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les transporte sur ce point. Nous sommes donc autorisés à égaler à zéro la somme de leurs projections sur Taxe de la voie. DésignonSy à cet effet, par T la force motrice (qui comprend l'action impulsive du moteur, et la composante tangentielle de la gravité), et par T,, T,, T,, T^, les composantes tangentielles de Taction exercée par les rails sur la jante des quatre roues. On aura ainsi :

Considérons maintenant un second système matériel, en supprimant, dans le précédent, tous les organes tournants, et nous bornant à la partie qui est animée d'un moirmnent de translation, savoir : la caisse et le chargement. Soient P son poids total, et P^, P,, F,, P^, les composantes verticales des réactions développées dans les boites à graisse. On pourra écrire, en raison de la translatkia rectiligne et uniforme, Téquation de projections verticales :

P^ + P, + Pj + P* — P = 0,

en y négligeant la projection verticale des cinq forces qui figurent

dans l'équation (1), et qui sont dirigées suivant une droite inclinée de quelques millièmes seulement (*).

595 — Envisageons enfin, comme troisième système matériel, l'une des roues, prise isolément (fig. 403) et supposée, pour fixer les idées, folle sur son esp. ,^, sieu (*). Son mouvement absolu

Fig. 403. ^ '

(') En effet» Terreur ainsi commise ne sert que de quelques millièmes de ces forces, beaucoup moindres elles-mêmes que celles qui tigurent déjà dans l'équation (2), car la traction ne doit éti*e qu'une Taible fraction du poids transporté.

(') Nous verrons plus loin (n* 617) le moyen très simple d'étendre ces considéraUons au cas où les roues sont, deux par deux, solidaires avec leur essieu.

CHEMmS DE F£R DE MINES. 671

peut se décomposer géométriquement en deux autres, savoir : le mouvement d'entraînement de la caisse , et une rotation uniforme autour de son axe, fixé à cette caisse. Pour l'étude dynamique de ce mouvement relatif, on doit, d'après un théorème général, adjoindre aux forces réelles la force centrifuge composée et la force d'inertie d'entrainement. Mais, dans le cas actuel, Tune et Tautre sont identiquement nulles, puisque le mouvement d'entrainement est une translation rectiligne et uniforme.

Quant aux forces réelles, il en existe trois, à savoir : le poids xi^ de la roue et l'action des deux corps avec lesquels elle se trouve en contact : le rail et là fusée de l'essieu. Le centre de gravité de la roue étant situé sur l'axe, et, par conséquent, en repos relatif, les forces extérieures doivent se faire équilibre, si on les y transporte par la pensée. On aura donc, d'une part, l'équation de projections verticales :

(3) N, = P, + vt,,

si N^ marque la réaction normale du rail, que nous pouvons confondre avec sa composante verticale; en second lieu, une équation de projections sur l'axe de la voie. Comme celle du poids vi^ peut y être négligée, cette relation exigera l'égalité de la composante tangentielle Tj de l'action du rail, et de celle de la force de traction transmise à la roue par la fusée. Puisque, du reste, la traction est nécessairement une faible fraction de la charge, on voit par là que T, est d'une valeur très inférieure à celle des forces verticales, telles que Pj. Cependant nous ne pouvons négliger indistinctement ces forces tangentielles, sans nous rendre comnle, au préalable, de la manière dont elles interviennent dans l'équation du mouvement de la roue.

Ce mouvement étant une rotation uniforme, nous devons égaler à zéro la somme des moments de toutes les forces par rapport à l'axe. Le poids vi^ en disparait de lui-même, puisqu'il est appliqué au centre de gravité, qui est situé sur l'axe. L'action tangentielle Tj du rail a pour bras de levier le rayon R de la roue* et pour moment :

La composante de T^ction de la fusée, parallèle et égale à T,, ayant pour bras de levier une fraction seulement du rayon r de la fusée, lequel est très inférieur à R, son moment pourra être négligé devant le précédent. Ce dernier ne saurait d'ailleurs disparaître lui-même devant le moment de la composante verticaje Pi, bien que T« soit très faible en comparaison, attendu qu*une disproportion analogue, mais inverse, existe entre le bras de levier R de Tj et celui de Pi qui est encore une fraction de r.

Pour évaluer ce moment, remarquons que Pi forme maintenant Faction totale de l'essieu, puisque nous avons négligé sa seconde composante. Décomposons de nouveau cette force, suivant la tangente et la normale de la circonférence de la fusée. Cette dernière composante, rencontrant Taxe, n'a pas de moment. La composante tangentielle a pour valeur, d'après la théorie du frottement (*) :

Pi;

mais nous pouvons la réduire à la forme plus simple :

fPv En effet, l'erreur relative ainsi commise a pour expression :

Or, on peut admettre pour /*la valeur (')

et, dès lors, cette erreur relative devient 577^:, ce qui excède évi-

demment beaucoup le degré de précision dont on pourrait répondre, pour la réalisation de la pente qu'il s'agit de calculer. Le bras de

(*) Haton de la Goupillière, Traité de» micanUme»^ 359.

