AO, BD— A'O
On obtiendrait exactement de même pour la somme des deux termes relatifs aux couples OB, A'O' et DA, A'O'
(OB,DA-A'0'.) aùa\r2.
D'où, pour la somme des quatre termes provenant des quatre côtés du rectangle OADB pris avec A'O',
(OADB-A'O'; "^(^a,— ^aj).
PHENOMENES o'iNDUCTlON. JqS
La somme des termes provenant des quatre côtés de OADBpris avec B'iy se déduit de l'expression précédente en remplaçant les coordonnées x^ y\ 5 du point O' par les coordonnées x 4- ô'^i, ^H-ô'Pj, z + y^^ du point B' et en changeant le signe, à cause du changement du sens positif; on obtient ainsi, en négligeant toujours les infiniment petits d^ordre supérieur,
(OADB — B'D) —
( aba'\xoLt— y%^-T- b' {^xOLi— ^ja,) |
D'où, pour la somme des termes relatifs aux quatre côtés de OADB avec les deux côtés A'O' et B'D',
IDB— A'O', B'D') ^- '^—r^ ^
On obtiendrait de même une expression analogue pour la somme I des termes des quatre côtés du rectangle OADB avec O' B' et ly A'.
[ Celle-ci, ajoutée à Texpression précédente, fournit / / ds ds^
pour les deux rectangles considérés
* ds ds'
j'6'|'2(a,p,— ?,«,)- ~[(:r?,-r'ji,)(xa,-hvaî+2a,)-(,ra,-^aO(^Pi+V
ce qui^ par une transformation facile, devient
|££îf d* ds'
Eoiin, en tenant compte des relations (i), on a
(3) ff'-^dsds'= ^ ^— !
P. - II. i3
■ 94 CHAPITEB 111.
Cherchons mainteDanl Texpression du coedGcieni dlDdoctioi mutuelle M des deux rectangles, diaprés sa définliion. M est le flux d'induction que donne à travers O'A'D'B' le circuit reclaogilaire OADB parcouru par un courant d^iotensîté i circulant dan le sens positif. Pour trouver ce flux, remplaçons le courant OAM par le feuillet équivalent de densité v et d^épaisseur e ; on a 7e=\: nous pouvons prendre la face nord de ce feuillet dans le planXO), en prenant la face sud du côté des z négatifs à une ordonnée— ^
Le champ donné par la partie nord du feuillet en O' est— ^elk
flux d'induction à travers O'A'D'B'
aba'b'7 ( x y ^ \ aba'b'v ,
On déduit le flux d'induction produit par la face sud de OADB en remplaçant z par 3 -f- e et, par conséquent, r par
et en changeant le signe; en négligeant les infiniment petiti d'ordre supérieur, il vient ainsi
«6<7'6'7Lrv,-t-j'Yî-4-;5Ys-+-^T3— -^(J^^^x-^y^i-^^^i^l
En faisant la somme des deux expressions précédenles. * obtient le flux de force total, c'est-à-dire M; comme ffe=i» il vient
d'après (3). Ainsi la formule de Neumann est démontrée daos'^ (•as |)arhculier des deux rectangles infiniment petits.
Considérons maintenant deux circuits linéaires quelconqucsAi et Aj ijig' 98); appu>ons sur chacun d'eux une surface defoflï**
quel( onque, et divisons ces surfaces par deux séries de lignes lû* finiment voisines se coupant orlhogonalement, de façon à dcco«per chacune des surfaces en rectangles infiniment petilSylesbor» extrêmes de ces rectangles formant par leur ensemble ud circ«i^
pnÉNOMàNKS D'iXDtlCTlON. 19]
sinueux £t| ou i3j s'écartant inGoiment peu du circuit correspondant Ai ou A]. Comme la somme des surfaces de ces reclangles ne difTère de l'aire d'une des surraces limiiée au circuit A, ou Aique d'une quaDtité iafiniment petiic, le tlux d'rnduclion que donne A( parcouru par un couraal d'intensité i à' travers la surface limitée au contour A], ou la somme des flux d'induction c[ue donnerait le circuit sinueux a, parcouru par un courant d'intensité i à travers
les rectangles, en lesquels la surface A^ est dccomposée, a la même valeur. Cherclions celle dernière somme, qui reprtsenti; aÎDsi le coefficient d'induction mutuelle M des deux circuits. Pour cela imaginons, comme nous l'avons déjà fait pour une autre démonslraiion, que chacun des câtés des rectangles de A, soit dédoublé en deux circuits linéaires infiniment voisins par rapport â la longueur des cdlés de ces rectangles; on obtient ainsi une ÎDfini'é de circuits rectangulaires que nous supposerons parcourus tous dans le même sens par des courants d'intensité égale à i. Les courants qui circulent dans les deux conducteurs infiniment voisins étant de sens inverse out des efTels qui se détruisent, sauf sur les bords du contour où .leur ensemble donne le courant sinueux at.
