tétude de cette machine comme génératrice de courant. On peut répéter avec ces courants toutes les expériences que Ton fait avec les courants des piles ; échauflement des conducteurs, décomposition électrolytique, action sur une aiguille aimantée mobile (expérience d'OErsted) et action réciproque, action mutuelle des courants (expériences d'Ampère), par conséquent production de champs magnétiques, etc. Les lois sont absolument les mêmes : si un appareil de mesure indique la même intensité pour an courant d'induction et pour un courant de pile, tout autre appareil de mesure, quoique pouvant être fondé sur des propriétés très différentes, indique encore la même intensité pour les deux courants. Ainsi rien ne distingue un courant d'induction d'un courant de pile.

3. Force électromotrice d'induction. — Loi de Neumann et loi de Lienz. — Un circuit fermé dans lequel se produit un courant d'induction est le siège d'une force électromotrice (voir T. 1, Ghap. XI, n° 9), qu'on appelle force électromotrice dUniuction.

Considérons sur un circuit un sens comme positif. Nous appelerons face nord et face sud du circuit la face nord et la face sud la feuillet équivalent à un courant circulant dans le sens positif; ronformément à la convention indiquée plus haut, le flux d'inducion sera considéré comme positif s'il pénètre par la face sud du ircuit. Nous dirons qu'une force électromolrice est positive ou égalive suivant qu'elle tend à produire un courant dans le sens

l68 CHAPITRE m.

positif ou négatif du circuit. Ces définitions données, nous allons établir que, en grandeur et en signe, la force électromolrice d'induction E est donnée, dans tous les cas, par la dérivée par rapport au temps changée de signe du flux d'induction ^ à travers le circuit :

Pour cela, nous nous appuierons sur les principes de la Thermodynamique, comme l'ont fait à peu près simultanément dans ce but Helmhoitz en Allemagne et lord Kelvin en Angleterre. La démonstration de ces deux illustres physiciens manque un peu de rigueur en un point : ils ont admis, sans en donner de preuve, que l'énergie potentielle d'un système formé par des aimants et par un courant est indépendante de la position de celui-ci. C'est exact, mais c'est loin d'être évident; d*autant plus que l'énergiedu système formé parles aimants et par le feuillet écjuivalent au courant dépend essentiellement de la position du feuillet par rapport aui aimants : il n'y a pas équivalence à ce point de vue entre le courant et le feuillet, ce qui tient à ce que le courant reçoit de l'énergie de la pile qui le fournit tandis qu'un feuillet ne reçoit rien. Nous commencerons donc par démontrer que l'énergie potentielle est indépendante de la position du courant, en nous bornant toutefois, pour le moment, au cas où le courant a une intensité infiniment faible, ce qui est suffisant pour la démonstration rigoureuse que nous avons en vue. Plus loin (n° 15) nous démontrerons ce théorème en toute généralité, mais en nous appuyant précisément sur les lois de l'induction que nous allons établir.

Considérons, comme faisant partie du système auquel nous appliquons les principes de la Thermodynamique, les aimants permanents, que nous supposerons immobiles, et le circuit parcouru par le courant; nous placerons dans ce circuit une pile qui sera considérée comme en dehors du système. Nous supposerons, en outre, pour mieux fixer les idées, que celle-ci est une pile thermo-électrique, parce que nous aurons besoin de faire varier d'une façon continue sa force électromotrice. Nous supposerons encore que les forces électromagnétiques auxquelles le circuit esl soumis sont constamment contrebalancées par des forces exlé-

PHÉNOMÈNES D'iNDUCTION. 169

icures égales et directement opposées. De cette façon, le travail les forces extérieures sera égal et de signe contraire au travail des ;orces électromagnétiques.

En appelant AU la variation d'énergie du système dans une transformation, A l'énergie échangée avec Textérieur et T le travail des forces extérieures pendant celle-ci, on a

(a) AU = A -h T.

Or, Ténergie échangée A se compose : i" de Ténergie a fournie parla pile; 2** dé l'énergie calorifique J^ qu'il faudra retirer du sjslème (ou lui fournir suivant le signe de iq) pour maintenir sa température constante, car nous n'allons considérer que des transformations isothermes. On a donc

(3) AU=J^4-a-t-T.

Supposons d'abord le circuit immobile et parcouru par un courant infiniment faible, la force éleclromotrice de la pile dSI étant infiniment petite; appelons (1) cette position du circuit. Pendant tout le temps / que le circuit est immobile, Ténergie calorifique iq créée d'après la loi de Joule, et qu'il faut retirer du circuit pour maintenir sa température constante, est un infiniment petit du second ordre, puisqu'elle est égale à Rrft^/ et que l'intensité rf/ du courant est un infiniment petit du premier ordre; en ne conservant que les infiniment petits du premier ordre, nous devons négliger J^. D'autre part, si dm = di,t est la quantité d'électricité, infiniment petite, qui a circulé dans le circuit pendant le temps / sous l'influence de la force électromolrice t/E' de la pile, I énergie a fournie par celle-ci est dVJ ,dni\ c'est donc aussi un infiniment petit du deuxième ordre que nous devons négliger. Enfin ï est nul, puisque le circuit est immobile. Par conséquent, )n a AU = o. Ouvrons maintenant le circuit; il se produit alors les phénomènes calorifiques dits de self -induction y sur lesquels eus reviendrons plus tard, qui créent une quantité de chaleur q roportionnelle au carré di'^ de l'intensité du courant qui vient de éteindre, comme peut le montrer l'expérience. C'est donc ici un finiment petit du second ordre que nous devons négliger; d'où core AU = o, pendant cette transformation. Ainsi, on peut

passer de Tétai où le circuit est immobile et fermé, le courant étant infiniment faible, à celui où il est ouvert sans variation d'énergie pour le système.

