MI
Si, ail lieu de considérer le régime variable qui suit la fernielure, on considère le régime variable se produisant pendant ta rupture d'un circuit et qui finit par une intensité nulle dans les diverses branches du réseau et des circuits qui peuvent agir sur lui par induction, le même raisonnement donne
(f) bis)
et
(8 bis)
2rm=2'--2;E
\l =-- Mil,
en désignant par £| et Ii les intensités constantes avant la rupture. Nous ferons un grand usage des relations (3), (6) et (8) en traitant de la mesure des coefficients de self-induction ou d'induction mutuelle (Chap. Vr .
1d. Énergie du champ magnétique. — Quand un ou plusieurs circuits ('que nous désignerons par A) sont parcoums par des courants, le système de ces circuits et du milieu environnant. jusqu'aux limites où l'action magnétique des courants se fait sentir, possède une énergie plus grande que si aucun courant ne traversait les circuits. C'est cette augmentation d'énergie, dans le cas où la température du système que nous supposons uniforme ne varie pas, que nous nous proposons de calculer ici. Nous nous bornerons au cas où le milieu environnant ne renferme que des substances diamagnétiques ou paramagnéliques, c'est-à-dire des substances dont l'aimantation est à cliaque instant proportionnelle à la valeur du champ.
Remarcjuons que cette variation d'énergie peut dépendre de b forme des circuits, de leurs positions relatives, de rintensilé des courants, de la nature du milieu qui les entoure, mais qu'elle dc saurait dépendre de la résistivité des substances qui composent les conducteurs, qui règle seulement la quantité de chaleur dégagée j)ar l'effet Joule et qu'il faut retirer du système pour maintenir sa
tenipéralure conslanle. Aussi, pour permellre aux transformations d'être réversibles, allons-nous supposer le cas limite où les résîslances des circuits sont infiniment faibles (*).
Pour arriver à calculer la variation d'énergie, nous allons montrer qu'on peut alors, par des transformations réversibles, passer de Fétat où les courants ont une intensité nulle à celui où ils ont une intensité quelconque, la température restant constante, au moyen du travail G de forces extérieures, sans autre échange d'énergie avec l'extérieur que les échanges d'énergie calorifique nécessaires pour maintenir la température constante, si la création du champ entraîne des créations ou des destructions de chaleur : en même temps nous calculerons ce travail C, qui nous servira à obtenir la variation d'énergie cherchée.
Nous allons supposer que les courants sont fournis par des électromoteurs fondés sur l'induction, dont l'énergie reste constante à un infiniment petit près en n'échangeant avec l'extérieur que des quantités infiniment petites de chaleur, de façon que le travail qu'ils reçoivent des forces qui les font tourner soit à chaque instant égal à l'énergie électrique qu'ils fournissent, ce qui est possible comme cas limite. Ceci exige, en particulier, que la résistance des circuits des électromotenrs soit infiniment faible.
Nous comprendrons, dans le système que nous considérons, les cîrcuils A, le milieu qui les entoure jusqu'aux limites où le champ
' ' } S'il n'en était pas ainsi, en ciïet, la quantité de chaleur créée par l'ctrct Joule étant proportionnelle à la résistance et indépendante du sens du courant. Qaand dans la transformation inverse le sens du courant serait renversé, il faudrait encore retirer la quantité de clialeur due à l'eiTet Joule pour maintenir la tempeconstante : le changement de sens de la transformation n'amènerait donc le changement de signe des échanges de chaleur avec rextérieur et la transformation ne serait pas réversible.
Avec des résistances infiniment faibles, au contraire, comme les quantités de chaleur dues à l'effet Joule sont infiniment faibles, les échanges de chaleur dans 1^ tr«ifisforniation directe et inverse pour maintenir la température constante ^^^0^1, les nnémcs en valeur absolue à un infiniment petit près et de signe con- ^^^If^ si aucun autre phénomène irréversible ne se produit, comme cela aura tîeo dans le cas considéré. Remarquons à cet égard que, s'il y avait dans le cbamp des substances ferromagnétiques douées d'h)stérésis (n** 17), le phénomène ^^ Iji création du champ ne pourrait être réversible, c'est-à-dire que le champ ne P^Qf^aît être détruit en repassant exactement par toutes les phases où il a passé ^Q^00t sa création. C'est une des raisons qui nous font exclure les substances ferromagné^^iques.
ai 2 CHAPITRB III.
produit par tes courants de ces circuits se fait sentir, et les électromoteurs; nous considérerons les forces qui font tourner ceai-d comme extérieures au système.
