V -h t V , potentiel im a g inaire
il vient
CXr, on a <i4) H = E'-htE = A[cos(to/-f-a)-htsin(w/-+-a)] = Ae^w'-^o^',
(i5) UA-UB=(V;^*VA)-(Vi+tVB) = Vi--Vi+*(VA-VB) <l*ouy en portant dans (i3),
dette relation est satisfaite par <i7> Q = Pec-'s
eo désignant par P une constante imaginaire, qu'on obtient en remplaçant Q par cette valeur dans (i6), ce qui donne
(i8> Pf — Lw* -+- Rw/-h p ) = Aea'-4- ac?^
Posons
(19) p = R-hïfLa) ;^ — j > résistance imaginaire,
il vient alors, d'après les trois dernières relations,
/ao> Q = = '
d'où
ri>*après les relations (14) et (i5), cette relation peut s'écrire
(lia) Jp = H-f-UA— Ub.
A^tïs\j il existe entre l'intensité imaginaire J, la force électrotrice imaginaire H, la différence de potentiel imaginaire U^ — Ub
28o CHAPITRE IV.
aux deux extrémités de la branche AB et sa résistance imaginaires la même relation qu'entre l'intensité I, la force électromotrice E, la différence de potentiel V^^ — \\ et la résistance R aux extrémités d'une branche d'un circuit dans le cas des courants contions : la relation (22) est la relation d'Ohm étendue aux courants allernatifs.
Remarquons que le module de la résistance imaginaire, étaDl
égal ài/R^-i- (Lci) — p— - j » est précisément Timpédance.
Il est très facile de montrer que les deux lois de KirchoGT établies pour les courants continus (T. I, Chapitre XI, n° 3 el n" 14) sont les mêmes pour les courants alternatifs à condition de considérer les quantités imaginaires correspondantes des quaolilés réelles.
En convenant de considérer comme affectées d'un certain signe les intensités des courants qui se dirigent vers un point de la bifurcation el comme affectées d'un signe contraire les intensités des courants qui s'en écartent, la première des lois de Kirchoff, qui s'applique aussi bien aux courants d'intensités variables qui ceux d'intensités constantes (Chapitre III, n** 12), donne
(23) d'où
et
C'est la première des relations de Kirchoff étendue aux courants
imaginaires. Pour obtenir la seconde, considérons un circuit fermé ABCD {Jiff- 121), en connection en A, B, C, D avec d'autres par-
u réseau. Appelons U^, Ub, U^, Un les potenliels imaginaires oints A, B, C, D; affectons des indices i, 2, 3, 4 l^s résis- 5, intensités de courant et forces éiectromotrices ima'ginaires ves aux quatre parties AB, BG, CD, DA, et écrivons pour ne d'elles la relation (22) ; il vient
J,p, = H|H- Ua — Ub, JsPî= H,-f- Ub— Uc, J8Ps= HjH- Uc— Ud, Jvp*= Hv-^Ud~ Ua,
mtant membre à membre ces relations, on obtient
2jp=2h.
a seconde relation de Kirchoff.
iquons maintenant quelques conséquences de ces relations, )ien en montrer l'usage.
•posons d'abord que les extrémités A et B de la branche lérée soient réunies entre elles, de façon à former un seul l, qui peut être coupé par un condensateur. On a alors Ub dans la relation (22), et celle-ci donne
I formule d'Ohm. En remplaçant H et p par leur valeur (i4) >, il vient
)ns
Lw — =—
Cl h)
l=^R.+ (Lu.-^y, cos8=«, sin8=^
il vient, d'après (28),
(3i) r-T-iI = :i e(»/-«-!x-5J',
ai.
d'où
r = —-cosdo/ -f- a — 0),
(32) I = •^sin(t»)/-h a — 0).
r ne diffère de I qu'en ce que sa phase est en avance de — Les
relations (3o) el (Sa) sont bien celles que noujs avons déjà trouvées plus haut (n* 9).
Remarquons que, si, dans une branche ouverte AB{Jig. iao)j nous n'avions pas de force électromotrice propre, mais que la différence de potentiel Uj^ — Un fût une fonction sinusoïdale do temps donnée par f/e^***'"*"?^', nous obtiendrions, d'après la relation (22), exactement le même résultat que dans le cas ducircml fermé que nous venons d'examiner.
