IX

Pour avoir la résultante des deux forces égales, obtenues précédemment, il suffit de ne considérer que la projection de l'une d'elles sur AY et de doubler le résultat. On a donc

df = 9.c{/*jsina, ou, en remplaçant df.^ et sina par leurs valeurs,

'>.q^x dx dz z

df^'X

c'est-à-dire

, ^ •>. <7 (Te dx dz (6) df= ' ^, •

On a, de plus, r^ = ^2 4 ^2 | relation qui se réduit à

/-« = x^-^- z^^ en remarquant que ^ est un infiniment petit. Par

suite on a

Remplaçons r^ par cette valeur dans Texpression de df] il vient

Pour avoir sur le point A Taction totale du feuillet, dont on a pris quatre parties symétriques, il sufGt d'intégrer Fexpression précédente pour la moitié d'une des faces du feuillet, puisque toutes les résultantes partielles, étant dirigées suivant AY, s'ajoutent simplement. On a ainsi

/=2y£ij / dx I j,

ce qui se réduit à

en désignant par a la distance du poinl A à la droite PQ. Or le produit ea n'est autre que la puissance i du feuillet. On a donc

Pour avoir l'intensité du champ en A, on sait qu'il suffit de

f former la quantité 3C = — • On a, par suite,

En résumé, un courant rectiligne indéfini, fermé au moyen d'un circuit dont tous les points sont à l'infini, donne, en un point A quelconque, un champ dont la direction est perpendiculaire au plan déterminé par le point A et par le courant dont le sens est 'dirigé vers la gauche de l'observateur d'Ampère, lorsque celui-ci regarde le point A, et enfin dont la valeur est

égale à — » 2 étant l'intensité électromagnétique du courant et a

étant la distance du point A au courant (*).

(^) On verra plus tard (Chap. II, n" 10) comment ce résultat a été vérifié par Texpérience.

ëlectrodtnamique. 45

16. Travail de la force agissant sur un point magnétique. — Dans le but d'établir plusieurs propriétés importantes et, en particulier, d'arrriver à la notion de potentiel magnétique, nous allons évaluer le travail mécanique de la force agissant sur un point M chargé d'une quantité q de magnétisme quand celui-ci se déplace dans le champ magnétique produit par un ou plusieurs courants fermés.

Supposons qu'on fasse voyager le point M chargé d'une quantité q de magnétisme nord en l'amenant d'un point Ai du champ à un point A2, suivant une certaine trajectoire. Nous supposerons en premier lieu que la trajectoire A| A2 n'enlace (*) aucun courant. Nous pouvons remplacer tous les courants donnés par leurs feuillets équivalents et disposer ceuï-ci de façon qu'aucun ne soit coupé par la trajectoire A1A2. Nous n'aurons ainsi qu'à considérer les actions magnétiques s'exerçant entre une certaine distribution de points magnétiques et le point M.

Plaçons-nous d'abord dans le cas simple où un seul point magnétique, que nous désignerons par B, agit sur le point M. Sur la trajectoire A|Aa(yî^. 18) prenons un élément CD et calculons le travail élémentaire correspondant au déplacement du point M pour aller de G en D. Soit Q la quantité de magnétisme du point B; il s'exerce entre les deux points M et B une force

répulsive si le point B est chargé de magnétisme nord.

Lorsque le point M est arrivé en D, la distance des deux points AI et B, qui était primitivement égale à r, est devenue égale à r -h dr. Le travail rfW correspondant au déplacement CD s'exprime faci-

( » ) Nous dirons qu'une trajectoire, ouverte ou fermée, n'enlace pas un circuit quand on peut mener une surface s'appuyant sur le contour du circuit qui n'est pas coupé par cette trajectoire.

Nous dirons qu'une trajectoire, ouverte ou fermée, enlace n fois un circuit, lorsqu'on peut mener une surface s'appuyant sur le contour du circuit qui est rencontré n fois par la trajectoire et qu'aucune surface s'appuyant sur le contour du circuit n'est rencontrée moins de n fois par la trajectoire.

Les surfaces considérées' ici sont précisément celles qui peuvent servir à former le feuillet magnétique équivalent au courant.