Les circuits A étant immobiles, nous allons faire croître Tinlessité des courants qui les parcourent depuis une valeur nnlk jusqu'à une valeur finale I|, I^, I3, .. ., que nous représeateroif d'une manière générale pari, en donnant aux électromoteorsiks vitesses telles que, à Tépoque /, l'intensité du courant 1 soit, potf chaque circuit, une même fraction x de l'intensité finale ({ = Ix). Désignons par 4>|, 4>2, ^s» • • • les flux d'induction à travers chacun des circuits quand les courants ont pris leur intensité finilelf,
I2, I3, On voit qu'en représentant par ^, d'une roaiuère
générale, l'une de ces valeurs finales, le flux d'induction 0 u temps / dans ce circuit est 4>j:, puisque, au même momeal, totf les courants ayant la même fractions; de leur intensité finale, il ea est de même des aimantations (*) et des flux d'induction.
Au temps t^ la force électromotrice d'induction, dont un des circuits  est le siège, par suite de la variation du champ, est
do ^ dx
di dt
Or, la force cleclromolrice de l'éleclromoteur situé dans ce circuit est opposée à cette force électromotrice et lui est égale à no infiniment petit près, d'après la loi d'Ohm, puisque la résistance du conducteur est infiniment faible. Cet éleclromoteur fouroit. pendant le temps dt^ une quantité d'électricité égale à idi = \xdt, et par conséquent une quantité d'énergie électrique égale à
d^ ^ —f-lx dt — * la? dx.
dt
Le travail de la force extérieure qui fait tourner cet électromoteor est, pendant ce temps rf/, égal à cette quantité d'énergie électrique: il en résulte que la somme d(D des travaux des forces actionnant
(>; Il ircn serait pas ainsi s'il y avait dans le champ des snbsUnces ferroai- ^nétiques, puisque leur coefficient d'aimantation dépend de la valear du chaa^ ot, par conséquent, qu'il n'y a pas proportionnalité entre raimantation et l'iatc^ site du champ.
PHÉNOMÈNES D'INOUCTION. 21 3
tous les électromoteurs pendant le temps dt est
le signe ^1 s'étendant à tous les circuits.
Pour avoir le travail total S des forces extérieures pendant la création du champ, il suffit d^intégrer Texpression précédente depuis o jusqu'à i, ce qui donne
Ainsi on voit que, en n'employant rien que du travail, on
peut créer un champ magnétique. L'expression -\^4>I, qui
représente le travail nécessaire pour créer ce champ, d^une ^€M^on réversible^ isotherme et sans autre échange d'énergie 4zvec le milieu extérieur que les échanges d'énergie calorifique nécessaires pour maintenir la température constante, mais d'une façon quelconque, du reste, puisque ce travail, dans ces conditions, ne dépend que de l'état initial et de Pétat final, a été appelé \]énergie du champ magnétique. Nous lui conserverons ce nom, tout en faisant remarquer qu'elle ne représente pas exactement l'accroissement d'énergie Uy qu'a éprouvé le système en passant de l'état où les courants ont une intensité nulle à celui où les intensités ont pris les valeurs finales, parce que, pour maintenir la température constante, il peut être nécessaire de retirer de celui-ci ou de lui fournir un peu de chaleur. M. Pellat a montré oue, diaprés les principes delà Thermodynamique, cette variation d'énergie Ut est donnée par
(3) UT=e-T^ (i).
f f ^ Toici la démonstration de cette relation très générale : Considérons un système qui n'a de relation avec le milieu extérieur que par échanges de chaleur et de travail (transformations simples), et dont Tétatne qoe de sa température absolue T, supposée uniforme, et d'une antre rinbl^ indépendante x. Supposons une transformation réversible de ce système r laquelle le travail des forces extérieures soit nul, malgré la variation deT, r DC Tarie pas. Remarquons que, en donnant àâ7la même signification que ci-
Ç^. étant égal à - \] <Ï>I. Comme nous nous donnons les inlensiti
finales I des courants, ce sont des constantes par rapporta température, tandis que les flux d'induction O, pour des valca données de I, peuvent dépendre de la température, à cause de dilatation des circuits et de la variation des perméabilités magn' tiques avec celle-ci. Aussi a-t-on
et
Mais le terme correctif — T 51 ^ ht' ^"^ représente, s'il eslpoi
tif, Ténergie calorifique fournie au système ou, s'il est négat retirée de celui-ci pour maintenir la température constante, e
dessus, c'est précisément le cas où Ton est placé dans les conditions qoe d( avons supposées pour la création du champ magnétique [voir la relation (*)] Soit alors dis le travail des forces extérieures et dQ la quantité de chai< mise en jeu pendant une transformation élémentaire du système, où la temj rature varie de dT et l'autre variable de dx; on peut écrire
di£ k dx, dQ — adT -i- b dx ;
en appelant J l'équivalent mécanique de la chaleur, on a, pour la variation de l'énergie et pour la variation dS de l'entropie du système,
dV = J dq -^-dG ^-. J{adT '^-bdx)-^kdx^- JadT -^ {ib~-k)dx, dS = ^^^.dT--^,dx.
