BOBINES
788 — Propriétés géométriques. — La théorie des bobines a été traitée pour la première fois par Combes (*). M. Dwelshauvers-Dery a, depuis lors, envisagé le problème pour les câbles plats de largeuidiminuée et d'épaisseur constante (*); et M. l'ingénieur en chef, des mines Worms de Romilly a considéré de môme la variation de l'épaisseur ('). M. Devillez avait déjà, du reste, étudié l'enroulement des câbles à section décroissante (*). Ces calculs extrêmement compliqués ne sauraient trouver place ici, et nous nous bornerons au cas du câble de section constante (*).
Je ferai remarquer dès à présent que les bobines ne constituant, comme il a été expliqué, qu'une solution approximative du problèmi* de l'équilibre, au lieu de présenter la rigueur de celles qui précèdent, nous nous trouvons autorisés par là, dans une certaine mesure, à simplifier cette théorie, en y faisant abstraction des quantités négligeables qui n'affecteraient pas l'ordre des décimales né- <'essaires pour la pratique la plus exigeante.
Le cable ayant une épaisseur uniforme e, dessine une spirale d'Archimède, qui a pour équation en coordonnées polaires :
en comptant l'azimut ô à partir de l'instant de la rencontre, pour
[*) Combes, Traité d^ exploitation des mines ^ III, 182. î («) Hev, univ. d. m, et u., 1", XXX, 545; XXXVI, 1.
I 5) Annales, 1% V, 18i.
I (*] Bulletin du musée de Vindustrie, 1851, tome II, page 375.
{») La forme simplifiée que je domie ici à cette théorie est celle que j'ai déjà prèsenlét» dans mon Traité de* mécanismes, p. 275.
lequel la valeur du rayon vecteur est désignée par R. L'arc élémentaire de cette courbe :
peut prendre, par approximation, la forme plus simple :
(h = pr/6.
En eflet, cette transformation revient à négliger devant l'unité, sous le radical, le terme :
Or, l'épaisseur e du câble est toujours une fraction minime de la circonférence enroulée 2zp, et, par suite, le carré de leur rapport est négligeable (*).
11 vient dès lors, en substituant pour p sa valeur :
(8) ds = Rdô + 4- ^f^^y
In
et, en intégrant de manière que s s'annule avec 6
An
(») Si, par exemple, avec un câble végétal, on prend pour épaisseur « =0'",05 et pour rayon minimum p= 1~,00, on a déjà :
/rfp\2
valeur qui diminuerait beaucoup encoi*e, avec les faibles épaisseurs et les grands rayons d'enraulement des câbles d'acier.
j . RÉGULARISATION DE L'EXTRACTION. 101
Nous rendrons celte expression plus commode en y remplaçant 0 en fonction du nombre n de tours :
d'où:
(9) 8 = 2w7rR -f- wVe.
Telle est la valeur de Tare enroulé à partir de la rencontre, ou, si Ton veut, de la hauteur de la cage chargée au-dessus de ce niveau. La seconde bobine dessine une spirale égale, mais de sens contraire, sur laquelle le rayon vecteur décroît d'une épaisseur de câble, en même temps qu'il augmente d'une quantité égale sur la première. L'arc «' qui s'en déroule, pendant que s s'enroule sur là* première bobine, s'obtiendra donc à l'aide d'un calcul analogue, dans lequel le terme en e serait seulement changé de signe :
s^ = 2n7rR — n*7re.
Tel est l'arc déroulé de la seconde bobine à partir de la rencontre, ou l'abaissement de la cage vide au-dessous de ce point.
789 — On déduit de ces deux formules :
s — «' = 2n*ze,
Cette dernière quantité s + s' marque continuellement , d'après ce qui précède, la distance verticale des cages. On aura donc au dernier instant, pour lequel cette dislance devient égale à la pro fondeur du puits :
H = ^NttR,
d'où
On retrouve ainsi la formule (7), par la compensation de deux approximations successives : Tune qui consisterait à appliquer à cet organe d'équilibre approximatif les propriétés du g 3, établies pour les appareils d'équilibre rigoureux j et la seconde résultant de l'erreur que nous avons faite volontairement, en supprimant un terme sous le radical.