Lm flux d'iaductîon cherché est aînsî ramené à la somme des flux doanés par chacun des courants rectangulaires de A, à travers dtacan des rectangles de A^. D'après ce que nous venons de J^monirer dans le cas de deux reclangles infiniment petits,
ig^ CHAPITRE 111.
on a alors
le double signe d 'intégration s'étendant au couple formé par Tassocialion d'un des rectangles de A| avec un des rectangles de Ajet le double signe de sommation à tous ces rectangles pris deuxi
deux. Mais, dans cette somme totale, les termes dsds^ qui
correspondent à deux éléments de courant de sens inverse, provenant du dédoublement d'un même côté de l'un des rectangles de A|, sont égaux et de signes contraires; il ne reste donc que les termes provenant du courant sinueux a^ et de l'ensemble des rectangles de A2. Mais, pour une raison semblable, tous les termes lelatifs aux éléments communs à deux rectangles de A2 se détruisent et il ne reste plus que les termes relatifs aux deux courants sinueux ai et a^; on a donc, ds elds' se rapportant aux éléments de ces circuits sinueux.
Or, cette dernière somme ne diflere que par un infiniment petit de la somme correspondante pour les deux circuits A| et AjCaimémcs. La formule de Neumann est ainsi établie en toute généralité.
Remarquons que, dans ce qui précède, nous avons supposé qo^ la distance r de deux éléments n'était jamais infiniment petite. U formule de Neumann n'est donc pas applicable, sans modification (voir u^ 9), au cas où les deux circuits auraient une partie coiDmune.
9. Coeffleients de self-induction. — Phénomènes de self-indiiotion. — Considérons un circuit parcouru par un courant d'iDlensite i] ce courant fait naître à travers son propre circuit un flui d'induction <I>, donné par la relation
(I) * = Lt.
où L est un coefficient tout à fait analogue au coefficient d'induction mutuelle : il a la même valeur que le coefficient d'inductioa
iluelle relatif au circuit envisagé et à un autre circuit qui en rail infiniment voisin. En d'autres termes, L est le coefficient induction mutuelle du circuit sur lui-même; aussi Tappelle-t-on ^efficient de self -induction ( * ).
On peut se servir de la formule de Neumann établie plus haut
n^'S) [x / / dsds' pour calculer le coefficient de self-induc-
ion en opérant de la manière suivante, afin que r ne soit jamais infiniment petit pour des éléments parcourus par des courants d'intensité finie, comme on le suppose en établissant la formule de Neumann. Si mince que soit Tépaisscur du conducteur considéré, on le décompose en filets infiniment minces; on calcule parla formule de Neumann le coefficient d'Induction mutuelle M d\in de ces filets avec Tensemble de tous les autres et on le multiplie parTintensitéé/i du courant infiniment faible qui parcourt le filet;
on fait la somme de ces résultats pour tous les filets ( / M di\ le
quotient de celte somme par 1 di donne évidemment le coefficient
de self-induction. Si l'on applique brutalement la formule de Neumann en prenant comme éléments les divers tronçons infiniment courts du conducteur, on trouve toujours Tinfihi pour résultat, ce qui montre bien qu'on a fait une faute dans l'application.
Lecoefficient de self-induction aies mêmes dimensions évidem- Ottenlqu'un coefficient d'induction mutuelle, c'est-à-dire les dimen- Sïons d'une longueur. Il se mesure en centimètres ou en henrjs.
Remarquons que, en prenant comme sens positif sur le circuit <^ioi où circule le courant, le flux d'induction donné par ce couf^nt est positif; par conséquent, le flux d'induction est une gran- 'ear toujours positive.
Si l'intensité i du courant qui parcourt le circuit vient à irier, ou si celui-ci vient à se déformer, la grandeur Le varie, il naît une force électromolrice d'induction E, dite de self- 1 action, donnée par
d{hi)
dt
) De l'anglais itlf.