En écrivant que dV est une différentielle exacte, pour appliquer la loi de Téq valence, et que dS est aussi une différentielle exacte, pour appliquer la loi Carnot, il vient
d{Ja) â{Jb-\-k) j. . '/da f)b \ ôk
Ox ô\ * \(}x tjij ôT'
ï da i àb b . da ôb b
T Ox T Tï ~ 'P' Ox" Wv ~ " t'
Far élimination, on tire de ces deux relations
T ôk
^' -jw
ICn portant celte valeur de b dans l'expression de la variation de rén«r|
PHÉNOMÈNES d'INDUCTION. 21 5
ici exlrémement faible ; aussi peut-on le négliger sans grand incon- "véaient.
Faisons remarquer que la variation d'énergie d'un système ne dépendant que de l'état initial et de l'état final, la variation
<l*énergie du champ sera donnée par -^1<Ï> — — ^ ^ ât* ^"' P*^ approximation, par-^I^, quelle que soit la manière dont ont
été produits les courants.
Enfin, si Ton désigne par Li, L2y L3, ... les coefficients de self-induction des circuits et par M, M' leurs coefficients d'induelion mutuelle, on a identiquement
(5) -Yl*- -L,IÎ +-iL,I|-+-iL,IÎ4-...-+-MI,[,-f-M'[tl3-+-....
Eq particulier, s'il n'y a qu'un seul circuit, la variation d'énergie du champ est
(6, U,= iLl.-lTl.^.
celle-ci devient
rfU ". ladr^ r [k ~'x'^-^\dx.
Si maintenant nous considérons une transformation isotherme, comme nous l'avoDS fait pour la création du champ magnétique, il faut faire cTT = o, et il vient, pour la variation t/Ur de l'énergie,
En intégrant cette expression par rapport à x, pour avoir la variation finie Ut de l'énergie dans cette transformation isotherme, il vient, en remarquant que,
d'après la première relation, / k dx — G travail total des forces extérieures,
•( Çkdo^
La quantité — 7 ^ représente ainsi la quantité de chaleur fournie au système ou retirée de celui-ci, suivant le signe, pour maintenir sa température Constante.
C'est cette même relation qui nous a servi aussi à trouver la véritable valeur (ie la variation d'énergie lors de la création d'un champ électrique, d'après la valeur do travail des forces extérieures dans la transformation réversible et isotherme r|Qe nous avons supposée pour créer ce champ (T. I, Chap. VII, n* 3).
Il est facile de voir maintenant que Ténergie d^iin sjslème de courants et d^aimants, de magnétisme parfaitement rigide, est indépendante de la position relative des courants et des aimants, si toutefois nous négligeons les modiGcations de la perméabilité dans le voisinage des courants par le déplacement des aimants. Ce sera le cas où, le vide entourant les courants, les aimants seraient constitués par une distribution de magnétisme dans le vide.
Désignons, en effet, par U| l'énergie du système quand aucun courant ne passe dans les circuits. Si nous produisons ensuite ces courants dans les conditions indiquées ci-dessus, comme les aimants donnent à travers les circuits un flux d'induction constant, il n'en résulte aucune modification dans l'expression de la force électromotrice dont ces circuits sont le siège, ni, par conséquent, dans l'expression du travail G des forces extérieures pour obtenir la même intensité des courants. L'accroissement U2 de l'énergie du système parla production des courants est donc aussi la même que si les aimants n'existaient pas. L'énergie totale U| + Us du système se compose ainsi de deux termes U| et Ua indépendants l'un de l'autre et restant les mêmes quelle que soit la position relative des courants et des aimants.
16. Équation du champ magnétique. — De l'énergie considérée comme répartie dans tout le champ. — On doit au pbysicien anglais Maxwell ridée qu'il existe en chaque point d'un champ magnétique variable une force électromotrice d'induction qui peut participer à la production d'un courant si en ce point se trouve un conducteur faisant partie d'un circuit fermé. Nous allons exposer ici les relations, dites équations du champ magnétique, auxquelles cette idée a conduit Maxwell.
