II
Ltjj —
sin8
Cio
cosS = ---
éLECTROMOTEURS. — TRANSPORT ÉLECTRIQUE DU TRAVAIL. 273
D'après celte dernière relalion, on a, du reste, entre Pintensilé Icace ^3, la force électromotrice efficace C et l'impédance éi la ême relation que dans le cas précédent :
On voit que, dans ce cas, la réaclance, au lieu d'être égale à iductance Lco, comme dans un circuit sans condensateur, est aie à la différence enlre l'inductance et la capacitance; on peut ne, en choisissant un condensateur de capacité convenable, nuier la réactance et réduire l'impédance à sa valeur minimum, résistance R du circuit. D'après (lo), il faut avoir pour cela
► ^ L(i) — ■= — = o, d'où C = ■: = r- J
désignant, comme toujours, par T la période. Il n'est pas inutile de calculer la différence de potentiel des matures, comme le résultat même de ce calcul nous le montrera. n remplaçant, dans la relation (i), M par sa valeur donnée ar(^), (8) et (lo), i! vient
4) Va— V^= Q^^^ sin(a)/-4-ir)).
Le maximum de cette différence de potentiel est donc 7^ — ^.
supposons que C ait été déterminé par la relation (i3) pour endre l'impédance minimum (^ = R); le maximum de la diffé-
^^^e de potentiel est alors égal à i-rr— = ' - • Afin de nous
fendre compte de l'ordre de grandeur que peut atteindre ce "■^^ximum, prenons l'exemple d'un alternateur de 25o volts effi- Wces, ayant une fréquence de 100, avec un circuit dont le coefficient de self-induction total est de i lienry et la résistance de 10 ohms; on a
d'où
A = 35î.io», ^=io», L = io», R = io««.
On a donc
arAL ~RT"
= 2iT.354.io'.io».io-*<'.io* = asaio.io*,
soit 22 210 volts; c'est une différence de potentiel capable de donner 8™" d'étincelle. Avec une fréquence de 200, les autres conditions restant les mêmes, la différence de potentiel maximum aurait été de 44^00 volts, ce qui correspond à 4*^" à 5*=" d'éliocclle.
On voit que, dans ces conditions, qui n'ont pourtant rien d'excessif, la différence de potentiel est formidable entre les armatures du condensateur ou les fils qui y aboutissent; il y a là un danger. D'autre part, sous ces grandes différences de potentiel, l'isolant du condensateur peut être percé et celui-ci mis hors de service; c'est précisément cet accident survenu au début de l'emploi des condensateurs qui en a retardé l'usage.
Les condensateurs qui servent dans l'industrie pour diminoer la réactance sont généralement formés de plusieurs couches de papier paraffiné ou même de paraffine pure comme isolant et de feuilles de papier d'élain collées dessus comme armatures; il faut en réunir souvent un grand nombre pour avoir la capacité nécessaire.
Nous ferons remarquer que les relations établies ci-dessus pour un circuit coupe par un condensateur se ramènent à celles qui concernent le même circuit sans condensateur en faisant C inflni; ainsi l'absence de condensateur revient à avoir dans le circuit un condensateur de capacité infinie. On peut donc prendre comme relations générales celles qui ont rapport au cas du condensateur.
il. Cas d'une force électromotrice alternative quelconque* -
Nous avons traité le cas où la force électromotrice alternative est une fonction sinusoïdale du temps. Dans le cas général, où l> force électromolrice E est une fonction périodique quelconque do
éLBCTROMOTEnRS. — TRANSPORT ÉLBCTRIQUB DU TRAVAIL. 2y5
ips, nous avons vu (n® 9) qu'elle peut se développer suivant >érie de Fourier en une somme de termes qui, chacun, sont fonctions sinusoïdales du temps. Supposons qu'on ait pu e Vanalyse harmonique de la force électromotrice, de façon onnaître les amplitudes A,, A2, ..., A,,, ainsi que les phases ttj, . . ., a„. On pourra alors chercher quelles seraient les fonc- 15 du temps I|, I2, ..., I/i qui représenteraient l'intensité du rant si chacun des termes de la série de Fourier existait seul s l'expression de la force électromotrice; il n'y aura pour I qu'à suivre la marche que nous venons d'indiquer, soit dans ;as d'un circuit sans condensateur, soit dans le cas d'un circuit ipé par un condensateur; la fonction du temps
irésentera l'intensité du courant pour la force électromotrice nnée.
Pour le voir, en supposant d'abord qu'il n'y ait pas de conden- €ur, il suffit d'appliquer la relation (2) du n® 9 eu mettant sucïsivement à la place de E dans le second membre les termes de série de Fourier et en remplaçant I dans le premier par I|, I2, ..-, ce qui satisfait à la relation d'après la définition même de ces codeurs, puis d'additionner membre à membre toutes ces éga- ^'s; en donnant à I la signification indiquée par (1), on obtient îcisément ainsi la relation (2) du n** 9, ce qui montra que 1 isfait bien à cette relation et, par conséquent, représente bien Uensité du courant cherché.