Transportons maintenant, infiniment lentement, le circuit delà position (i) dans une autre position quelconque (2) en le laissant ouvert après avoir modifié ou non sa forme ('); puisque aucun courant ne circule dans ce cas, les forces électromagnétiques sont nulles; il en est de même de leur travail et, par conséquent, du travail T des forces extérieures. Comme q et a sont nuls aussi» on a encore AU ^ o pour cette transformation.

Le circuit étant immobile dans la position (2), fermons- le sur la pile de force électromotrice infiniment petite. Il va se produire encore des phénomènes de self-induction et de Joule mettant en jeu des quantités de chaleur proportionnelles au carré di^ deTintensité du courant permanent qui va s'établir, par conséquent, infiniment petites du second ordre et négligeables. En raisonnant comme ci-dessus, on voit que Ton peut passer de l'état où le circuit est immobile et ouvert à celui où il est fermé et siège d'un courant infiniment faible sans variation d'énergie pour le syslèaic.

Il résulte de ces transformations, qui toutes se font sans variation d'énergie, que l'énergie du système ne subit pas de variation quand le circuit passe de la position et de la forme (i) à la position et à la forme (2) avec un courant infiniment faible dans ces deux positions. Comme la variation d'énergie d'un système ne dépend pas des étals intermédiaires, il faut en conclure que, quelle que soit la manière dont on amène le circuit du premier de ces états au second, l'énergie du système sera la même. Ainsi, ilnj a aucune variation d'énergie potentielle par le déplacement ou la déformation d'un circuit, siège d'un courant infiniment faible dans ce champ magnétique.

Ce point important établi, considérons de nouveau le circuit dans la position (i) fermé et siège d'un courant infiniment faible (fi dans le sens que nous prenons comme sens positif du circuit.

(') Nous supposons, ou que celle déformation s'accomplit sans dépense et travail, ou, ce qui revient au même, que l'on retire du système l'énergie calori' fique créée par le travail employé à la déformation et qui lui est égale. Cela ne change rien à la conclusion AU = o

PHÉNOMÈNES d'inddction. 171

ransporlons-Ie ou modifions sa forme avec une vitesse finie, mais ans changement de force vive, puisque nous supposons que ouïes les forces agissant sur lui se font équilibre. Faisons en même temps varier la force éleclromolrice de la pile, de façon à maintenir constante la valeur di de l'intensité du courant, dans le sens commandé par elle, malgré les forces électromotrices d'induction de valeur finie qui vont prendre naissance par le déplacement du circuit. Il faudra pour cela que la force électromolrice de la pile ait, à chaque instant, une valeur finie E' supérieure d'un infiniment petit à la valeur de la force électromotrice d'induction E à ce moment, et de signe contraire ; d'où, en négligeant un infiniment petit devant une quantité finie,

Puisque le courant infiniment petit circule dans le sens comi mandé par la pile, celle-ci fournit de l'énergie; celle quantité d'énergie fournie da pendant tout le déplacement est ici un infiniment petit du premier ordre lda= 1 E',dm). D'autre part,

appelons dW le travail des forces électromagnétiques pendant le déplacement; c'est aussi un infiniment petit du premier ordre, et 'on a, pour la relation (3),

D'ailleurs Jq est encore ici un infiniment petit du second ordre, comme proportionnel à di^. Puisqu'il n'y a ni variation d'énergie cinétique, ni variation d'énergie potenlielle, ni aucune variation de propriété pour les diverses parties du système, la variation d'énergie AU de celui-ci est nulle pendant la transformation considérée, et la relation (3) nous donne

(5) da = d\\.

Cette relation reste vraie quelque petit que soit le déplacement ou la déformation du circuit; elle est donc encore exacte pour le Jéplacement ou la déformation infiniment faible qui se produit >enclant un temps dt pris au cours d'une transformation. Si nous ippelons dm la quantité d'électricité qui circule dans le circuit lendant ce temps dt^ et E' la force électromotrice de la pile à ce

damment les uns des autres, la force éleclro motrice d'induclioD qui en résulte à chaque instant dans la bobine est la somme d forces éiectromotrices £|, E2, . . ., E^/i ({^e donneraient en agissa isolément les divers aimants pour la même phase de leur mour* nient. Or le flux d'induction O à travers la bobine proveoaotd Tensemble des aimants est égal à la somme des flux <^|, 0^, ....t produits par chaque aimant; il en est de même, par cooséqueot des dérivées par rapport au temps

'di "lu '^lû '^"''^~dt'

En remplaçant, dans le second membre de cette relation, chaoïo des ternies par sa valeur — E|, — E2, . . ., — E^ et en nous appuyant sur le fait d'expérience indiqué, il vient

—Tj- = — El — E, — . . . — E,, = — E.

Ainsi la loi de Neumann est encore applicable dans ce sens.

11 est facile de voir alors qu'elle est exacte de quelque manière qu'on fasse varier le flux d'induction. Supposons, en effet, qu'on envisage un phénomène d'induction dû à une cause quelconque, par exemple à la variation de l'intensité d'un courant dans un circuit voisin du circuit induit. On pourrait évidemment produire même variation de flux à travers les spires du circuit iiiduil el même variation de cliainj) en chaque point de ce circuit, en utilisant une certaine clislribulion d'aimants qu'on déplacerait dun< laron convenable. Or, si la variation du champ est la même ei chaque point du circuit induit, la force électromotrice E esl for cément la même; d'autre part, la variation du flux d'induction rf^ considérée étant la même aussi ])endant le même temps rf<; '

rclaliou E = j- » établie dans le cas du mouvement des aimanU