Considérons plusieurs branches, en dérivation AC|B, ACjB, AC3B, etc. ijig' 122) sur un circuit principal DE; suppo-
sons toutes ces branches sans forces éleclromotrices propres (H, = H2= . . . == o); la relation (22) donne, en affectant «^ indices 1, 2, 3, ... les quantités relatives aux branches tu
(33) ^'a— U|t= JiPi = Jîpi = J3ps = ..-.
On a, du reste, en désignant par J l'intensité imaginaire courant dans le circuit principal DE,
J = J j -H J i -H Jj ~f" • • .
léduit de là
Vpi 9t ?3 / ^ " '
l'on compare cette relation à la relation (si2), on voit que ;emble des branches dérivées A C| B, AC2B, ... se comporte me une branche unique dépourvue de force électromotrice
la résistance imaginaire serait donnée par
'est encore là une relation identique à celle qui existe dans le les courants constants.
litre d'exemple, voici une application de la méthode de calcul keinmetz faite à un cas intéressant par M. Boucherot ('^). Le ositif indiqué par cet ingénieur permet de rendre pratiqueit l'intensité efficace du courant alternatif indépendante de la «lance et de la réactance de la branche de circuit siège de ce *ânt. On conçoit l'intérêt de ce dispositif, en particulier si la iche considérée contient des lampes à incandescence : pour idre une des lampes, on la mettra en court circuit, c'est-à-dire •n remplacera sa résistance par une résistance nulle et, comme ensité efficace ne sera pas sensiblement modifiée, il n'en résulaucun changement d'éclat pour les autres lampes. 3nsidérons un circuit contenant en A(Jig. 12'i) un alternateur brce éleclromolrice imaginaire H, en BC une bobine de selfiction, entre C et D un condensateur K, et plaçons en dérivasur les bornes de celui-ci un circuit CED, qui est la branche 30US allons chercher à rendre l'intensité efficace du courant fpendantede la résistance imaginaire. En attribuant les indices , 3 aux trois branches, comme l'indique la figure, ainsi qu'aux ideurs qui s'y rapportent, et avec les mêmes notations géné-
Celte relation cesserait d'élre exacte si les branches en dérivation étaient voisines pour pouvoir agir par inductions Tune sur l'autre.
I M. Boucherot a beaucoup contribué à montrer l'importance du rôle des
ensateurs dans l'usage des courants alternatifs.
x84 CHÂFirmE nr.
raies que ci-dessos, od a« d'après les lois de Rirchboff,
lye
J. = J,-r- Jï, Jj?î— Jl?l=0, Jl^l— Jîr2=B.
D'OÙ ToD lire
Four que l'iDleDsité imaginaire J3 soit indépendaDte de lare tance imaginaire p) du circuil correspondant* il faut el il si
Fig. ia3.
UiAM/
que Ton ait Oi -f-p2= o. C'est possible, au moins approximal menC, si la résistance du circuit ABCKDA est négligeable de
son inductance Lw et sa capacilance p— » et si, en outre, 0 donne
Lw»
d'où Lw — -pr- = o,
en désignant par C la capacité du condensateur K et par coefficient de self-induction du circuit CBAD, comprenant h nateur et la bobine BC. On a, en eflTet,
('^9) Pi=L(xiij
Pt
Go)
d'où p,-Hp,= (^Lto — ^jt
Oïl obtient exactement le même résultat en mettant le cire en dérivation sur les bornes de la bobine de self BC; la tion (3^) reste la môme, sauf que p2 représente alors la résis imaginaire de la bobine BC et pi celle du circuit (^IKDAB, c donne la môme condition (p, + p2=o) réalisée par les tions (38).
î^périence a montré à M. Boucherot la justesse de ses pré-
os.
) problème, dans le cas où les alternateurs, tout en ayant tous le période, auraient des forces électromotrices qui ne sont pas fonctions sinusoïdales du temps, se ramène au précédent en ant la marche indiquée au n® 11.
