AM = A'M
(^} En efTet, le nombre des révolutions esl le môme, puisqu'elles sont simultanées. De plus nous supposons, bien entendu, que quelle que soit l'épaisseur du cAble, dont la loi reste quelconque, les spires refouillées dans la masse du tambour pour l'y loger sont espacées d'une manière équidistante en projection sur l'axe.
et il a pour rayon d'enroulement Win!. L'équation (4) prend donc la forme :
Mm -f- Wm! = const. = Aa -h AV.
Portons en ak^ et mM^, en prolongement des ordonnées Aa et Mm, leurs ordonnées conjuguées AV et M'm'. La dernière formule pourra s'écrire alors :
Mm H- 7wMi = -^û + ûA., , c'est-à-dire :
MMj = AA, .
Il s'ensuit que le lieu géométrique des extrémités M, est la ligne droite A^B^ parallèle à l'axe du tambour. La figure A^M^B, amb est par suite identique et superposable à A'M'B' a'm'fc', et l'on peut dire que les deux contours XaBb et A'a'B'6' sont complémentaires, et forment par leur ensemble le rectangle AAjBB^, quand on les rabat Vun sur Vautre.
Cette circonstance montre notamment que le profil du tambour d^ équilibre présente nécessairement un point d'inflexion i. En effet, si la courbe a' m' tourne sa concavité vers l'axe A'Ai' en partant de l'extrénlité A', il faut, pour la symétrie des travées par rapport au milieu du tambour total, que l'axe bi présente de même sa concavité à l'axe BI en s'éloignant de B. Mais alors bi tourne par cela seul sa convexité à la droite BJ^. D'ailleurs, la figure BTfc'i' étant identique à B^]^bi, cela montre que b'i' est convexe vers BT. Ainsi donc le profil a'i'b\ d'abord concave en a', finit par être convexe en b'. Il a dû, par conséquent, subir dans l'intervalle une inflexion.
788 — La relation (4) fournit encore une conséquence importante. On obtient, en la multipliant par la vitesse angulaire o) de la rotation :
c'est-à-dire, si l'on désigne par v„ et v. les vitesses des cages dans les positions considérées :
On voit d'après cela que ce quune cage gagne en vitesse à chaque instant, Vautre le perd exactement; ou encore que la moyenne arithmétique des vitesses simultanées des deux cages reste constante et égale à la vitesse à la rencontre.
flh
Ces vitesses ont d'ailleurs pour expressions algébriques ^
et — 1~» car la cage pleine se dirige vers le jour, en diminuant sa
distance A., tandis que l'autre descend, par allongement de son câble A,. 11 vient donc, en remplaçant également w en fonction de l'angle de rotation 2w:: :
dt
dhn
dt
dt
et, en intégrant :
/i^ — ^j» = ^nnJX -f- consl.
Remarquons d'ailleurs que la cage vide se trouve au-dessous de la rencontre, 5 la distance A„ du jour, tandis que la cage pleine est supposée au-dessus, dans la position A«. La différence A b — A„ représente donc la distance actuelle des cages. Comme, en outre, cette distance s'annule à la rencontre en même temps que w, on voit que la constante d'intégration est nulle, et que l'équation se réduit à :
(6) A.^ — A^ = 4n7rR.
D'où ce théorème : la distance des cages varie proportionnellement à Vangle décrit par l'arbre de la machine.
784 — On aura en particulier aux extrémités, pour n = N :
A N — /«N = 4N7rR,
ou, d'après (i) et (2) :
H — iNjrR.
On tire de là :
iitU'
ce qui donne pour le nombre total de tours 2N
!27rR
Ainsi le nombre de tours du tambour spiraloïde est celui qui serait nécessaire pour enrouler la totalité du câble sur un treuil cylindrique, qui serait construit avec le rayon moyen.
Telles sont les propriétés, remarquables par leur simplicité, que présente tout tambour d'équilibre, quelle que soit la constitution de son câble.
TAMBOURS SPIRALOIDEN
785 — La plupart du temps, on construit ces appareils par approximation, et cependant il est possible d'apporter à cette détermination une complète rigueur. Déjà Gerstner a donné le profil relatif à l'emploi d'un câble de section uniforme (*), et M. Dwelshauvers-Dery a repris cette question par une autre voie (*).
( ') Gerstner, Handhuch dev Mechan ik.
{*) Dwclshaiivers-Dery (ftep. iinii;. d, m. et u., 1", XXXI, to).