(*) >Yood, Traité de» chemin» de fer^ 132. — Couche, Voie, matériel rouUaU d exploitation technique de» chemin» de fer, IHi 609.

levier de cette composante tangentielle étant d*aiileurs r, nous aurons définitivenient, pour le moment total de Taction de la fusée :

Quant à la réaction normale N^ du rail, la théorie de la résistance au roulement nous apprend qu'elle doit être envisagée comme passant eu avant du point de contact géométrique, à une distance a, doublement spécifique. On peut admettre, d'ailleurs, pour le roulement de fonte sur fer (^) :

Le moment de cette réaction sera donc N^a, ou, d'après Téquation (5) :

(8) (P, -h vi^)a.

Si donc nous réunissons maintenant les valeurs (4), (6), (8), des moments de ces diverses forces, l'équation se posera de la manière suivante : ,

TjR — fP^r — (Pj 4- vii)a = 0.

On en tire :

Imaginons maintenant que Ton reproduise le même raisonne-

(*] Wood, loeo eitato^ p. 115. — Couche, loco citato, HI, 006.

Cette valeur, applicable aux chemins de fer è vapeur, devrait sans doute être augmentée dans rintérieiir des mines, pour tenir compte de la diminution du rayon et de l'état des rails. Mais comme, en même tetnps, la vitesse est incomparablement moindre, et que, dès lors, certaines résistances qui dépendent de son carré dans les expériences de ^ood deviennent inappréciables, nous conserverons la même valeur, mais en la considérant comme un minimum. C'est, sans doute, en raison de sa petitesse, que les auteurs qui ont traité la question des pentes dans les mines, ont omis d'en tenir compte. Mais, en réalité, a est du môme ordre de grandeur que /r, et cette correction nous a paru indispensable.

ment pour chacune des trois autres roues, en remplaçant l'indice 1 successivement par les indices 2, 3, 4; et ajoutons membre à membre les quatre formules ainsi obtenues. 11 viendra par là :

T,^-T,+T,^-T,===(^4-,aVP4^-P.^-P,+P*)^-a(Irf,4-tiJ, + t;J5+^J•

Nous représenterons par xS le poids total de la partie tournante. Si, en outre, nous nous reportons aux relations (1) et (2), celte dernière équation deviendra :

P + arf.

596 — Il convient actuellement de mettre en évidence la composition des forces P et T. Désignons, à cet effet, par p la charge utile, c'est-à-dire le poids du minerai transporté, en appelant s et p les rapports à cette charge, des deux parties du poids mort, à savoir : la portion en translation, et la partie tournante. Ces coefficients formeront les deux caractéristiques du matériel roulant que l'on emploie. Quoique variables d'une mine à l'autre, ils s'écartent beaucoup moins, en général, d'une certaine moyenne, que les poids eux-mômes, qui peuvent changer dans une très large proportion. Avec ces notations, on pourra écrire :

(H) P = p (1 + a), Vi = pp.

Quant à la force motrice T, nous y devons distinguer l'action impulsive F, directement appliquée par le moteur, homme (') ou cheval, et, en outre, la composante tangentielle de la gravité. Comme la pesanteur agit sur tout l'ensemble p (1 + a -f- p), si nous appelons i l'inclinaison de la voie, cette composante aura pour valeur p (1 -h a -h p) sin i, ou, plus simplement : p (1 4- a + P) t (*)•

[') L'ouvrier employé à ce service est appelé rouleur^ kerêcheur, hienehatr. wlonevr,

0 En effet, l'erreur absolue ainsi commise étant inférieure à -?-, l'errear rdati?e

CHEMINS DE FER DE MHŒS. 67ô

On a donc :

et la relation (10) devient :

Telle est l'équation fondamentale, qui fait connaître la force impulsive.

SOT — H y aurait lieu, maintenant, de reprendre une analyse toute semblable, pour le mouvement inverse du wagon, lorsqu'il remonte la rampe à vide* Mais il est inutile, pour cela, de repasser par les mêmes intermédiaires. Remarquons, en effet, que la disparition de la charge utile revient à supprimer l'unité, à l'intérieur de la parenthèse qui figure dans l'évaluation du poids total p (1 + a -f- p), ou de celui p (1 + «) de la partie en translation. D'un autre côté, pour exprimer que la composante de la pesanteur agit alors en sens contraire, il suffit de changer le signe de t. Avec ces modifications, l'équation (13) devient :

Si le wagon était remonté sur la rampe, plein de remblai, en revenant de l'accrochage ou du plan incliné, au lieu de supprimer Tunité, nous devrions la remplacer par y> en désignant par y F la charge de remblai. On aurait ainsi :

sera moindre que -t-. Si donc t atteignait la valeur 0,0(^, cette erreur relative resterait encore au-dessous de 0,00000067, quantité inappréciable.