Si le circuit ne se déforme pas et si le milieu extérieur ne renferme pas de corps ferro-magnétiqiies, L est une constante et l'expression précédente devient
Ainsi des phénomènes d'^inducùon^ dits phénomènes de sel/induclion, se produisent dans un circuit lorsque l'intensité do courant dont il est lé siège vient à varier.
Précisons le sens de la force électromotrice de self-induclioo et prenons d'abord le cas où le circuit ne se déforme pas; la force éleclromotrice de self-induction est alors fournie par la relation (3), en nous rappelant qu'il faut considérer comme positive toute force éleclromotrice qui tend à produire un courant dans le sens même du courant existant. On voit que, si le courant augmente d'intensité, -r rkant positif, la force élcctromolrice E est négative, c'est-à-dire tend à diminuer l'intensité du courant. Rcciproquement, si le courant diminue d'intensité, -t- étant négalif,
l:i force élcctromolrice est positive et tend à augmenter Tinlensilé du courant. Ainsi, dans les deux cas, la force éleclromolrice (le self-induclion lend à s'opposer à la variation d'intensité qui la fait naîlre.
Nous allons indiquer quelles sont les dispositions qui favorisenl rinlensité des phénomènes de self-induction dans un circuit.
Supposons qu'on ait enroulé sur une bobine un fil métallique à spires isolées. Si l'on vient à faire varier l'intensité du couraol qui traverse colle bobine, chacune des spires peut être considérée comme un circuit induit par les spires voisines; comme le llux d'induction produit par une des spires passe à travers celle spire elle-même et eu partie à travers toutes les autres, le flai d'induction total à travers la bobine est grossièrement proportionnel au carré du nombre des spires. On conçoit donc que l'enroulement d'un fil en bobine soit particulièrement favorable pout provoquer une self-induction nolable.
On peut encore augmenter la self-induction d*unc bobine en introduisant à l'intérieur un barreau de fer doux. Supposons, en cfTet, pour simplifier l'explication, que le barreau de fer doux
PHÉNOMÈNES D'iNDUCTION. 199
épasse assez les deux bouts de la bobine pour que le champ magnétique reste sensiblement le même à Tintérieur de celle-ci; désignons par S Taire de la surface plane limitée par une des >pires, et par s la section droite du barreau de fer. En désignant par 5C Tintensilé du champ magnétique, le flux d'induction à travers une des spires a pour valeur 5[jL3C-f-(S — 5)3C, tandis que, sans fer, ce flux a pour valeur S JC. Or, comme la perméabilité jjL du fer doux est énorme, le flux total à travers la bobine eslbien plus grand dans le cas du fer, et il en est de même de sa dérivée par rapport au temps, c'est-à-dire de la force électromotrice de self-induction.
La présence d'une force électromotrice de self-induction dans une bobine peut être un inconvénient, en particulier dans le cas des bobines qui composent les boîtes de résistance. Pour constituer des bobines dépourvues de self-induction (dont le coefficient de self-induction est nul), on peut employer le procédé suivant : 1« fil recouvert de son enveloppe isolante est plié en deux, de façon à présenter côte à côte deux parties dans lesquelles le coulant sera de sens contraires {/Iff- 99) i P^^'s c'est ce double fil qui est earould à la façon ordinaire sur une bobine. De cette manière, le flux d'induction produit par le courant qui parcourt l'un des brins du fil est exactement détruit par le flux d'induction produit par celui qui parcourt en sens inverse l'autre brin.
On désignait autrefois par le nom d extra-courant un courant <Iai prendrait naissance dans le circuit si la force électromotrice de self-induction existait seule; l'intensité de ce courant s'ajoute algébriquement au courant que donneraient les autres forces flcctromotrices du circuit, pour fournir le courant réel. Cette ^nsidération de courant qui s'ajoute ou se retranche n'est MIS très utile; elle est même choquante, parce qu'il n'y a loiaisy dans un circuit, qu'un seul courant dû à l'ensemble des Tces ëlectromotrices; aussi la notion d'extra-courant tend-elle disparaître. Nous ne faisons que l'indiquer et nous ne nous en rvirons pas.
aoo
CIIAPITEK III.