Appelons P l'intensité d'un vecteur (grandeur dirigée), que nous appellerons intégrale électromotrice , devenant nul si le champ devient nul et tel, que si au point du champ auquel il se rapporte se trouve un élément d'un circuit linéaire de longueur dl faisant un angle o) avec ce vecteur, la force électromotrice d'induction ^E dont celui-ci est le siège est représentée, en grandeur et en signe, par
( I ) — rfE = -^- cos (0 dl.
ot
PHÉNOMÈNES D'INDUGTION. 217
On voit que, si le champ magnétique venait à s^annuler à partir du moment où l'intégrale électromotrice a une valeur P, Tintégrale par rapport au temps de la force électromotrice d'induction dont Félément considéré est le siège serait fournie par Pcoscoé//, d'où le nom donné à ce vecteur.
Rapportons les points de Tespacc à trois axes de coordonnées rectangulaires OX, OY, OZ. Appelons F, G, H les projections de l^Dtégrale électromotrice sur les axes de coordonnées; si a, p, y sont les angles que fait ce vecteur avec les axes, on a :
(a) F = Pcosa, • G = Pcosp, Hr^^PcosY.
l'on appelle X, [x, v les angles de l'élément de circuit linéaire avec les axes, on a cos w = cos a cosX -j- cos p cos [x -t- cosy cos v et comme, d'autre part, dlcos'k, dl cos ^j dlcosy sont les projections dx^ djTj dz de la longueur de l'élément sur les axes, il vient, en substituant dans (i).
3) — £/E = --dx-\- —dy ^ -T-dz,
Ot Ot '^ ot
La force électromotrice d'induction pour tout un circuit linéaire fermé est donc donnée par
r/d¥ dx aC dy à\\ dz\ ,,
D'autre part, cette force éleclromolrice d'induction E est égale, comme nous le savons, à la dérivée, par rapport au temps, du flux d^induction <ï> à travers le circuit considéré, prise en signe con-
Iraîre (E = — ir)'* ^'^^> ^" égalant ces deux expressions de E et
en intégrant, par rapport au temps, cette relation depuis la valeur actuelle du champ jusqu'à une valeur nulle de celiy-ci, il vient
,5> *=/('^S^-«$'-Hg)./.
signe / , comme ci-dessus, s'étendant à tout le circuit.
Considérons un circuit linéaire ABCD (fig- io3) affectant la forme d'un rectangle dans un plan perpendiculaire à OX, et dont les côtés, parallèles à OY et à OZ, de longueurs dy et dz^ sont in-
finiment petits; prenons comme sens positif le sens ABCD. Sup posons que le milieu entourant ce rectangle infiniment petit soii incapable de conserver du magnétisme rigide et soit y. sa perméabilité. Appliquons à ce circuit la relation (5). En appelant X, Y, Z les composantes du champ magnétique en A, on a pour la valeur $
Fig. io3.
du ilux d^induction ^ILdydz. D'autre part, la portion relative s côté AB de Tintégrale du second membre de la relation (5) se m^-
duilkH dz et celle relative au côté opposé CD à — ( H-f- -—dy\c£^
d'oii, pour la somme des portions de l'intégrale relatives à c€
deux côtés, v-dy dz\ on trouverait de même, pour la somm*
des portions de l'intégrale relatives aux deux autres côtés BC
etDA, -dydz. Par conséquent, l'intégrale du second membre
de la relation (5) devient, dans ce cas,
dz ôy J -^
En appliquant cette relation et supprimant le facteur commun dy dz^ il vient
^ dG à\\
àz ôy
On obtiendrait, par des considérations semblables, les deux autre
PHENOMENES D INDUCTION. aig
relations
Supposons maintenant qu'un courant vienne à parcourir une région du champ, soit dans un conducteur linéaire, soit dans une masse conductrice. Désignons par di Tinlensilé du courant qui traverse une surface ds disposée normalement à la direction du courant; nous appellerons densité du courant le quotient de di par ds ; en désignant par D cette grandeur, on a donc
(D ^ - -r> d'où di=Dds,
as
Appelons a, 6, c les angles que fait avec les axes de coordonnées OX, OY, OZ la direction du courant en un point où la densité du courant est D, et posons
(8) a — D cosa, i^— Dcos6, w—Dcosc;
les grandeurs u, ^', w ainsi définies sont les composantes de la
densité du courant. Considérons en un point A un élément de
surface disposé perpendiculairement à Taxe OX et d'étendue rfS;
i intensité du courant qui traverse cet élément est la même que
«intensité di du courant qui traverse sa projection, d'étendue dsj
sur un plan passant par A et perpendiculaire à la direction du
courant en ce point. Or on a ds = dS cosa; en substituant dans
la relation (7) et en tenant compte de la première des relations (8),
il vient
(9) di-.udS.