Celle relation permet de déterminer la profondeur de la rencontre, c'est-à-dire la longueur H^ de câble qui s'enroule en N toui's. pour remonter la cage de ce niveau jusqu'au jour. On a, en effeL en substituant cette valeur dans la formule (9) :
Ho = 2N7rR 4- N*ffe,
ou
(12; llo= — +
2 IOttR*
La rencontre a donc lieu, comme nous le savons d'une manière générale (n" 780), au-dessous du milieu de la hauteur du puits. La profondeur en contre-bas de ce point a pour valeur :
16ff R*
elle varie en raison de l'épaisseur, du carré de la hauteur, et en raison inverse du carré du ravon moven d'enroulement.
790 — Propriétés dynamiques. — Pour passer maintenant à l'étude dynamique du phénomène, je commencerai par montrer que nous pouvons la réduire à Temploi de la statique ; en d'autres termes, qu'il est permis de négliger, dans l'application du principe de d'Alembert qui exprime la loi de tout mouvement, la force d'inertie devant les forces physiquement existantes, c'est-à-dire le poids. Ceci doit s'entendre, bien entendu, de Isi période de rotation uniforme de l'arbre des bobines, à l'exclusion des phases extrêmes, et relativement courtes, de mise en train et de ralentissement, pen-
dant lesquelles, au contraire, la force d'inertie acquiert une grande influence, mais qui sont hors de la question actuelle.
La force d'inertie, par unité de masse, ayant pour valeur -r^ »
nous déduirons de la relation (8) :
ds ^ d^ c ^ d^ — = R ! ô — ,
dt dt Î27r dt '
si 6) désigne la vitesse angulaire constante ; et, en différentiant do nouveau par rapport au temps :
c/'« tùB d^ tJe
dt} 27r dt tit
Si, par exemple, nous supposons une vitesse de k tours par minute.
CJ
il vient :
rf»«
ir*»
dl^ 1800
Le rapport de la force d'inertie au poids de la même masse sera donc :
1800.Sf
Commet est une très faiblefraction du mètre, auquel est rapportéi» l'évaluation de g, on voit que ce rapport restera très faible, malgré la présence du facteur A:*, car Tallure des machines d'extraction doit rester modérée (*).
-(*) Si, par exemple, nous reprenons l'hypothèse précédente e=0",03, en supposant
791 — Nous pouvons donc nous contenter de discuter la valeur statique du moment M des forces de pesanteur. Le poids Q -h 9 de la cage chargée s'ajoute à celui d'un câble de longueur H — «, puisque 8 marque la hauteur de cette cage au-dessus de la rencontre, située à la profondeur Dq. On aura donc la force Q -+-gH-x(Ao — ^)» agissant sur le treuil avec un rayon d'enroulement R 4- ne.
D'autre part, au rayon R — ne se trouve appliqué le poids q de la cage vide, augmenté de celui x (^o -l-«') du second câble, puisque cette cage se trouve à la profondeur s' au-dessous de la rencontre. On a ainsi pour l'ensemble :
ou, en ordonnant :
M = r[q — x(« + «')] + n«SQ + 29 + x[2Ao — {« — «')]L et, en substituant les valeurs (10) :
M = QR — xR.4n7rR -f- ne ÏQ + 2q^^U + ^, — in^Ke\].