10. Expérience montrant l'existence de la self-induction. - Faraday a montré eipérimentalemenl Inexistence des phénomèoei de self-induclion par des expérieDces fort simples. On peut mettre ces phénomènes en évidence aussi par l'expérience suivante, qsi offre Tavanlage den^employer qu'un dispositif très connu aujoard'hui, \e pont de Wheatslone,
Supposons un circuit fermé sur une pile P {Jig* loo) se difisant en deux branches ÂCB et ADB, les points C et D étant reliés
parle fil d'un galvanomètre G. Cette portion CD s'appelle le /?ofll cl les portions AC, CB, BD et DA s'appellent les brandies du pont. Ileprésenions par o, 6, c cl d les résistances des branches du pont el supposons (pièces résistances aient été réglées de façon à avoir la relation
L'aiguille du galvanomèlre ne subit alors aucune déviation, indiquant ainsi qu'il ne circule aucun courant dans le pontCD('> bien que des courants circulent dans les branches du pont. Pourtant, pour qu'il en soit ainsi, il faut, en général, que celles^' ne renferment aucune force électromotrice. Si donc l'aiguille du galvanomètre dévie, quoique la relation (i) soit satisfaite, ceU
(') Nous donnons plus l<»in (Chap. M, n" 18) la dcmonslration 1res simple de rrtlc proprii'tc.
I n mBccTioN.
l'existence (rime l'orcc ^leclromol
lions pouvnir nous itre en évidence les
Belles du ])onl. C'est pourquoi no Er de la disposition précédente poiii
jBS (^lectroniotriccs de sclf-indiicllon.
fttroduisons it cet eiTet, dans la branche AC, une Loliine aranl
|brl coefficient de scirindnclion cl supposons d'ailleurs que
trois autres brandies aient un coefficient de self-induction
[ Imaginons, en outre, que deux interrupteurs soient placés, El' dans le circuit du pont CT), l'autre I dans le circuit prin-
I APB, et que, enfin, un rliéostat R permeiie de fuire varier
isislance dans ce dernier lircuit. Fermons successivement
■errupteur I, puis l'internipteur 1', et admettons que l'aiguille
galvanomètre reste au /.éro dans ces conditions; cela prouve I les quatre résistances a, h, c et il des brandies satisfont it Uation (i).
lisons ensuite varier brusquement la résistance du circuit bcipal à l'aide du rhéostat R, de façon à amener une variation Mensité dans les branches du pont et, en particulier, dans la ■che AC de la bobine. Ou voit aussitôt l'aiguille du galvî
edévi
■evenir au zéro, indi
iquant qu*
la bobine a été
lige d'une force électromolrice qui n'a duré que pendant un
ps très
court. Si l'on vien
t en<
iuile à fair
e varier
la résistance
^rcuit
principal en sens i
invet
■se, la vai
"iation d
'intensité du
tenidai
ns la brandie AC es
tde
sifine ron
traire à li
1 précédente,
m voit
l'aiguille du galvan
omêl
re. d^viei
■en sens
inverse, puis
mir au
zrro.
il peut
encore, pour l'aire v
ariei
-l'iiitensil
é dans la
branche AC,
pre le i t fermé
;ircuiten ouvrant 1' ; l'intensité du coii
inler irant
rupleurl, passe alo
1 l'interrupteur 1' resl's, pendant »n temps
; court,
d'une valeur finie
k une valeui
r nulle.
d'où encore
plion brusque de l'aiguille du galvanomètre. On peut égal cl mettre en évidence la self-induction de la bobine en refert rinlerrnptcur 1, l'inlerruplcur 1' étant déjà ferme; le couidans AC passe rapidement, alors, d'une intensité nulle à une jnsité tinie, d'où une nouvelle déviation de l'aiguille du galvamèlre, en sens inverse du précédent.
l ressort de Va une précaution à prendre toutes les fois qu'on jil, par l'absence de déviation du galvanomètre, constater que
les résistances des branches du ponl satisfont à la relation (i); elle consiste à ne fermer l'interrupteur 1' qu'un peu après l'inlerru r>. tcur I, après, par conséquent, que le courant a pris son intensité finale dans les branches du pont et que la force électromotrice de self-induction s'est éteinte.
On peut encore montrer la self-induction sans modifier Tioteiisité du courant, mais en introduisant un barreau de fer doux dans la bobine (les interrupteurs I et F restant fermés); en effet, cette introduction amène un brusque accroissement du coefficient de self-induction et donne naissance à une force électromotrice, immédiatement décelée par une déviation de l'aiguille du galvanomètre. En retirant le fer doux de la bobine, on obtient une déviation de sens contraire.