676 ROUUGE.

Mais je me contenterai, pour ne pas trop m*étendre, de discuter les deux premiers modes de traction.

598 — Discussion des équations. — Envisageons, en premier lieu, le transport sur palier. Il suffit, pour cela, d'introduire dans les équations (13) et (14) l'hypothèse :

On aura ainsi, pour la traction du wagon plein : (15) ^ = ^(1 + «) + « (1 + « + p).

et pour celle du wagon vide :

599 — Cherchons, en second lieu, à déterminer la pente de roulement spontané, dont il a été question plus haut (n" 595): c'est-à-dire celle qui est strictement suffisante pour que le wagon descende seul, d'un mouvement uniforme.

Cette inclinaison î| s'obtiendra, en supposant nulle la valeur de la traction :

Ft = 0,

dans l'équation (13) du mouvement descendant. On tire de là :

,,7, ,. fr (1 -h «) + g (1 4- « -h P)

Quant à l'effort nécessaire pour remonter, sur cette rampe, le wagon vide, nous l'obtiendrons, en remplaçant dans la formule (14) i^ par sa valeur (17). Il vient ainsi pour le coefficient de traction :

.... ¥\fr [p + 2«(i + g + p)] + 2a (g + p) (1 + « + p). ^ ^ p - R (] + ot + P)

600 — Un troisième système consiste à disposer la voie avec une telle pente^ que refibrt à développer par le moteur soit le même dans les deux sens.

Cette inclinaison t, s'obtiendra^ en égalant les valeurs (13) et (14) des tractions à plein et à vide :

ce qui donne

La valeur commune de ces efforts de traction nous sera fournie par la substitution de cette expression, à la place de t, dans Tune ou l'autre des deux formules (13) et (14). On obtient ainsi :

eof — Parmi ces trois systèmes, la traction en palier ne constitue qu'un cas particulier. C'est sur les deux derniers modes que doit se concentrer l'attention. Nous les désignerons par les dénominations de roulage spontané et roulage égalisé.

Le premier convient surtout lorsque l'homme est employé comme moteur. Dans ce cas, le rouleur pousse le wagon pour démarrer. Quand il l'a lancé à la vitesse convenable, il monte sur l'arrière, et se repose ainsi pendant la descente du véhicule. Il emploie seulement son travail à la remonte du chariot vide. Pour les chevaux, au contraire, qui marchent successivement dans les deux sens, il est rationnel de rendre le travail uniforme. Le roulage égalisé est d'ailleurs employé également pour les herscheurs. Il y a donc lieu d'en comparer les résultats à ceux du précédent.

Le rapport des forces impulsives (18) et (20) a pour expression :

Le mode spontané exige donc, pour le retour, le plus grand des deux efforts, comme c'était d'ailleurs évident à l'avance. Nous voyons que V excédent proportionnel a pour valeur :

Pour comparer, non plus les intensités en kilogrammes, mais les effets utiles en tonnes kilométriques, nous devons d'abord avoir soin de faire cette comparaison à égalité de fatigue mtisculaire pour le herscbeur, sans quoi ce rapprochement n'aurait aucune valeur. Or, en négligeant le temps de la descente rapide de l'homme sur le chariot, on peut admettre que les deux routeurs exercent, pendant tout le temps, les efforts respectifs ¥\ et F',, et, par conséquent, que les fatigues qu'ils en ressentent sont proportionnelles à ces intensités. Commençons donc par disposer des poids transportés par eux : pi etp,, de manière à avoir l'égalité :

Il faut évidemment, pour cela, que ces poids varient, à égalité de force, dans le rapport inverse de celui des forces (21) à égalité de poids :

ou que l'on transporte, dans le mode égalisé, un excédent proportionnel de poids marqué par Texpression (22),

Cela posé, puisque nous négligeons le temps de la descente rapide du scloneur dans le mode spontané, nous devons admettre qu'il fait deux fois plus de voyages, avec sa charge p^, que le second avec la sienne p,. Leurs effets utiles seront donc dans le rapport de 2/?^ à p,, lequel a pour expression (23) :

On voit, par conséquent, que le rendement est plus élevé avec le mode spontané qu'avec le roulage égalisé, et que Yexcédent proportionnel a pour valeur :

60» — Résultats numériques. — Pour obtenir une idée de la valeur effective de ces divers résultats, nous admettrons comme une moyenne acceptable, d'après le tableau du n" 627, que le poids mort est la moitié du poids utile :

Si donc on transporte le même poids suivant les deux modes, il faut, avec le roulage spontané, un excédent proportionnel de force impulsive, qui a pou. valeur (22; :