Nous reconnaissons par là avec évidence que le moment M ne conserve pas à chaque instant, d'une manière constante, la valeur QR qu'il a au moment de la rencontre, lorsque les câbles et les poids morts s'équilibrent mutuellement. L'équilibre n'est donc qu'approximatif. Nous désignerons par [a l'écart :
fA r= M — QR,
une vitesse de iO tours par minute, ce rapport prend pour valeur 0,0004998, c'est-àdire un demi-millième. Avec les faibles épaisseurs des câbles d'acier, et leurs grands rayons d'enroulement, qui obligent à restreindre la vitesse angulaire pour conserver une allm'e modérée dans le puits, cette valeur s'abaisserait encore dans une mesure importante.
du moment réel M sur celte valeur moyenne QR. Il aura pour expression ordonnée par rapport à n :
p = [^(Q-H2g-h;^Il)e + 2^ 4,r;cRiJ n - 2nxe'n\
^ous la mettrons provisoirement sous la forme plus simple :
(15) en posant pour abréger :
p = An — Bn',
A= (Q-f-2îH-xH)e
— 4t;cRS
798 — Pour faciliter la discussion de l'équation (13), nous construirons le tracé qu'elle représente, en portant en abscisses les
Fiff. 513.
valeurs de n, et en ordonnées celles de l'écart [i (fîg. 515). Cette courbe a son centre à l'origine 0, puisque son équation ne renferme que des puissances impaires des variables. Elle a pour tangente à l'origine la droite représentée par l'ensemble des termes de moindre degré :
ft = An.
La manière dont elle se trouve dirigée en ce point dépend du signe de A. Nous supposerons en premier lieu :
Le tracé se relève alors au-dessus de l'axe des abscisses; mais comme, pour n = oo, onaiJL = — oo, en raison du signe négatif du terme de degré le plus élevé, la courbe finit par repasser au-dessous. Elle coupe donc cet axe en un point a', que nous déterminerons en supposant dans l'équation (1 5) [a = 0 :
A/i' — Bw'-' = 0 .
valeur réelle, d'après l'hypothèse (16), puisque B est essentiellement positif (15).
Dans l'intervalle, cette ligne présente nécessairement un poini maximum p", dont l'abscisse n" sera fournie par l'équation dérivée :
dn '
A — 5Bm"> = 0
d'où l'on tire :
11 est facile de relier ce point au précédent. En effet, si de a" comme centre, on décrit un demi-cercle de 0 en a"; que, de ce dernier point comme centre, avec la môme ouverture de compas, on trace un arc de cercle a y; et qu'enfin, de 0 comme centre, on rabatte par un arc de cercle, Oy sur Taxe des abscisses, on arrivera précisément au point a , comme le montrerait, d'après la relation (18), le triangle rectangle ÛYa".
Quant à la valeur a"^" du maximum , elle sera fournie par Téquation (15) :
^" = An" — Bn"'^ = n" (A — BO
el enfin :
Evaluons encore Tordonnée til"^" du point a'" obtenu par la construction précédente, et qui a pour abscisse v!" = 2n" ;
/" = n'" (A — Bn'"*) ■= %f (A — 4Bn''»)
c'est-à-dire :
793 — Cette circonstance est importante, car elle nous montre que la portion de la courbe indéfinie qu'il convient d'utiliser pour le phénomène, essentiellement limité, de l'extraction, en vue d'obtenir la meilleure régularisation possible, est justement celle qui s'étend de 0 en p"' (et, sur une longueur égale, de 0 en p'").
En effet, puisque Técart absolu (19) de la courbe par rapport à l'axe des abscisses est inévitable, nous avons intérêt à aller au moins jusqu'en p'", car, par là, nous ne rencontrons pas d'écart plus grand. Donc, en restant dans les mômes limites d'irrégularité, nous
augmentons le développement en abscisse, ce qui revient à dire, en d'autres termes, que, pour une même étendue en abscisse (c'està-dire un même nombre de tours, et, par suite, une même profondeur du puits) nous diminuons l'écart, et améliorons ainsi la régularisation. Nous avons également intérêt, d'un autre côté, à ne pas dépasser le point ^'", car, par là, nous augmenterions gratuitement l'écart au delà de ce qui est inévitable, et la solution ainsi obtenue serait moins satisfaisante que la précédente.