On obtiendrait de même, si l'élément d'étendue rfS était perpendiculaire à OY ou à OZ,
(g bis) di — v dS, di — w dS.
Considérons un contour rectangulaire ABCD {/ig. 104), dont les côtés infiniment petits sont parallèles aux axes OY et OZ ; soient dy et dz les longueurs de ces côtés. Si ce contour est
traversé par un courant, nous aurons, pour rintensilé de celui-ci,
di = udy dz.
Supposons maintenant qu*un point M, chargé d'une quantité q de magnétisme nord, décrive le contour ABCD dans le sens indiqué
Fig. 104.
par Tordre de ces lettres. Le travail de la force magnétique agissant sur ce point, qui décrit un contour fermé autour d^un courant d'intensité rfc", est donnée comme nous l'avons vu (Chap. I'%
n® 16), par
(îO
dW = q ^Tzdi ~- q ^tzudy dz.
D'autre part, nous pouvons évaluer directement ce travail au moyen des composantes X, Y, Z du champ magnétique en A et de ses dérivées : le long de AB, le travail est qï dz; le long du
l ~\- ^ dy) dz ; de façon que la
somme de ces deux travaux est — q--dydz. On trouverait de même, pour la somme des travaux le long des autres côtés BC et DA, q-Tz^y ^^* ^^ ^ donc
dz
En égalant les expressions de rfW données par (11) et (12), et en
PHéNOMÉNBS d'induction. l'il
supprimant les facteurs communs, il vient
on obtiendrait d^une façon semblable les deux autres relations
dZ dX dx oz
oy ôx
Ce sont les relations (6) et (i3) qu'on appelle les équations du champ magnétique. Nous nous en servirons plus loin, dans Texposé sommaire que nous ferons de la théorie électromagnétique de la lumière de Maxwell; mais nous allons dès maintenant les appliquer pour obtenir une expression très commode de l'énergie du champ magnétique.
Considérons toujours le cas où le champ est constitué uniquement par des courants linéaires, le milieu ne renfermant pas de substances capables d'acquérir du magnétisme rigide.
Si, dans l'expression - ^^I considérée plus haut(n® 15), nous
remplaçons ^ par sa valeur donnée (5), il vient
Appelons ds la section droite d'un des fils conducteurs au point x,
^/f* d'v dz
y^ z. Remarquons que 'yr^ "JT' "di ^^^^ égaux à cosa, cosb, cosc
en appelant, comme ci-dessus, a, 6, c, les angles avec les axes de la direction du courant. Soit D sa densité ; on a
dx I -TT = I cosa = D û& cos a = u d$ dl
( i5) 1 et de même :
tdy. .dz j
l-TT = i^ds et I -j7 = w a* :
dl dl
ea remplaçant, il vient
(16) '^^^l = i^f(Fu + Gç^Hi^)dsdl,
CHAPITRB III.
dsdl est le volume dv du tronçon infiniment petit de longueur d/ du fil conducteur; d'autre part, remplaçons dans (i6) m, i\ wpir leurs valeurs tirées de (i3), il vient
iS— .ï2/k(S-
'àyj
of^-gUH/'^---^'
\ dx dz /
\dy
ce qu'on peut encore écrire, en étendant l'intégration à toul l'espace où le champ est sensible, puisque, en dehors des circuits métalliques, //, v et w sont nuls.
)]d,ifi
Nous supposerons l'espace auquel nous étendons TintégratioD limité par une surface S sur laquelle et au delà de laquelle le champ peut être considéré comme ayant une valeur nulle. Intégrons par partie chacun des termes de l'intégrale précédente. Prenons, par exemple, le premier terme; on a
JffF ^ .1. dy d. -f/FY d. dy ^f/fy 'S^dyd,;
l'intégrale double correspondant aux points situés sur la surface limite S. On obtiendrait de même, pour les autres termes, de» expressions analogues, ce qui fait que la relation (i8) devient
ji:
cl>l -
f C{V\ —G\)dxdy r- f l^(GZ - \\\)ffydz -*- f foiX - rZ)dzih
La première intégrale est relative à tous les éléments de la surface limite S; or cette intr^rale est nulle, puisque X, Y, Z sont nuls pour tous les ])oinls de cette surface, ce qui entraîne, du reste» une valeur nulle aussi pour F, G, H. Il reste donc seulement la seconde des deux intégrales. Mais, en vertu des relations «tr. celle-ci devient
rrr|x(\2-. Y2 -Z'^)dxdydz,
PHÉNOMÈNES d'induction. 223
OU, comme X^-f- Y^-i- Z^r- x^, et que dxdydz — ch, voliiinf? d'une porlion infiniment petite de l'espace, il vient
puisque, dans le cas qui nous occupe, on a pour l'induction
Si le milieu ne renferme pas de substances ferromagnétiques,
- ^^^I représente l'énergie magnétique du champ, d'après ce qu/^
nous avons vu plus haut (n° lo ). Cette relation (20) est remarquable : elle nous amène à considérer l'énergie magnétique comme répartie dans tout l'espace où l'intensité du champ 3C n'est pas
nulle, l'énergie totale étant la somme de l'énergie ' '^ ^c ou
o TT
dv des différentes parties de cet espace.