M. Jules Havrez a traité numériquement le même problème, pour un câble composé de mises cylindriques successives (*). J'ai moimême résolu la question pour les câbles rigoureux d'égale résistance {*), dont le profil est, comme nous l'avons vu (n** 721), une logarithmique; mais la complication des calculs m'empêche de les i*eproduire ici. Je me contenterai de déduire des théorèmes généraux que je viens d'établir, la solution relative au câble cylindrique. Reprenons, à cet effet, l'équation d'équilibre (5), en y remplaçant Y„ par sa valeur 2R — Y« déduite de la relation (4). Il viendra :
(0 + ^H-i^n)Y„-(7H-P-«)(2R-YJ = QR,
ou, en réduisant :
Changeons maintenant de coordonnées, en transportant l'axe des abscisses, de l'axe de rotation à la surface du cylindre moyen. Nous prendrons en même temps pour unité le rayon de ce cylindre. On aura, dès lors, pour la nouvelle ordonnée :
ol l'équation deviendra, en la divisant par R :
p«(yH-i) -^ p-Ay—i) + (QH-2î)y = o.
Le poids p est évidemment proportionnel à la hauteur du câble cylindrique, de sorte que l'on peut écrire, avec une constante C :
Pn = CAn,
(*) Havrez (Bev. univ. d, m. et m., i", XXXIII, 125). (<) Uaton de la Goupillière [Anémies, %; I, 566).
U vient, par cette substitution :
C^.(y+t) -h C(K-h^nnï{)(y—i) -h (Q-h2ç)y = 0,
ou, en divisant par 2Cy et supprimant l'indice de A., devenu inutile :
Kous ferons, par la dîflcrentiation, disparaître le terme constant :
dh 4- 2-R (^ dn-hn ^] = 0.
Remarquons, du reste, que dh représente, en valeur absolue, le raccourcissement du câble. U est donc égal, sauf le signe, à l'arc enroulé qui a pour rayon Y, ou R (y h- 1), el pour angle au centj c d (2nz), ce qui donne :
dh = 2-R(y-hi)d/J.
Nous aurons, d'après cela, en divisant par 2xR, ce qui achève de faire disparaître les constantes :
^ dn-hn^ — {y-hi)dn = 0,
ou, en séparant les variables :
dn dtf
n y(y'-Hl)
Telle est l'équation différentielle du profil du treuil spiraloïJe.
Si nous la décomposons de la manière suivante
dn dy
ydy
il viendra, en intégrant avec des logarithmes népériens
Log n = Log y — y Log (j/« + 1) -f- Log A,
c'est-à-dire :
ou, en revenant aux anciennes variables :
\Mt^)
La constante d'intégration A se détermine à l'aide du rayon minimum, de manière que l'on ait à la fois :
ce qui fournit Féquation définitive :
représentant une courbe du quatrième degré.
Cette relation renferme trois paramètres Y«h, R et N. La valeur de Y î, sera prise arbitrairement, en se limitant seulement par les conditions relatives à la raideur du câble (n° 727, 728, 754). On en
déduira, en second lieu, R, en exprimant Tégalité des moments pour l'instant initial et celui de la rencontre, ce qui donne :
(QH-ç-h/H)Y-x = QR,
si nous continuons à désigner par x le poids du mètre courant de câble. Quant aux quantités Q, 9, X' H* elles sont données directement. Enfin, N sera fourni par la formule (7).
787 — Les tambours spiraloîdes se sont beaucoup répandus depuis quelque temps. L'amélioration qu'ils apportent à l'équilibre, en substituant une solution rigoureuse à l'approximation que l'on obtient avec les bobines ou les tambours coniques, procure au mécanicien plus de facilité pour ses manœuvres. Il peut alors commencer son ralentissement à un instant plus rapproché des extrémités de la course. Le grand rayon de ces organes est de nature à mieux ménager les câbles d'acier. 11 permet également d'accélérer la vitesse dans le puits, tout en gardant une allure modérée pour le piston.
En revanche, on peut leur reprocher le danger de la sortie du câble hors des spires que Ton a soin de lui ménager sur la surface du tambour. Les énormes proportions de quelques-uns de ces appareils les rendent lourds et encombrants (*).Ils masquent une partie de la recelte aux regards du mécanicien. La distance du treuil au puits doit être encore augmentée, pour diminuer l'obliquité qui tendrait à faire sortir le câble des gorges (*). Enfin la grande précision de la solution, à défaut de laquelle l'appareil perd tous ses avantages en gardant ses inconvénients, le condamne à être mis hors de service, pour la moindre modification apportée au puits ou à l'enle-
('} Au puits Hugo (Westphalie), les tamboui*s pèsent 64 tonnes» dont 48 de fer et 16 de fonte. Au siège Marie-Colard (Seraing), les diamètres sont de 5 et de 10 mètres. N. Ilabets cite, pour le bassin de la Ruhr, 21 exemples pour lesquels le petit diamètre varie de 3» ,60 & 5-,79; le grand, de 8-,47 a 10- ,00; la largeur, de 1-,47 a 2»,65; la profondeur, de 566 à 550 mèti*es. Au puits Adalbert (Przibram), de 1020 mètres de hauteur, on a renoncé à l'établissement d'un tambour spiraloîde, qui eût nécessité un diamètre de 15 mètres.
(') Elle est de 50 mètres à Seraing,
\age, tandis que la solution approximative des bobines, que nous
allons exposer, présente beaucoup plus d'élasticité. :