Dans le cas d'un condensateur, la démonstration est tout à fait ïlogue : au lieu de la relation (2) du n** 9, on considérera la ation (4) du n"* 10; désignons par M,, M2, ..., M„ les valeurs M qui satisfont à cette relation quand on met successivement, \ place de E, dans le second membre, les divers termes de la ie de Fourier, et faisons la somme de toutes ces égalités mbre à membre; en posant
M = Ml -h M, -H . . . -h M„ ;
^oit que M ainsi défini est la solution de la relation (4) du n® 10, Z représente la force électromotrice donnée. En diOférentiant
3;6 CHAprniE nr.
par rapport au temps / les deux membres de (2), on obtienl pn cisémeol la relation 'i 1.
li. Emploi des graoïdeiirs imaginaires dans le calcul des co rants alternatifs. — Les calculs de Tîntensilé des couranb aile natifs, même dans le cas de circuits dérivés, prennent la forn simple des calculs des courants continus grâce à la considéralit de quelques grandeurs imaginaires. Le principe de cette méùko^ de calcul fort ingénieuse est du à TAméricain Proteus Sleinmc (1892).
Supposons uD réseau de conducteurs pourvus de self-inducli4 coupés ou non par des capacités, contenant des alternaleurs, av la restriction que tous les alternateurs ont même période 1/ (^mmc ci-dessus, nous admettons aussi que les coefficients * self-induction sont des constantes.
Considérons une des branches du réseau AB { fiff- 120) q^ nous supposons coupée par un condensateur de capacité C, ai deux armatures a et b duquel aboutissent des conducteurs A et B6, de résistances K| et R2, de coefficients de self-inductioo et L2 et contenant des forces électromotrices E| et £2.
Fig. lao.
Va
Va
Vb
En drsignanl à l'époque t par V^, V^, V^ et V^ les potentiels c points A, a^ b cl B et par I l'intensité du courant qui est la méi dans toute la branche AB, on a les relations
(') C'est le ciis \v plus habiluel, l'ensemble des circuits ne com prenant qo' seul élerlroiiiotour, ou un alternateur et un moteur syDchronCf formant 00 lai altomatcur rn upposilion avec le premier, mais ayant même période.
I.r cas (u'i le moteur ù courant alternatif serait asynchrone (voir b* 19) ^ aiubi exclu.
Ajoutons membre à membre et posons
IR = R, -h R, (résistance de AB), L = L| -J- Lj (coe/Jicienl de se if -induction de AB), E = El -+- E2 (force électromotrice de AB);
il vient
(3) L~4-RÏ = E-f-VA-Vu-(Va-V^).
En appelant M la charge de chaque armature en valeur absolue, on a
(4) M = G(Va-V6),
' dl
d^où, en remplaçant dans (3),
/ex . d^M dM M . -, -,
(6) L-^--hR^^-+ç=E + Va-V.,.
Remarquons que M représente aussi la quantité d'électricité qui a parcouru la branche AB depuis un temps convenablement choisi comme origine. Si la branche AB n'était pas coupée par un condensateur, nous aurions, comme il est facile de le voir, une relation qui ne différerait de (6) que par la suppression du
terme ^; c'est donc comme si nous avions un condensateur de
capacité infinie. Grâce à cette remarque, nous pouvons conserver ^ relation (6) dans les deux cas, quitte à faire G infini dans les '^sultats, si la branche n'est pas coupée par un condensateur.
Nous allons supposer maintenant que les forces électromotrices *^ii ides fonctions sinusoïdales du temps. Gomme plus haut, nous *^niènerons le cas où la force électromotrice est une fonction Périodique quelconque à ce cas simple. Soit donc
^7) E = A sin(w/ -j- a) avec w = -=^«
0 résulte de là que dans chaque branche du circuit, quand le '^gime permanent est atteint, les quantités d'électricité telles ^tieM et les potentiels tels que V^ ou Vg sont aussi des fonctions Sinusoïdales du temps de même période T que les alternateurs et,
par conséquent, de la forme K sin((i)^ + A*), car de pareilles fonctions satisfont à toutes les relations telles que la relation (6). On a, en particulier,
Va — Vd= m sin(w/ -^ ç).
Supposons maintenant une seconde expérience avec exactement le même système, mais dans laquelle tous les électromoteurs
sont en avance de phase de — sur l'expérience précédente pour les
temps /, que nous considérons comme égaux dans les deux expériences, de façon qu'on ait, en particulier, dans la seconde pour la force électromotrice E' du circuit AB
ir
E'=Asin(a)/-|-a-h- )=A cos(w/ -h a).
Il en résulte que, dans toutes les fonctions sinusoïdales du temps qui donnent les quantités d'électricité ou les potentiels, il y aura
la même avance de phase - et que partout les sinus seront rem-
placés par des cosinus. Désignons alors au temps / de la seconde expérience par M' la quantité d'électricité qui a traversé AB, par
I'= —f-- l'intensité du courant dans cette branche, par V^ cl VJ,
les potentiels en A et B; on a pour la même raison que ci-dessas
avec
Va — Vb = ucos(u)f -h ^).
Multiplions les deux membres de la relation (6) par l'imaginiire
/=V/— I et ajoutons membre à membre la relation (10) et la relation (6) ainsi modifiée; en posant
M'-i- /M, quantité d'électricité imaginaire, ciQ r/M' .^M
in t ensilé imagina ire.
di dt ' ' dt
K'-h i'E, force électromotrice imaginaire,