^ — dv ne représente Ténergie du champ magnétique que
s\ le milieu ne contient aucune substance ferromagnétique ; s'il n'en est pas ainsi, cette expression de l'énergie magnétique n'est plus exacte et ne peut plus être considérée que comme très grossièrement approchée (').
( * ) Pour le voir, considérons le cas simple où le champ csl produit par un seal courant dans un milieu contenant des substances ferromagnétiques, mais ne pouTant pas acquérir de magnétisme rigide. Le coefficient de self-induction L du circuit n'est plus une constante, même si, comme nous le supposons, celui-ci ne s« déforme pas, parce que la perméabilité des substances environnantes varie avec rintcnsité i du courant. Nous pouvons alors faire varier l'intensité i depuis zéro jusqu'à une valeur I assez faible pour que, dans Tintervalle, on ait L = a -^ bij a e\. b étant deux constantes .En supposant, comme ci-dessus, que le courant est fourni par un électromoteur qui transforme en énergie électrique à chaque instant le travail 6 fourni par la force extérieure au système qui le fait tourner, on a pour celui-ci, d'après ce que nous avons vu plus haut,
al
^l^ par conséquent, pour le travail total ÎB fourni par les forces extérieures pendant celte transformation réversible isotherme qui amène le système à Tétat final où le courant prend l'intensité I, c'est-à-dire pour ce qu'on appelle Vénergic
•22 i CHAPITRE III.
Pourlant remarquons que, si nous divisons un espace ea deux régions, Tune A ne contenant ni aimants ni corps ferromagnétiques, l'autre B qui peut en contenir, pour une même valeur de l'intensité du champ 5C et pour une même nature des corps en chaque point, Ténergie magnétique de la région A est la même quelle que soit la cause qui produise le champ et, par conséquent,
est bien représentée par / ~ — di^ ou ses équivalents / — — rfp,
■zr^—dv. On voit alors que, si une modification faite dans la
région A n'entraîne aucune modification dans la région B, Ténergie magnétique de cetle dernière partie restant constante, la variation d'énergie magnétique se réduira à celle de la région A que nous savons calculer. Nous allons voir une application importante de cette considération.
17. Force sollicitant un corps placé dans un champ magnétique non uniforme. — Considérons un corps L de nature paramagnétique ou diamagnétique placé dans un milieu de cette nature; pour une même valeur du champ à Tendroit où se trouve le corps et dans ses environs immédiats, pour une même nature du milieu environnant, la force magnétique qui le sollicite reste la même, quelle que soit la cause qui produise le champ (Principe d^action de milieu, T. I, Chap. IV, n**i). Par conséquent, nous pouvcos supposer que le champ est produit uniquement par des aimanU de magnétisme parfaitement rigide qui, par une distribution
magnétique du champ.
Or, ^<t»I est égal îdeDtiqucmeDt a / ^^^dv d*après la démonstratioa fuît
plus haut, qui s'applique aussi bieo quand ji est Tariable qae lorsqu'il est cos- ^tant: on a doue, dans ce cas.
le qui démoutre riuexactitude de la relation G = / ^ — dvon G = / rfr
dans le cas des substances ferromagnétiques.
PHÉNOMÈNES D'INDUGTION. aiS
convenable, peuvent donner n'imporle quel champ dans une réçiDD déterminée. Prenons comme région B du champ celle qui est occupée par les aimants et pour région A toute la partie où il n*; a pas d'aimant. Supposons que la force magnétique agissant sur le corps L soit contrebalancée exactement par une force extérieure au système constitué par B et A, qui comprend L. Soit S| l'énergie magnétique de A pour une certaine position du corps L. Faisons voyager celui-ci de façon à Famencr dans une autre position, et soit W le travail de la force magnétique agissant sur lui pendant le déplacement; le travail de la force extérieure qui agit sur L est alors — W et, par conséquent, l'énergie magnétique de A est devenue S| — W ; si nous la désignons par ^2} nous avons donc
d'où
(.) W = C^.-G.=-A/^^rf.