). Représentation géométrique des calculs précédents. — On que toute grandeur imaginaire 5 = a(cos a -|- / sin a) = e*'
se représenter dans le plan par une droite (vecteur) de lonir égale au module a faisant avec l'axe OX dans le sens trigoélrique un angle égal à l'argument a. En particulier, une itilé réelle se représente par une parallèle à l'axe OX menée
le sens positif, si elle est positive (a = o), dans le sens tif, si elle est négative (a = tt) ; une imaginaire de la forme bi présente par une parallèle à Taxe des OY (perpendiculaire
l) menée dans le sens positif si b est positif ( a = — j> dans le
négatif si b est négatif ( a = — J •
résulte de là que la somme de plusieurs grandeurs imaginaires î2> • ••? ^n (somme géométrique des vecteurs Zt^ Z2, • . ., z,,) îprésente par le vecteur qui ferme la ligne polygonale ayant ecteurs z^y Z2j • . ., 5„ pour côté et qui part de l'origine du lier vecteur pour aboutir à l'extrémité du dernier. Il en résulte ique le produit de plusieursquantités imaginaires z^^ z.y, ...,5« îprésente par un vecteur dont la longueur a est égale au prodes modules a^ , «2? * • "tCtn des facteurs et dont l'argument a ;gal à la somme des arguments ai, a2, . . . , a/i de ceux-ci. De 10, le quotient de deux grandeurs imaginaires z^ et z^ se ésente par un vecteur de longueur a égale au quotient des ules «1 et «2 des deux termes et dont l'argument a est la diface des arguments ai et aa de ceux-ci.
es lors, on conçoit qu'il soit facile d'effectuer par une construcgéométrique les divers calculs exposés plus haut (n** 12). e représentation graphique est très employée par les pertes qui ont constamment à étudier les courants alternatifs; [u'on en a pris l'habitude, on peut même faire mentalement
CRAPITRK IT.
CCS conslruclions et trouver ainsi le résultat dans les cas simples. Prenons comme exemple cehi! d'un circuit non bifurqué contenant un alternateur, ayant une résistance ainsi qu'une self-iodnction notables et coupé par un condensateur. Avec les mêmes
notations que ci-dessus, Tintensité imaginaire J est donnée par
J =— • Si nous prenons l'origine des temps de façon que la phase
initiale soit nulle pour la force électromotrice de ralternateur, celle-ci étant donnée par Asinco/, nous avons H = Ae^';en menant une droite Oa (Jlg, 124) de longueur A, c'est-à-dire,
Fi g. 124-
d'une longueur égale à la force électromotrice maximum, faisaol un angle mt avec l'axe OX, nous représentons II. Pour représenter p = R -h f L(o — -çT- ) «, nous portons d'abord sur OX une
longueur O/* égale à la résistance t*R ; par le point r, nous menons une parallèle /*/ à OY dans le sens positif égale à rinductanceLii), oc qui représente Ltot; puis de / parallèlement à OY, mais dans le sens négatif, nous menons la longueur le égale à la capaci-
tance V,— * ce qui représente — t,— ; la droite O^ représente la
résistance imaginaire, et sa longueur l'impédance. Menons une droite Oy faisant avec Oa dans le sens négatif Tangle cOr = o
et de longueur égale au quotient j--\ cette droite représente l'intensité imaginaire du courant au temps / et sa longueur Oyl» valeur maximum de l'intensité du courant alternatif.
On voit que l'angle w^ variant proportionnellement au temp*,
recteur Oa, qui représente la force éleclromotrice imaginaire, irne avec la vitesse constante co, en conservant la même lonîw; le vecteur Oy, qui représente l'intensité imaginaire du rrant, loarne avec la même vitesse dans le même sens, en convan t aussi une longueur constante, et, par conséquent, en tant en arrière de O a de l'angle constant du décalage 8, égal à igle cOr de la résistance imaginaire avec l'axe OX. )ur le graphique, le résultat de la discussion de ce cas, que 3S avons déjà faite plus haut, saute aux yeux : Pour une résisice donnée O/*, l'intensité maximum Oy est la plus grande posle, si Oc est minimum, c'est-à-dire se réduit à Or; ceci a lieu
r/= /c, c'est-à-dire si Lco = 7^ — ; en ce cas, Tanorle cOr étant
I, il n'y a pas de différence de phase entre le courant alternatif la force électromotrice de ralterneteur, Oy étant dirigé ivanl Oa.
Pour terminer, voici une remarque d'une application contielle. Soit une fonction sinusoïdale du temps j^ = A sin(ci)^-|- a); dérivée par rapport au temps est j^:= Aw cos (w^ -f- a); ce qui
ut s*écrire^= A(o sin ( (o^ -f- a + - j' On voit que la dérivée en avance de phase de - sur la fonction; le vecteur qui repré-
lie la dérivée est donc à angle droit en avant du vecteur qui )résente la fonction (*).