46 oLàFinx r.

lement en fonction de r et de sa différentielle. Eo effets abaissons du point D la perpendiculaire DE sur la direction BC; on a

d^ =/x CE.

Or, les denx distances BD et BE^ dont Tone est la projecdon de

- Fiç. I?.

< wV^

Tautre par un angle infiniment petit DBE, ne diffèrent que d^un infiniment petit du deuxième ordre, négligeable devant ceux du premier: aussi, avons-nous

BE = r -T- dr. doù CE = BE — BC = Jr. L'expression du travail élémentaire deWenl alors

dW =/dr = qq^>

Pour obtenir le travail total correspondant au déplacement A| A^ du point M, il suffit d'intégrer l'expression de dW entre les limites /*, et Ta, en posant BA| = /*, et BA2= r^. On a ainsi

,v = ,,('- =«,iJ.-l).

f>)nsidéron5, en particulier, le cas où le point A3 est à une distance infinie du point B. Il suffit de faire dans la formule cidessiis r2=x; Texpression du travail devient alors (en remplaçant /'t par r j

ÉLECTRODYNAMIQIE. 47

Celte formule est exacte, quelle que soit la trajectoire décrite par le point M, pour aller d'un point, distant de r du point B, à Finfini.

Jusqu'ici, nous avons supposé que Q représentait une certaine quantité de magnétisme nord; si, au contraire, cette lettre désignait une égale quantité de magnétisme sud, les forces magnétiques seraient à chaque instant les mêmes en valeur absolue, mais seraient changées de sens : par suite, le travail élémentaire, de même que le travail total, serait changé de signe. On aurait alors

Les deux formules (2) et (3) peuvent être réduites à une seule, la première, par des conventions de signes : il suffit de regarder une quantité de magnétisme nord comme une grandeur positive et uue quantité de magnétisme sud comme une grandeur négative ; car alors, si Q est positif (magnétisme nord), on voit que W est positif et, si Q est négatif (magnétisme sud), West négatif. C'est ce que nous ferons toujours dorénavant.

Abordons maintenant le problème dans sa généralité, en supposant qu'au lieu d'un seul point magnétique B, on ait un certain nombre de points magnétiques B^, B2, B3 ..., dont l'ensemble constitue un ou plusieurs feuillets magnétiques, ces points étant respectivement chargés de quantités de magnétisme Qi, Q2, Qs, - . ., agissant sur le point M; calculons le travail produit par toutes les forces émanant des points magnétiques, lorsque le point M voyage à partir d'un point initial A jusqu'à Tinfini.

Chaque point magnétique B, pris isolément, donne lieu à une force agissant sur M dont le travail est donné par l'expression que nous venons de calculer : le travail correspondant au point B|

est q — 1 celui qui correspond au point Ba est q -^^ etc., /'i, r^. ...,

étant la distance des points B<, B2, ..., au point A. Le travail W de la force résultante, c'est-à-dire des actions de toutes les parties du champ, sur le point mobile M est la somme des travaux précédents, ce qui donne

Revenons maintenant au cas d^un seul point magnétique B, agissant sur le point M, dont la trajectoire est AiAj, et supposons que cette trajectoire soit une courbe fermée ; alors le point As se confond avec le point A| et les deux distances r^ et r^ delà

formule W = Qq ( -^ [-j sont égales, de sorte que l'expression

du travail se réduit a

Ce résultat est d'ailleurs plus général et convient aussi, lorsque le champ est produit par l'ensemble des points magnétiques B,, B2) B3, ..., constituant un ou plusieurs feuillets; en effet, le Iravail de la résultante des actions magnétiques sur M est duI, puisqu*il est égal à la somme des travaux des composantes, lesquels sont chacun nuls.

Ainsi, quand la trajectoire fermée décrite par le point M n'enlace aucun courant, le travail de la force magnétique agissant sur M est nul, lorsque ce point est revenu à son point de départ.

Abordons maintenant le cas où la trajectoire fermée, décrite par le point M, enlace un ou plusieurs courants. On ne peut plus alors appuyer sur le contour de ceux-ci des feuillets qui ne soienl pas rencontrés par la trajectoire du point M; or, pour la portion de la trajectoire de M comprise entre les deux faces du feuillet, il n\ a plus équivalence, comme nous le savons (n° 12), entre les ell'ets du feuillet et celui du courant correspondant. Les raisonnements ci-dessus ne s'appliquent donc plus, et il faut voir autrement quel est le travail produit par la force magnétique agissant sur le point M.