Il nous faut donc exprimer cette condition, ce qui se fera en identifiant la valeur extrême n'" avec la valeur finale (11) :
47rU'
On en déduit :
^. ^aH ^ H
ti «jrR '
et encore (18) :
Telles sont donc les 'abscisses des points essentiels du tracé. Quant à la valeur absolue de l'écart, elle aura pour expression :
f." = — fx"' = An" — Btt"5
= Bw" (3n"« — n"«)
= 2Bw"»
et, enfin :
2'ir*R=
Son rapport à la valeur du moment moyen sera par conséquent :
Il varie en raison du poids du câble par mètre courant, du carré de son épaisseur, du cube de la profondeur, en raison inverse du poids utile et de la quatrième puissance du rayon à la rencontre. On remarquera que cette valeur maximum [jl" de l'écart se trouve atteinte quatre fois pendant le mouvement, à savoir : deux fois en plus et deux autres en moins ; deux fois pour les extrémités et deux autres en des points intermédiaires. En même temps, la valeur moyenne se réalise pour trois instants différents, à savoir : celui de la rencontre, et deux autres en des points intermédiaires. La courbe serpente entre ces diverses valeurs.
794 — Détermination des rayons. — Après avoir ainsi exprimé les conditions relatives au meilleur fonctionnement possible, il s'agit de mettre le constructeur en état de les réaliser, en lui fournissant la valeur des divers rayons à donner à l'appareil. Commençons, à cet effet, par évaluer le rayon à la rencontre*
Sa valeur se trouve, dès à présent, déterminée implicitement dans ce qui précède, car nous possédons pour n' deux valeurs (17) et (20) qui doivent être nécessairement égales, d'où une relation qui renferme l'inconnue R. Nous obtenons ainsi :
V B Stc U'
c'est-à-dire
Rendons actuellement aux symboles A et B leurs valeurs (14) et (15). Il viendra par là :
(Q + 2g + xH)e 4- ^ - 4.xR' - g^-S^xe* = 0.
liO EXTRACTION.
Si nous multiplions tous les termes de cette équation par le facteur :
elle deviendra :
ou, en réduisant cl changeant tous les signes :
/JirR'V Q + 2v + y.H /4>R'\ ^ „
Prenons enGn pour inconnue auxiliaire :
/eux *'^*
et nous obtiendrons, pour l'équation résolvante, cette forme remarquablement simple après des calculs aussi compliqués :
79& — La solution du problème s*eflectuera, d'après cela, de la manière suivante. On formera la relation (24) au moyen des éléments nécessaires de la question, à savoir : la profondeur H, le poids par mètre x du câble, le poids mort q et le poids utile Q. Cette équation du second degré ayant son dernier terme négatif, possède nécessairement des racines réelles et de signes contraires. La racine positive pourra seule être substituée dans l'équation (25), afin de fournir pour R une valeur réelle :
RÉGCURISATION DE L'EXTRACTION. i]\
que l'on prendra, bien entendu, avec le signe positif. On aura donc ainsi toujours une solution et une seule.
On en peut déduire le rayon initial Y i„ que Ton composera arbitrairement d'un estomac métallique et d'une fourrure complémentaire de câble. Il vient en effet :
H enfin :
expression dans laquelle on substituera les valeurs trouvées pour R et X.
Quant au rayon final Y i„ à l'aide duquel on forme la longueur des bras de la bobine, en lui adjoignant un certain excédent arbitraire, pour être assuré contre le déversement du câble, il ne diffère du précédent que par le signe de N et, par suite, dans le résultat (26), que par celui du terme en x :
m Y. = R(i-hi).
Telles sont les valeurs des deux rayons extrêmes (*).
(*) Si nous reprenons Texemplc déjà envisagé ci-dessus :
l'é<[uation (24) donnera :
X = 3,707 et la relation (25) :
Les formules (26) et (27) deviennent alors :
Exnicno5.