14. Puissance des alternateurs. — Désignons par E la force ctroraotrice d'un alternateur au temps / et par I l'intensité du irantà ce moment. Pendant le temps dt l'énergie fournie par
ternateur est EIrf<; pendant une période elle est / El rf/;
y a /î périodes par seconde, l'énergie P fournie pendant ce ps est :
P = n I El dt = ^ J Eldt it la puissance de l'alternateur.
Ces constructions géométriques peuvent élre présentées, sans faire appel à Lion d'imaginaire; mais Texposé est moins simple.
Supposons la force clectromolrice sinusoïdale; en choisissaot convenablement l'origine du temps, on peut la mettre sous h forme E = A sin w^; le courant qui en résulte est alors, en régime permanent, de la forme 1 = B sin (co^ — 5). En remplaçant dans (i), il vient :
(2) F = XB ~ r s\ntùtsmitsit — ^)dt ou en développant :
P = AB cos 8 = / s'in^vj tdt — sin 8 = / sin ait cos (a tdl
La deuxième intégrale est nulle; car c'est
— 7 COS 2 W n = — - C.OS -=- I = O.
Quant à la première, elle est égale à -; de sorte qu'on a:
(3) P = - AB COS 0 = -— - - COS 0 = C^ cos 8.
La puissance d'un alternateur est donc égale au produit de IV lensilé efficace -5 par la force élcctromolrice efficace L et park cosinus de la différence de phase o existant entre rinlcnsilédo courant et la force élcctromolrice de l'alternateur.
Considérons les deux cas extrêmes :
1*^ Le circuit comprend une capacité, qui est réglée de fsÇ^** que la capacitance égale l'inductance; dans ce cas, comme no«> Tavons vu, on a cos 3 := i , et la puissance de l'électronioteur ^'^ maximum, par rapport à la différence de phase;
:>." Il n'y a pas de capacité dans le circuit et l'inductance ^^ Jurande vis-à-vis de la résistance R; dans ce cas, l'impcdancc
est grande aussi vis-à-vis de la résistance, et comme cos o=^ ^' la puissance est faible (*).
(') Dans le calcul des courants alternatifs parles imagioaires, on pcullroo** de la furon suivante la valeur de la puissance. Soit II la force élcctromotrice imaginaire correspondant à la force éicciro'
5. Transport de l'énergie par les courants alternatifs. — idanl longtemps, on n'a pas employé les courants alternatifs ir le transport électrique du travail, faute d'avoir des récepes convenables. Aujourd'hui, au contraire, le transport élec- [ue du travail se fait le plus souvent par courants alternatifs. ]omme réceptrice, on peut se servir d'une dynamo Gramme à irants continus, excitée en série. Dans le fonctionnement de te machine comme moteur au moyen d'un courant continu, le s de la rotation ne change pas avec le sens du courant; cela fit à ce que celui-ci étant renversé à la fois dans l'anneau et isles électro-aimants, le champ magnétique est renversé aussi même temps que le sens du courant dans l'anneau. On corn- ;nd, dès lors, que cette machine puisse être mise en mouvement rotation continue par des courants alternatifs. Mais ce genre de réceptrice présente des inconvénients. En 3mier lieu, le courant alternatif en passant dans les spires des ictro-aimants provoque une self-induction considérable : l'inclance est énorme et il faut disposer d'une grande force élec- )motrice pour obtenir un effet marqué. En second lieu, le fer
(trice réelle E = A sin u^; on a :
I H = A (co8(i)i-+- t sin w/ ) = Ac'*»*.
De même, soit J l'intensité imaginaire correspondant à l'intensité réelle = Bsin (ti)^ — 5) ; on a :
') J = B [cos(w/ — 8)-t- tsin(a)r — 6)]= BcC*'"*).
Changeons l'imaginaire i en — i dans l'expression de J ; on a :
J) J'= Bc-'>'-*).
donnons le produit de H par J'; il vient:
i) HJ' = AB c+»* = AB ( cos 0 -4- t sin 6 ).
^^ Toit que la partie réelle ( ABcos S) de HJ' est égale au double de la puis- *Qce P de Talternateur; on a donc:
^) 2 P = partie réelle de HJ'.
On démontrerait de même que l'on a aussi :
6) 2 P — partie réelle de H'J
» désignant par H' ce que devient H quand on change i en — i. Ces remarques sont souvent utiles.