Considérons d'abord le cas d'un courant rectiligne indéfini, fermé par un circuit à Tinfini, le point M décrivant un cercle complet de rayon a dans un plan perpendiculaire au courant recliligne et dont le centre O est la trace du courant sur ce plan < AcT. Kj)' Supposons, en premier lieu, que le point M se déplace de la droite vers la gauche de l'observateur dWmpère, c'est-à-dire dans le sens du champ.

La force agissant sur le point M a pour valeur (n** 15)

ÊLBCTRODTNAMIQUE. 49

delte force, constante en grandeur, est à chaque instant tangente ai la trajectoire; par conséquent, le travail W, correspondant à un

tour complet du point M sur la circonférence de rayon a, esl donné par l'expression

W = f'nza = q — 'xr.a = qAizL

Remarquons que le rayon a de la circonférence disparaît dans l'expression de W; par conséquent, lorsque ce rayon est infiniment petit, le travail reste encore le même.

Nous sommes ainsi conduits à généraliser ce qui précède. Considérons, en effet, un courant de forme quelconque; menons, en un point du courant, un plan normal à sa direction; supposons, comme plus haut, un point chargé d'une quantité q de magnétisme nord, décrivant dans le plan normal un cercle de rayon infiniment petit, ayant pour centre la trace du courant sur le plan et de droite à gauche pour l'observateur d'Ampère. Dans ce cas encore, le travail est représenté par q /Jt:/; car, vis-à-vis du ravon infiniment petit du cercle décrit par M, la portion voisine du courant doit être considérée comme un courant rcctiligne indéfini, fermé par un circuit à Tinfini du point M.

Nous avons envisagé le travail dû au déplacement du |)oint M

vers la gauche de l'observateur d'Ampère, c'est-à-dire dans le sens

de la force: le travail est alors positif. On peut voir, en outre,

que le feuillet équivalent au courant fermé est rencontré |)ar le

iO CHAPITRE I.

point M dans son déplacemenl, d^abord par sa face sud el ensuite par sa face nord. Inversement, si le point avait décrit le cercle en sens contraire, le travail aurait été donné par l'expression

( 6 ) W = — q .^"zi.

Ainsi, lorsque le point mobile rencontre d*abord la face nord du feuillet, le travail correspondant est négatif.

Considérons maintenant le cas plus général où la trajectoire fermée ABC {^/ig* 20), décrite par le point M, a une forme quelconque et où, pour plus de simplicité, nous supposons qu'elle n'enlace qu'un seul courant PQRS et une seule fois. Pour ramener ce cas au précédent, décrivons un cercle DEF de rayon

Fi g. 20.

infiniment petit dans un plan perpendiculaire en un point du courant PQRS el ayant pour centre la trace du courant sur le plan. Faisons, dans ce cercle, une interruption DF infiniment petite par rapport à la longueur de sa circonférence; faisons de même une interruption infiniment petite CA dans la trajectoire donnée; relions C et D ainsi que A el F par deux lignes CD et FA infiniment voisines; enfin supposons que le point magnétique M décrive la trajectoire fermée ABCDEFA, suivant le sens des flèches. Dans la portion ABC, la force magnétique accomplit un certain travail W qui, à un infiniment petit près, est le travail cherché ; représentons respectivement par Wo W et W2 les Iravaux accomplis par la force magnétique pendant les trajets CD, DEF et FA; le travail total, quand le point M sera revenu en A,

ÉLECTRODYNAMlQUi:. 5l

est ainsi Wh- W| -h W'-h W2. Or, ce travail total est nul, puisque la trajectoire ABCDEFA n'enlace pas le courant PQRS (on peut mener une surface s'appujant sur le contour du circuit et passant entre les deux lignes FA. et DC, de façon à ne pas couper la trajectoire ABCDEFA) :

D^autre part) les deux parties CD et FA étant infiniment voisiues et parcourues en sens inverse, on a

il en résulte que

Or, à un infiniment petit près, W représente le travail de la force magnétique quand M décrit un cercle autour du courant dans les conditions rappelées ci-dessus, et nous venons de voir que W a pour expression, en remarquant que le point M rencontre d^abord la face nord du feuillet équivalent,

q étant la quantité de magnétisme de M et { l'intensité du courant. On a donc

iii) W — <7.4t:i.