Fiz. 514-
79S — Pour compléter celle ^«>lulion, il im^iorte de rappeler qoe les coasidêratioas précédentes ne se rapportent qu'à une seule
'16 des Iniis hTf»c»thi-ses qoe l'on peut faire sur le signe de A. Si l'on avait A >* 0. la courbe prvndrait la forme représentée par la fi-rure 514: et, piur A <Z 0, celle de la fijure 515. Ces deux types seraient éTidemment beaucoup moins favorables à une bonne régularisation que le tracé 515. qui serpente longtemps aux aivirons de Taxe des abscisses , avant de 8*en éloigner définitivement 5ous devons donc nous en tenir ex-
pre>sément au premier cas.
Seulement il reste à savoir si les valeurs qui viennent d*étre obtenues m* 795) nous placent à coup sûr dans cette hypothèse, quelles que soient celles que Ton altribuerait aux paramètres. Or c'est ce dont on peut être assuré d'une manière générale, car ces valeurs satisfont à la relation (22), laquelle montre avec évidence que A est positif, puisque B Test essentiellement (15).
7117 — Discusnon des résultats. — 11 n'est pas inutile de re-
Fiz. 515.
ce qui indique 2",73 et 4", 78 pour les diimètres extrêmes de l'enroulement. L'équation (11) fait connaître le nombre total de tours :
Quant au coefficient caractéristique de la réguJaris-ation ^U. il prend la Taleur 0,0429. La variation du moment n'est donc plus que de 4 pour 100, tandis qu'elle était de 300 pour IWi avec le tambour cylindrique >"• 775;. Elle est ainsi dcTenue enriron 7000 fois moindre.
connaître comment varie le rayon initial Y:„ en fonction de ses divers paramètres H, c, /, Q, q (*).
L'équation (24) ne renfermant pas l'épaisseur du câble, x en est indépendant, ef, par conséquent, elle se trouve en évidence dans la relation (25). Le rayon de la rencontre R varie donc comme la racine carrée de cette épaisseur, et il en est de même (26) du rayon initial Y m. Il sera par conséquent plus grand, toutes choses égales d'ailleurs, si l'on substitue au câble plat un câble rond avec une bobine étroite (n** 756, note), puisque le diamètre de ce dernier sera naturellement supérieur à celui des aussières partielles, qui constitue l'épaisseur du câble plat équivalent.
Nous tirons, en second lieu, dès-formules (25 et 26) :
On voit donc que le rayon initial croît en même temps que x. Or cette racine positive de l'équation (24) augmente elle-même avec l'unique coefficient de cette équation :
On reconnaît par là que le rayon initial augmente avec le poids mort et avec le poids utile, et qu'il varie en sens inverse de celui du câble par unité de longueur.
798 — Quant à l'influence de la profondeur H, elle est beaucoup plus complexe et plus dissimulée.
Pour la dégager, nous commencerons par écrire l'équation (24) de la manière suivante :
(<) Uaton de la Goupillière (Annales, 8% Y, 162].
yj '«j
vt-W.
.iU!^*,
il4
Nous avons, en second lieu (25) :
c'est-à-dire :
et enfin (26) :
Avant tout, il faut que Y^j, soit réel, et, pour cela, que la valeur de ar reste en dehors de l'intervalle compris entre les deux racines, de Téquation :
lesquelles sont de signes contraires. Ce trinôme devenant par là positif, et H devant l'être de son côté (28), il faut qu'il en soit de môme dear. Cette quantité ne peut donc être, en définitive, que supérieure à la racine positive de l'équation (31), à savoir :
ou,' en effectuant :
Si nous mettons actuellement l'expression (28) sous la forme
il est facile de voir que H, d'abord nul lorsque x est infini, s'accroît à mesure que cette variable diminue. On a d'autre part :
dx
Tant que x reste supérieur à 1,25 celte dérivée est positive, ce qui montre que Y— ^ varie en môme sens que a:, et, par suite, en sens contraire de H. L'inverse se produit entre les valeurs 1,25 et 1,11.