Si enfin on laisse le barreau de fer doux dans la bobine et si, l'interrupteur V étant fermé, on ferme ou l'on ouvre l'interrupteur I, on obtient une déviation de l'aiguille du galvanomètre bien plus considérable que s'il n'j avait pas de fer doux, à cause du grand accroissement du coefficient de self-induction de la bobine dû à la présence du barreau de fer.
11. Étincelle à la rupture d'un circuit parcouru par un courant. — On sait que, lorsqu'on rompt un circuit contenant une force électromotrice notable, il se produit une forte étincelle ao moment de la rupture. A égalité d'intensité de courant, Tétincelle de rupture a un éclat très différent suivant qu'il existe une grande ou une faible self-induction dans le circuit. Nous allons en donner la raison.
Lorsqu'on ferme un circuit à l'aide d'un interrupteur, la différence de potentiel entre les deux parties qu'on va mellre en contact est, en général, trop faible pour produire une éuncclle visible. Mais, lorsqu'on ouvre Tinlerrupteur, le circuit, pendant tout le temps de la rupture, n'est plus fermé que par des parties en contact dj plus en plus petites; par suite, la résistance du conducteur devient énorme en cet endroit et l'échauffement considérable. Aussi, à la rupture complète, l'air interposé est-il porté à une température très élevée. Il peut conduire alors l'électricité, comme l'a montré M. Blondlot. On voit donc que le courant électrique ne cesse pas quand le circuit est interrompu, mais
PHÉNOMÈNES d'iNDUCTION. 203
ropage à travers l'air rendu condncleur, en même lemps qu'il :he mécaniquement au circuit des parcelles métalliques qui, ées à rincandescence ainsi que l'air ambiant, produisent une able flamme; sa longueur est d'autant plus grande que la 3 électromotrice du circuit est plus considérable (*). n comprend alors que la présence dans le circuit d'une bobine édant un grand coefficient de self-induction puisse provoquer ngue flamme que l'on conslate, puisqu'à la force éJectromoexistante s'ajoule, au moment de la rupture, celle due à la induction qui a même sens. Cette dernière peut même devenir ondérante, s'il se trouve dans le circuit des bobines possédant lovaux de fer doux.
!. Introduction de la force électromotrice de self-induction la relation d'Ohm. — Nous avons établi la relation d'Ohm . le cas des courants constants (T. l, Chap. XI, n® 10), pour jas avoir à tenir compte de la force électromotrice de selficlion, dont nous n'avions pas encore parlé; mais il est clair, éprenant le raisonnement fort simple fait alors, que la relad'Ohm reste applicable aux courants variables à condition ouler aux autres forces électromolriccs qui existent dans le uil la force électromotrice de self-induction, i donc nous désignons par E la somme des forces électromoes autres que celle de self-induction, par L le coefficient de -induction, par i l'intensité du courant et par r la résistance circuit, ces grandeurs se rapportant à l'époque ^, il vient
d{hi) ., d{\A) ,,
ir = ^ — -f- b ou — i — - H- /•/ =: h.
dt dt
e circuit ne se déforme pas et si le milieu environnant ne renne pas de substances ferro-magnétiques, L est une constante, I vient
dt
Si l'on mainlieot à pelilc distance les e\lréinilés des conducteurs entre
piles se produit la rnpUire, la flamme persiste et constitue Y arc électrique;
produit pour l'éclairage entre deux pointes de charbon conducteur. Nous
isons que rappeler ici ce phénomène bien connu, dont nous ne nous occu-
s pas davantage.
Dans le cas où te circuil considéré est ouvert, en désignant par r, et Ta les potentiels au temps / à l'extrémité d'où part le courant et à celle où il arrive, la relation établie précédemment (T. I. Chap. XI, n° 13) pour les circuits ouverts devient, en introduisant à part la force électromotrice de self-induction,
(5) —j^ hrt= E-M^i — r,.
De même, la deuxième loi de Kirchhoff, relative à un circuit fermé composé de parties parcourues par des courants d'intensité difTérenies (T. I, Chap. XI, n** 14), s'écrit, en introduisant à parties forces électromotrices de self-induction,
Faisons observer que la première loi de Kirchhoflf (T. I,
Chap. XI, n°o) \^t =2'' est exacte pour les courants variables
comme pour les courants constants; il suffit, pour le voir, de remarquer qu'un courant variable peut toujours être considéré comme constant pendant un temps infiniment petit, dans le cas qui nous occupe. Ce point est, du reste, justifié par l'exaclilude (le toutes les conséquences qu'on en a déduites.