Ainsi, ce résultat, que nous avons obtenu dans le cas particulier où le point magnétique décrit un cercle infiniment petit autour du courant, est général et s'applique sans changement au cas où la trajectoire de M enlaçant le courant a une forme quelconque ABC. Dans le cas supposé, M a rencontré, dans son mouvement, d'abord la face sud du feuillet équivalent au courant; dans le cas inverse, où il rencontrerait d'abord la face nord, on obtiendrait par la même démonstration

ivx) W = — <7 . 4 " « .

Si la trajectoire du point M enlace n fois le courant, une démonstration calquée sur la précédente, et que la figure 21 suffit à

faire comprendre, montre que l'on a

(i3) W =d=ç.4it/ii,

le signe -f- ou le signe — devant être pris suivant que c'est la fac^ sud ou la face nord du feuillet équivalent qui est rencontrée d'abord par le point M.

Fig. 21.

Enfin, on démontrerait encore de même que si la trajectoire décrite par M enlaçait /2| fois un courant d'intensité i|, n^ fois nn courant d'intensité Z^? '^3 fois un courant d'intensité i^, etc., on aurait

(i4) VV = q(±: fiT.niii± ir.niii-± 4r/iji3±:.. .).

Cette formule représente le travail dans le cas d'une trajectoire fermée en toute généralité; en particulier, si la trajectoire n'enlace aucun courant, elle donne W =: o, conformément à ce que nous avons établi tout d'abord.

17. Potentiel magnétique. — Le travail W de la force qui agit sur un point M chargé d'une quantité q de magnétisme nord est proportionnel à cette quantité gr, puisque, en chaque point de la trajectoire, la force magnétique est proportionnelle à q. Il en

résulte que le quotient — est indépendant de q. C'est ce quo-

tient — j quand le point M va d'un certain point A du champ à

ÉLBCTRODTNAMIQUE. 53

l'infini, qu'on appelle le potentiel magnétique du point A. En le désignant par V, on a donc par défînition

Nous allons montrer, en effet, que ce quotient — ne dépend

pas de la trajectoire parcourue, mais seulement du nombre de fois qu'elle enlace (*) chacun des courants qui produisent le champ; mais il dépend essentiellement de la position du point A dans le champ et en est ainsi une caractéristique.

Supposons d'abord que la trajectoire de M, pour aller de A à l'infini, n'enlace aucun courant. Nous avons vu [n® 16, form. (4)]> que ce travail est donné par

d'où, pour le potentiel V du point A,

Rappelons que Q représente la charge magnétique d'un point B situé à une distance r du point A, que Q est positif si B est chargé de magnétisme nord et négatif si B est chargé de magnétisme sud. On voit par la relation (2) que le potentiel V de A ne dépend pas de la trajectoire employée par M pour aller de A à Tinfîni.

Considérons maintenant le cas où le point M va de A à Tinfini par une trajectoire enlaçant /ii fois un courant d'intensité /< , /J2 fois un courant d'intensité /o, n^ fois un courant d'intensilé Z^, etc., et appelons W le travail de la force magnétique agissant sur M pendant le parcours de cette trajectoire, que nous appellerons trajectoire n^ 1. Faisons revenir le point M de Tinfîni en A par une autre trajectoire n** 2 qui n'enlace aucun courant, et soit — W le travail de la force magnétique pour cette trajectoire, W étant le travail si, pour la même trajectoire, M était allé de A à l'infini. L'ensemble des deux trajectoires n<* 1 et n° 2 constitue une trajectoire fermée pour laquelle on a [n*^ 16, form. (i4)l

( * ) Voir la noie de la page 43.

j4 chapitre I.

ou, en divisant par q les deux membres et en appelant V=:-

le potentiel de A relatif à la trajectoire n"* 1 et V'= — le potentiel de A relatif à la trajectoire exactement inverse de la trajectoire n** 2, on a

(j ) V — V -— =^- 4 TC /i, / , r- 4 t: /i2 /j d: 4 TU «3 1*3 rh . . . ,

OU enfin, en remplaçant V par sa valeur donnée par la relation (2),

(4) V r=\^ -^ dz ^Tzn^ii :i= 47c /ijijd:: ^Tzn^i\±i. . .

qui est Texpression la plus générale du potentiel V d'un point do champ.