Ainsi donc, si nous partons des valeurs :
j; — oo ,
xH-.
le rayon initial décroit lorsque la hauteur augmente. 11 atteint, pour a; = 1,25 son minimum ¥"« pour la profondeur H" :
et, par cette variation, se réduit presque à moitié :
A partir de ce point , ce rayon se remet à croître en même temps que H, lorsque x continue à décroître de 1,25 à 1,11 ; et tous les deux deviennent infinis pour cette dernière limite :
H"' = ao ,
Telle est la loi théorique de la variation cherchée.
^799 — Mais la pratique ne peut naturellement réaliser qu*une partie de cette amplitude. Or nous avons vu (n* 725) que l'on détermine le poids x de lunité de longueur du câble destiné à supporter un enlevage Q 4- ç , par la condition que la charge Q -H ç -h yjl de sa section supérieure soit un multiple déterminé tj, que la prudence suggère, de ce même poids par mètre courant :
Il vient donc, pour la profondeur (31) qui correspond au minimum du rayon initial :
Cherchons la condition pour que celte profondeur soit plus grande que la hauteur réelle du puils ; en d'autres termes, pour que ce minimum ne puisse être effectivement atteint. 11 suffira pour cela de poser :
5 Q-hî
d'où l'on tire :
„ ^ 20(Q + ay) ""^ 23Q-h45î ''
ou, sous une forme équivalente :
H est clair que le second membre, continuellement décroissant
RÉGULARKATION DE L'EXTRACTION. 117
avec le rapport ^, alleint, pour ~ = 0, son minimum ^. H suffit donc, à fortiori^ que Ton ait :
Si, par exemple, on se plaçait exactement à cette limite :
il s'ensuivrait (52) :
et le poids du câble p\\ serait déjà -«-, ou 6,67 fois celui de l'en-
levage Q -f- ç, ce qui est inadmissible.
Concluons donc en disant que, dans la réalité, le minimum YL.^ ne saurait être atteint, et que le rayon initiai décroit constamment quand la profondeur augmente.
Ajoutons que toute l'importance numérique de cette diminution s'épuise dès les faibles profondeurs, et qu'elle devient presque insensible lorsque Ton est encore loin de la limite H". On a, en effet, l'échelle de valeurs suivantes :
ri' '
il8
Ainsi, en arrivant à la moitié de la profondeur limite H", on a déjà réalisé 97 pour 100 de la variation totale du rayon initial, qui peut être, à partir de ce point, considéré comme stationnaire. On en a même déjà obtenu à peu près les trois quarts, dès que l'on est arrivé au septième de cette profondeur limite.
TA9IBOLRS CO!VIQlIES
800 — Tambours coniques, — La théorie des tambours coniques se trouve implicitement renfermée dans celle des bobines. Si Ton
. envisage, en effet, la projection du câble sur un plan perpendiculaire à Taxe du cône (fig. 516), ce qui ne 'e change pas les bras de levier, cette projection devient une spirale d'Archimède qui a pour pas :
Fig. 516.
e ■=. ^ sîn c ,
si Ton désigne par S le diamètre du câble rond, et par e Tangle générateur du cône. 11 suffit donc de remplacer e par cette valeur dans les formules (24, 25, 26, 27), qui servent à résoudre le problème des bobines.
On remarquera môme que cette circonstance augmentera d'une
unité le nombre des données arbitraires de la question, en fournissant, par suite, plus de latitude encore pour arriver à une régularisation satisfaisante.