ô"^ di^ la variation de 1 ^ ~ di^ produite
par le changement de position du corps.
Si le corps L se déplace dans le sens de la force magnétique qui agit sur lui, W est positif et, par conséquent, on a Gj > ©2« On voit donc que les forces magnétiques agissant sur les divers corps de la région A sont dirigées dans le sens où le déplacement du corps diminue l'énergie magnétique du système.
L'énergie magnétique de la région A étant représentée par
— ^ dv\ si nous venons à substituer dans une partie de A une
substance à une autre de la catégorie de celles que nous considérons, il n'en résulte pas de modification appréciable dans la forme des lignes de forces du champ ni dans la réiuctance des tubes d'induction, qui se confondent ici avec les tubes de forces, puisque la perméabilité des divers corps paramagnétiques ou diamagnétiques est toujours très voisine de l'unité. Il en résulte que le flux d'induction à travers chacun des tubes reste sensiblement le même et, par conséquent, que Pinduction ilb en chaque point conserve aussi, à très peu près, la même valeur. Dès lors, si nous faisons voyager un corps de volume i^ ayant une perméabilité |X| plus grande que celle [ji^ du milieu environnant, d'une partie où Tin- P. - II. i5
duction a une valeur raojenne i)l>i dans une étendue égale à (% vers un autre où rinduction a une valeur moyenne plus grande ifS>2f
la variation de /s— dv sera
c'est-à-dire aura une valeur négative; l'énergie magnétique da système ayant diminué, on \o\Vqu'un corps de perméabilité plus grande que celle du milieu environnant est sollicité par des forces qui tendent ù C en traîner du côté où C induction est la plus grande, le champ le plus intense, par conséquent. Le même raisonnement montre que, si la perméabilité du corps est plus faible, au contraire, que celle du milieu environnant, le corps tend à se diriger du côté où le champ est le moins intense.
Ainsi, dans le vide, et le plus souventdans Tair, un corps paramagnéliqne, libre de se mouvoir, gagne les régions où le champ est le plus inleuse, taudis qu'un corps diamagnétique gagne les régions où le champ est le moins intense. Par exemple, si le corps paramaj;néli(jue est suspendu, sous forme d'un barreau horizontal, par un (il entre les pôles d'un électro-aimant, on le voit s'orienter de façon que sa plus grande longueur soit disposée suivant la li<*^ne des pc)l<!s, parce que c'est ainsi (pi'il occupe la portion de l'espace où le champ est le plus intense. Dans les mêmes conditions, un barreau d'un corps dianiagnctique se dispose en croix avec la ligne des pôles, ])arce que c'est ainsi qu'il occupe la partie de l'espace où le champ est en moyenne le moins intense, en tenant compte de ce que son centre de gravité doit rester sur la verticale du fil de suspension, les forces magnétiques étant pour ces corps toujours extrêmement faibles vis-à-vis des forces de pesanteur. Telle est l'explication du phénomène qui a révélé l'existence des corps diamagnétiques et qui permet de distinguer aisément ceux-ci des cor])S paramagnéliqucs.
Le raisonnement précédent ne peut plus se faire rigoureusement dans le cas des corps ferromagnétiques, au moins en suivant
--'- dv ne représente pas l'énergie
magnétique dans ce cas, et qu'on ne peut plus admettre, que
comme une très grossière approximalion^ que l'induction conserve la même valeur, si Ton substitue à une portion du milieu une substance ferromagnétique; mais le résultat est le même que pour les corps paramagnétiques : avec une intensité beaucoup plus grande, les corps ferromagnétiques se précipitent dans les parties où le champ a la plus grande intensité.
Nous venons de voir que le déplacement d'un corps de volume v eolraîne une variation de Ténergie magnétique égale à
nous avons donc, en vertu de (i),
(î) w.--^(irt,î - M)i - --) ^^ ( --- - - ) (^iî>:- - \iî>ï )
pour le travail de la force magnétique agissant sur le corps. Considérons un déplacement infiniment petit de celui-ci, de longueur e/a, et soityia projection sur la direction du déplacement de la force magnétique agissant sur lui; le travail de cette force est ^da; on a, d'après (2),
d'où
I I \ dyu^
du
où ift> représente la valeur moyenne de l'induction dans l'étendue du volume v du corps; cette relation est donc d'autant plus exacte que ce volume est plus petit, et l'on a rigoureusement, pour un volume infiniment petit ( * ),
el par intégration pour un volume fini, dans le cas où les forces
(I) Sauf toujours rapproximation, très légitime du reste, faite ci-dessus de coosidérer l'induction aux points de l'espace où se meut le corps comme indépendante de la perméabilité des substances parumagnctique ou diamagnétique qui s^y trouvent.