On voit, conformément à ce que nous avons dit ci-dessus, que ce potentiel ne dépend pas de la forme de la trajectoire de M pour aller de A à Tinfini, mais seulement du nombre de fois (/ii, /la, n^, ...) qu'elle enlace les courants (d'intensités i|, ^'21 <)*•••) qui produisent le champ.

Nous appellerons trajectoires équivalentes les trajectoires qui enlacent le même nombre de fois dans le même sens les mêmes courants. 11 résulte de la relation (4) que, pour toutes les trajectoires équivalentes allant d'un point A à l'infini, le potentiel du point A est le même.

Parmi les valeurs multiples du potentiel en un même point A^ nous appellerons valeur la plus simple celle qui correspond à une trajectoire allant de A à l'infini sans enlacer aucun courant; celle, par conséquent, qui est donnée par

Ainsi, contrairement à ce qui a lieu pour le potentiel du champ ncwtonien ou pour le potentiel électrostatique, le potentiel magnétique possède pour un même point des valeurs multiples. C'est là une complication plus apparente que réelle. En effet, d'après la nature même du problème, on ne peut utiliser la notion de potentiel qu'en indiquant le nombre et l'intensité des courants qu'enlace la trajectoire que l'on adopte pour aller d'un point à un autre du champ; ce qui fait que si l'on a choisi, arbitrairement ou non,

ÉLECTRODYNAMIQUE. 55

parmi les valeurs multiples du potentiel du point de départ Aj, Tune d'entre elles, la valeur du potentiel que l'on doit prendre pour le point d'arrivée Aj est déterminée sans ambiguïté.

En particulier, si les deux points iV| et A2 considérés sont infioinnent voisins, nous ferons toujours la convention de prendre, pour aller de l'un à l'autre, une trajectoire infîniment courte n'enlaçant aucun courant; dès lors, le potentiel de A2 ne diOTérera qu'infiniment peu du potentiel de A| ; autrement dit, le potentiel sera une fonction continue des coordonnées des points du champ.

18. Expression du travail de la force magnétique au moyen de la. différence de potentiel. — Supposons qu'un point M chargé d'une quantité q de magnétisme nord aille d'un point Aj du champ à un point A2 par une trajectoire enlaçant ou non plusieurs courants et que nous appellerons trajectoire n^ \\ soit W le travail de la force magnétique dans ce trajet; faisons ensuite voyager le point M de A2 à l'infini par une trajectoire n® 2 qui n'enlace aucun courant. En désignant par V| le potentiel de Aj pour toute trajectoire équivalente à l'ensemble des trajectoires n" 1 et n® 2 et par Vo le potentiel de A2 pour toute trajectoire équivalente à la trajectoire n'^li, il résulte de la définition même du potentiel :

V|— V2 a la même valeur pour toutes les trajectoires équivalentes à la trajectoire n® 1 : c'est la différence de potentiel pour ces trajectoires équivalentes.

D'après la relation que nous avons vue plus haut [n** 17, formule (4)], la relation (i) prend la forme

en désignant par \^ —9 \^ — les valeurs de \] — relatives aux

points A| et A, et par t'i, {'27 • • • les intensités des courants enlacés /i|, AZ2, •• • fois par les trajectoires équivalentes à la trajectoire n** 1.

En particulier, si le point A2 se confond avec le point A|,

c'esl-à-dire si le point M décrit une trajectoire fermée, on a

et la relation (2) devient identique à la relation que nous avons établie directement plus haut [n^ 16, formule (14)]) comme cela doit être.

Faisons remarquer enfin que, si le point M est chargé de magnétisme sud au lieu de magnétisme nord, les relations (i) el (2) restent exactes. En effet, il est évident que la valeur absolue de W reste la même pour nne même valeur absolue de q^ et que, si q devient négatif, il en est de même de W.