Si les cônes sont disposés sur un axe vertical {*), on dirige l'enroulement du câble au Fig. 517. Penderie. moyeu d'uuc penderie (fig. 517). On appelle
(*) Il en est de même pour les treuils cylindriques dont la longueur est de quelque importance.
ainsi un petit caâi*e formé de deux rouleaux, entre lesquels passe le câble. Ce cadre reçoit un mouvement de translation proportionnel à celui du câble, par l'intervention d'une cordelette enroulée sur un axe de diamètre moindre, que l'on monte sur Tarbre des tambours. A l'aide de cet artifice, la penderie présente toujours le câble au point précis où doit s'opérer, à chaque instant, l'enroulement.
80t — Les tambours coniques, ainsi du reste que les bobines, •ont été également employés en dehors de l'extraction verticale, pour régulariser le mouvement sur les plans inclinés (*). Leur intervention y est toute naturelle, puisque le problème est, au fond, le même, si ce n'est que l'intensité de la pesanteur se trouve alors réduite dans le rapport du sinus de l'inclinaison.
Dans ce cas, il est bon que les deux câbles se déroulent par-dessus les cônes, et non de deux côtés différents de l'axe, comme avec l'extraction verticale. 11 faut, pour cela, que les deux tambours tournent en sens contraires. On les établit donc sur des axes distincts (fig. 452, tome I), et on les met en communication, suivant leurs petites bases, à l'aide de roues d'engrenage égales.
80î8 — On rencontre même un dispositif encore plus éloigné que le précédent de celui de l'extraction verticale, et qui présente un aspect paradoxal. Le câble s'attache, en effet, à la grande base du cône et termine son enroulement sur la petite base, ce qui forme le contre-pied du système ordinaire. Mais cela ne s'emploie que pour -des voies dont le profil est profondément creusé en courbe (*), afin de suivre la déclivité du sol. Le sinus de l'inclinaison peut en effet alors diminuer, vers le pied de l'ouvrage, au point que la force de tension, encore bien qu'elle ait reçu l'appoint du déroulement, se trouve cependant moindre qu'au début, ce qui exige, pour la régularisation, une augmentation du bras de levier.
(*) Par exemple aux grands plans inclinés de Saint-Pierre d'Allevard (Isère) et de Saint-Georges d'Hurtiôres (Savoie).
(*) Par exemple au grand plan incliné du Chailas, à Textrémité du chemin de fer industriel de Saint-Pierre d'Âllevard.
EXTRiCTION.
On remarquera que, dans ce cas spécial, les bobines ne sauraient se substituer aux tambours coniques, qui, seuls, permettent de commencer à volonté l'enroulement par la grande ou par la petite base.
803 — Tambours cylindro^oniques. — Si nous revenons à l'extraction verticale, nous rencontrons un système dérivé du précédent, pour lequel les deux troncs de cône, au lieu d'être opposés
base à base, se trouvent réunis par une portion cylindrique (fig. 518) sur laquelle se prolonge l'enroulement, étage jusqu'alors le long de la surface du cône.
De celle manière, aux extrémités de la course, l'enroulement esl conique pour l'un des câbles, et le déroulement cylindrique pour l'autre, ou réciproquement. A la rencontre, au contraire, l'enroulement et le déroulement sont cylindriques. Le moment total varie dès lors exaclement en raison de l'angle décrit. Le tracé graphique qui représente cette variation est donc une ligne droite. Mais cette modification est presque sans eflet dans cette région, car la courbe du système ordinaire (fig. 513) présente en 0, pour cet instant, un point d'inflexion, aux environs duquel elle se confond sensiblement avec sa tangenle.
Fig. 518 Tambour cyllndro-conique.
804 — Tambours coniques à poulie mobile. — On a introduit récemment (*) un moyen de régularisation, dans lequel figurent à la fois un tambour conique et un contrepoids, ce qui en fait la transition naturelle entre les deux ordres d'appareils, agissant distinctement sur le bras de levier ou sur Tintensité de la force. Mais c'est
(<) Au puits Camphausen de Sarrebrûck. (ZeiUchn'/ï BHS, XXXI, 0. — Haton de la Goupillière, Bull, Soc. denc,, 5*, XI, 231.)