13. Quantité d'électricité mise enjeu dans un phénomène d'induction. — Supposons qu'un circuil fermé ne soit le siège que (le forces éleclroniotrices d'induction. En désignant, comme ci- (lossus, par E la somme des forces électromotrices autres que celle due à la self-induction et par <ï> le flux d'induction à travers le circuit au temps / du aussi aux causes autres que la présence du ("ourant d'intensilt' / dans le circuil considéré, on a
et, on substituant dans la relation ci-dessus [form. (i), n** 12], En niulti[>liant par (l( les deux membres de cette égalité, et en
PIlÊNOIlàKES D'ixDUCTION.
larqiianl que idt est la i|uantîté dm «l'électricité qui a c s le circuit pendant le temps dt, il vient
I comme c'est le cas le plus fréquent, la résistance du circuit ne B pas avec le temps, l'intégratioa de cette (iernière relation
jëtiint la quantité d'éiectriciLé ({ui a circulé dans le circuit pdant le temps considéré. Si, en outre, l'intensité du courant luit est nulle au début et à la lin de la période envisagée, eus i frrqueni, cette relation se simplilic et devient
î est l'expression très simple qui donne la quantité d'élec-
lité qui a parcouru le circuit par suite d'un pliéiiomène d'in-
iion momentané. Remarquons que cette quantité m d'étec-
;5t indépendante de tous les phénomènes d'induction qui
int passés; elle ne dépend que ilu llux d'induction initial $■
puai ^3 à travers le circuit ainsi que de sa résistance.
errons plus loin (Chap. VI, n''34) comment on peut, au ijen d'un galvanomètre, mesurer la quantité m d'électricité nd elle s'écoule pendant un temps très court. Disons tout de , pourtant, que celte quantité est proportionnelle à la dévia- ■ qu'elle fait subir à la partie mobile du galvanomètre. La me- B de m et de r permet ainsi de connaître la variation 4>, — Oj I flux d'induction.
Indiquons quelques applications de la relation (5^. Considérons
t bobines placées l'une à l'intérieur de l'autre, par exemple.
nous lançons dans l'une le courant d'une pile, en fermanl son
Kuit, il se produit dans le circuit de l'autre, que nous pouvons
r fermé sur un galvanojnèlrc, comme dans les expériences
Biques, un courant d'induction de durée excessivement courte.
S- circuit induit part d'un état où le courant a une intensité nulle
ao6 CHAPITRE III.
pour aboiilir à un étal où te courant a aussi une inlensilé oulle. La quantité d*électricité qui a parcouru ce circuit pendaDl la variation dMntcnsité du courant inducteur est donc donnée par la relation (5). Du reste, si Ton appelle M le coefficient d'induction mutuelle des deux bobines et I Tintensité finale du coonol
inducteur, on a ici
<|>i= o et 4>j= MI.
La relation (j) donne alors
MI
(6) ni = -—.
Si, maintenant, on vient à rompre le circuit inducteur, il circulera dans le circuit induit une quantité d'électricité qui, diaprés la même relation, est donnée par
On voit que la décharge induite de rupture transporte la même quantité d'électricité que la décharge induite de fermeture^ mais en sens inverse. Aussi la partie mobile du galvanomètre éprouve-t-elle des déviations égales, mais en sens contraires, par ces deux décharges.
La mesure de //?, I et r permet de connaître le coefficient d'induction muluelle M.