magnétiques agissant sur les divers points du corps sont parallèles :
Comme ces relations ne sont applicables en toute rigueur qu'aux substances diamagnéliques ou paramagnétiques, on peut négliger le carré de la susceptibilité k devant Tunité, ce qui permet aussi dans les relations (4) et (5) de remplacer l'intensité de Pinduction \)b par l'intensité du champ JC (d'après [x = i -f- 4 ^^'); ces formules deviennent ainsi :
(4 6w ) df= — ( -T— d^ = — ? —^ dv
•' Stt \ {jtj {Xi / art 1 da
et
8 7u\{Xî |J>-i/y c/a '1 J da
Si l'on connaît à l'avance la direction de la force magnétique, en prenant cette direclion pour celle du déplacement, y repré.scn- Icra la valeur nnhne de la force magnétique. Si l'on ignore sa direction, on prendra .successivement trois déplacements rectangnlaires entre eux, et Ton obtiendra ainsi les trois projections de la force sur ces trois directions, ce qui fera connaître celle-ci en intensité, direction et sens.
18. Attraction d'un cylindre de fer par une bobine. — Si l'on place, suivant Taxe d'une bobine, un cjlindre de fer, de façon que son extrémité seule soit engagée dans la bobine et qu\iii lance le courant dans celle-ci, le cylindre est vivement attire à Tintérieur de la bobine; s'il n'y a pas de force antagoniste, sou milieu s'arrête au milieu de celle-ci. L'expérience est saisissante lorsqu'on dispose verticalement Taxe d'une grosse bobine caj^ablede supporter un courant intense ; au moment où on lance cclui-ri, un cylindre de fer, même très pesant, est soulevé et vient se coller contre la paroi interne de la bobine; en interrompant le ronr.'Ol, la pièce retombe lourdement : on a ainsi un marteau-piinn clectrique ( fi g. loT) ).
Pour faire le calcul de cette attraction électromagnétique, nous allons supposer que ce sont des aimants convenablemeiii di>tri*
pnÉNOVàNBS D'iKDDCTtON. 3^9
baés qui fournissent le champ à l'intérieur de la bobine : pour le même champ, l'atlraciion sera la même, que ce soit un système d'aimants ou le courant qui le produit. En outre, bien que nous ayons du fer dans le champ, nous allons supposer que l'énergie magnétique est représentée par / — ^ dv (n° 16); le résultat que nous obtiendrons ne sera donc qu'assez grossièrement approché;
mais il suffira à nous renseigner surl'ordre de grandeurdu phénomène.
Nous allons supposer un cylindre assez long pour que l'extrémité en dehors de la bobine soit soustraite à l'action du champ; nous supposerons aussi que l'autre extrémité ist assez engagée dans une bobine assez longue pour que le champ puisse être considéré comme uniforpne et ayant une inlensilé 3C vers l'endroit où s'arrête l'exlrémilé du cylindre, si celui-ci n'existait pas. Ceci posé, si le cylindre de section S s'avance d'une quantité iofiniment petite da dans l'intérieur de la bobine, la force magnétique F qui agit sur lui accomplit un travail V da; d'autre part, ce travail, comme nous l'avons vu (n" 17). est égal à la vaiiation d'énergie magnétique changée de signe. Admettons que ce déplacemeut infiniment petit ne modifie pas la forme des tubes d'induction, ce qui est sensiblement exact ici, car ces tubes dans l'intérieur de la bobine sont des cylindres parallèles à t'axe, et en dehors, ne sont pas modifiés, puisque, comme nous l'avons supposé, le cylindre est assez long pour que sa seconde extrémité soit soustraite à l'action du champ; alors la variation de l'expression / r — dv sera due seulement à ce qu'un volume d'air égal i S da a été remplacé par un égal volume de fer à un endroit où
•230 CHAPITRK III.
l'induction i)l) est celle qui se trouve vers l'extrémilé du cylindre dans la bobine; on a donc pour cette variation, en considénnt comme égale à Tunité la perméabilité de l'air et représentant paru celle du fer,
S da — -^ S du.
D'où
F da = — S da
et
Quant à la valeur de i)b, on l'obtiendra de la façon suivante : Considérons dans la bobine la face terminale A du fer, que nous supposerons être un plan perpendiculaire à l'axe; soit o", la densité magnétique sur cette face A; alors à Tinlérieur du fer, en un point infiniment voisin de A, on a, pour l'intensité du champ,
(Cbap. I, n°2o). Par conséquent, en désignant par Ar le coefficient d'aimantation du fer,
d'où