RÉGULARISATION DE L^EXTRAGTION.
ici le contrepoids additionnel, et non plus, comme tout à Theure»
le câble d'extraction, qui agit sur des bras de levier variables; les câbles porteurs A et B (fig. 519) s'enroulent sur un tambour cylin-
(Irique E en deux sens différents ; ils sont, par conséquent, de section ronde. Quant au système régulateur, il est constitué de la manière suivante.
Sur le prolongement de l'axe du treuil cylindrique, est monté un double tambour conique, dont les moitiés sont accolées par leur grande base D. La petite base du tronc de cône antérieur est figurée en E. Deux cordelettes d et c, dont nous négligerons le poids pour plus de simplicité, sont amarrées sur ce treuil. Au premier instant, qui est celui que représente là figure, elles s'en détachent, la première, par la grande base du tronc de cône postérieur, et la seconde, de la petite base de celui qui est en avant. La rotation produira donc le déroulement de la première d suivant des circonférences décroissantes à partir de D, et l'enroulement de la seconde e par des circonférences dont le rayon ira en augmentant à partir de E. Ces brins d, e passent sur deux molettes S, e, et pendent verticalement dans un faux puits. Ils y supportent, par leur boucle inférieure, une poulie mobile F, sa chape G, et le contrepoids P fixé à cette dernière.
Au commencement de la rotation marquée par le sens des flèches, le déroulement de d s'effecluant par le rayon de D et des cercles voisins, tandis que l'enroulement de c a lieu par la circonférence E et d'autres qui en sont peu différentes, le premier l'emportera sur le second. Le brin d s'allongera donc dans le faux puits, plus que e ne s'y raccourcira, et, par suite, le contrepoids descendra. Vers la fin de la cordée, ce sera l'inverse, car le déroulement de d atteindra les petites spires du tronc de cône .postérieur, tandis que e arrivera aux grandes circonférences de la base antérieure. Le contrepoids sera donc en train de remonter. L'instant de son plus grand abaissement correspond à celui pour lequel les rayons d'enroulement de d et de e sont égaux sur les deux cônes. Alors, en effet, une rotation infiniment petite altérant ces deux brins de la même quantité, le poids P reste stationnaire. A la fin de la cordée, tout le système se trouve prêt pour un fonctionnement tout semblable, dans lequel les rôles des deux cages se trouveront intervertis.
On voit, d'après cette explication, que, pendant la descente de P, pour laquelle le câble chargé est plus long que celui de la cage
gpw-
RÉGCLARISATION DE L'EXTRACTION. 1 25
vide, on trouve un secours, pour le hisser, dans rabaissement de ce contrepoids. Dans la seconde partie de la course, pour laquelle le câble de la cage vide devient prépondérant, son excès de poids i-encontre un antagonisme dans l'ascension de P. De là un élément de régularisation, qu'il est facile de rendre uniforme, comme nous allons le reconnaître.
805 — Continuons à appeler 2N le nombre total de révolutions qui conduisent la cage du fond au jour, et m leur nombre variable à chaque instant, compté à partir du premier instant, et non plus, <'omme dans les théories précédentes, à partir de la rencontre. Si ?' ot / désignent les rayons extrêmes des troncs de cône, leur écart r — r' devant s'épuiser en 2N révolutions, proportionnellement au nombre de tours, les rayons d'enroulement seront, à chaque instant :
p Chacun des brins correspondants supporte d'ailleurs la moitié x du
contrepoids.
D'après cela, on aura pour le moment total des forces transmises iui treuil par les quatre câbles A, B, d, e:
ou, en ordonnant :
J^(Q-|.;^H)R~|.(r-,o]---y[/HR-|-(r-/)]
Si donc on veut que ce moment soit rigoui^eusemcnt constant^
il suffit d'annuler le coefficient de m, en posant