Voici un second exemple : Considérons un cerceau de Delezenne, pouvant tourner autour d'un axe vertical. Plaçons d'abord son plan perpendiculairement au plan méridien magnétique el faisons-lui exécuter une demi-révolution, ce qui amène encore son [)lan à être per[)endiculaire au plan méridien magnétique. Le courant d'induction nul au début devient nul aussi à la lin; la relation (j) s'applique donc. Prenons comme sens positif sur le circuit le sens montant dans la moitié qui, pendant la rotation, passe par le sud. Eu désignant par 11 la composante horizontale du champ terrestre cl par S la surface totale du cadre, c'està-dire la somme des surfaces embrassées par l'ensemble des spires, qu on peut prendre ici égale à autant de fois la surface du cadre (|u'il y a de spires, on a pour le flux d'induction initial ^•-- — US et pour le flux d'induction final 4>2=: 4- HS; la rela-
PRéNOMÊNES D^INDCCTION. 207
lion (5) donne alors, pour la quanlîlé m d^électricilé qui a parcouru le circuit,
2HS (8) m=
Une expérience analogue permet de mesurer Tintensilé d*uu champ magnétique. On prend, au lieu du cadre, une bobine plate de diamètre assez petit pour que le champ puisse être considéré comme uniforme dans toute l^étendue de la bobine. On dispose celle-ci de façon que le plan des spires soit perpendiculaire à la direction du champ; on la fait tourner ensuite de iSo*' autour d^un axe contenu dans le plan des spires et Ton mesure, par la déviation d'un galvanomètre placé dans le circuit de la bobine, la quantité m d'électricité qui a passé {voir Chap. VI, n"34). La relation qui donne m est la relation (8), où il faut remplacer H par Fintensité JC du champ étudié, ce qui donne (en prenant les valeurs absolues)
JC =
mr
Cette méthode est due à Verdet.
l'A. I^ois deKirclihoff étendues à la totalité d'un régime variable. — La première loi de KirchhoDT (T. I, Chap. XI, n** 14) s'étend immédiatement aux quantités d'électricité qui passent par un point de bifurcation pendant un temps quelconque. Soit au
Fig. loi.
iemp^ /, en effet, ^e la somme des intensités des courants qui ^'approchent d'un point A de bifurcation {Jig» «oi), et \^(;' lu
somme des intensités des courants qui s'en éloigoeDl. Oi comme nous l'avons vu plus haut (n® 12) :
en multipliant par dt les deux membres de celte relalioD, remarquant que idt est la quantité dm d'électricité qui p à travers une section du conducteur parcouru par le courant < tensité £ pendant le temps dt\ il vient
^dm =^din\
et, en intégrant pendant un temps quelconque.
C'est la première loi de KirchhofT étendue à la totalité régime variable ou constant.
Pour établir la seconde loi, considérons un circuit fermé AB' {Jig* 102) faisant partie d'un réseau de conducteurs. Bon
Fig. loî.
nou> soulomont au cas où l'intensité des courants est di début ot, par >uito de la fermeture d'un des circuits du i prend dos intensités i\ T, T, {" respectivement dans les brandies au temps / de la période variable qui suit la fen pour arriver à axoir des intensités constantes «1, 1*,, 1*, i^ gnons respectivomonl pour les quatre branches par L, L', les coefilcients de self-induction et par /*, /•', r% r^ les
PHÉNOMÈNES D*INOUCTION. 209
tances, ces deux genres de grandeurs élaol supposés constants; soient enfin e, e', é' ^ é" au temps / les forces éleclromotrices de chacune des branches en dehors de la force électromotrice de selfinduction.
La deuxième loi de Kirchhoff, appliquée à ce circuit fermé, donne
V ri -+- r' f -h r' t' -4- r*" T
en multipliant par dt les deux membres, remplaçant les quantités i diy il dt^ i* dt^ i" dt par rfm, dm'^ dm!\ dm'" (quantités d'électricité passant pendant le temps dt)^ intégrant pour toute la durée du régime variable, et enfin représentant d'une façon générale
/ e dt par E [force électromotrice intégrale)^ il vient
l rm — r ni' -^ r' m" ^ 1^' trT ^ -* ■ \ =- Lii—L'i\ — Vi] — L'^i";— E -¥- E -t- E'-h- E"',
ce que nous écrirons en abrégé
(6) 2r/n= — ^Lii-f-^E,
relation exacte quel que soit le nombre des branches du circuit fermé.
C^est la deuxième loi de KirchhoflTétend ue à Tensemble du régime variable de fermeture.
Biea entendu, comme pour la relation entre les intensités des courants, les quantités d'électricité m qui circulent dans un certa.ia sens, pris comme sens positif sur le circuit fermé considéré, sont des grandeurs positives, et les quantités m d'électricité qui circulent en sens inverse sont des grandeurs négatives.
Remarquons que, si la force électromotrice e d'une branche, due seulement à l'induction d'un circuit voisin dans lequel le courant est nul au début, prend une valeur 1 au temps / pour atteindre ^Q0 valeur constante I| à la fin de la période variable, en désifimant par M le coefficient d'induction mutuelle supposé constant des deux circuits, on a
P. ~ II. i4
aïo d'où
CIIAPITRR 111.
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