IM) N
inW
Cette relation permet de déterminer la profondeur de la rencontre^ c'est-à-dire la longueur H^ de câble qui s*enroule en N tours, pour remonter la cage de ce niveau jusqu'au jour. On a, en effet, en substituant cette valeur dans la formule (9) :
ll„ = 2i\irR -+- N'ire, ou :
2 ■ i6:rR»
La rencontre a donc lieu, comme nous le savons d'une manière générale (N"" 847), au-dessous de la moitié de la hauteur du puits.
[*} On retrouve ainsi la formule i7;, par la compensation de deux approximation ? successives : Tune qui consisterait à appliquer & cet organe d'équilibre approximatif les propriétés du § 5, établies pour les appareils d'équilibre rigoureux^ et la seconde résultant de l'erreur que nous avons faite volonlairementt en supprimant un terme sous le radical.
,'»^*«-rfv
5ïf^^
iU
La profondeur en contre-bas de ce milieu a pour valeur
i HV
'VK
rf^
elle varie en raison de l'épaisseur, du carré de la hauteur, el eu raison inverse du carré du rayon moyen d'enroulement.
857 — Propriétés dynamiques. — Pour passer maintenant i l'élude dynamique du phénomène, je commencerai par montrer que nous pouvons la réduire à l'emploi de la statique ; en d'autres termes, qu'il est, dans le cas actuel, permis de négliger, pour Tapplication du principe de d'Alembert qui exprime la loi de tout mouvement, la force d'inertie devant les forces physiquement existantes, c'est-à-dire le poids. Ceci doit s'entendre, bien entendu, de la période de rotation uniforme de l'arbre des bobines, à rexclusion des phases extrêmes, et relativement courtes, de mise en train et de ralentissement,. pendant lesquelles, tout au contraire, la force d'inertie acquiert une grande influence, mais qui sont hors de la question actuelle.
La force d'inertie par unité de masse ayant pour valeur j-,» nous déduirons de la relation (8) :
(h dt
dt
e f/e J^ lit
si 0) désigne la vitesse angulaire constante; et, en différentiant de nouveau par rapport au temps :
dh dt*
tue d^
Stu dt
Si, par exemple, nous supposons une vitesse de k tours par minute
RÉGULARISATION DE LK\TR ACTION. Ii5
i! uent :
dt* 1800
Le rapport do cette iorce d'inertie au poids de la masse corrc'piHidanle sera donc :
dH
dn r
k'e = 0,000 1666. AV.
Comme e est une très faible fraction du mètre, auquel est rapportée lévaluation de g^ on voit que ce rapport sera très faible, malgré la pivsence du facteur k*, car Tallure des machines d'extraction «!oil rester modérée (*).
858 — Nous pouvons d'après cela nous contenter de discuter la valeur statique du moment M des forces de pesanteur. Le poids O-hç de la cage chargée(') s'ajoute à celui d'un câble de longueur 11^— «, puisque s marque la hauteur de cette cage au-dessus de la rencontre, située à la profondeur 11^. On aura donc la force C^-Hç-f-y (11^ — 8). agissant sur le treuil avec un rayon d'enrou- Itment II -h ne.
D'autre part, au rayon R — ne se trouve appliqué le poids q de la cage vide, augmenté de celui yr (H^ -h «') du second câble, puisque celle cage se trouve à la profondeur «' au-dessous de la rencontre. Il vient ainsi pour Tensemble :
M = [Q-h7 + x(H.-«)] (R -h ne) - [g -h /(Ho M-*')] (H-«el.
f* Si. par exemple, nous reprenons rbypolhèsr précédentp e — O^.OS, eo supposant une \ite39e de 10 tours par minute, ce rapport prend pour valeur 0,0004098, c'est-àdire un demi- millième. Avec les faibles épaisseurs des câbles d'acier, et leurs grands rayons d'enroulement, qui obligent & restreindre la vitesse angulaire pour conserver une allure modérée dans le puits, cette valeur s'abaisserait encore dans une mcsitre importante.
' Lorsqu'on aura acbevé numériquement, dans un cas donné, les calculs qui vont suifre en prenant pour Q le poids du charbon, il sera nécessaire de se rendre compte de ce que l'on obtient en fait de régularisation lorsque la cage contient seulement des hranmes.
OU, en ordonnant :
M = R [Q — /.(s-4-«')] -f- we j Q -4- 2<y H- / [SH, — (« — «')] j-
et, en substituant les valeurs (10) et (12) :
M = QR — yR.4n7rR + ne Fq -4- 2^ + / (h+ ^, — 2n«7re)
Vif *
Nous reconnaissons par là avec évidence que le moment M ne conserve pas à chaque instant, d'une manière constante, la valeur QR qu'il a au moment de la rencontre, lorsque les câbles et les poids morts s'équilibrent mutuellement. L'équilibre n'est donc qu'approximatif. Désignons par [x l'écart :
u. = M — QR,
du moment réel M sur cette valeur moyenne QR. Il aura pour expression, ordonnée par rapport à n :
jx = [(Q -h 2ç + yja)e + ^ - 47rxR«] n ^ 2^yehi\
Nous la mettrons provisoirement sous la forme plus simple
jx = An — Rn',
kV
en posant pour abréger :
A = (Qh-2çh-/H)c R = iizyey
850 — Pour faciliter la discussion de l'équation (15), nous construirons le tracé qu'elle représente, en portant en abscisses les valeurs de n, et en ordonnées celles de l'écart tx (fig. 575). Celte
RÉGILIRISATIO.N DE L'EXTRACTION. 447
courbe a son centre à Torigine 0, puisque son équation ne renferme que [des puissances impaires des variables. Elle a pour tan-
Fig. 575.
gente à Torigine la droite représentée par Tensemble des termes de moindre degré :
a = An.
La manière dont elle se trouve dirigée en ce point dépend d'ailleurs du signe de A. Nous supposerons en premier lieu :
Le tracé se relève alors au-dessus de Taxe des abscisses; mais comme, pour n = oo , on a u = — oo , en raison du signe essentiellement négatif du terme de degré le plus élevé, la courbe finit par repasser au-dessous. Elle coupe donc cet axe en un point 2', que nous déterminerons en supposant dans Téquation (13)
An' — Bn'» = 0,
valeur réelle d*après Thypothèse (16), puisque B est positit (15).
>ans l'intervalle, celte ligne présente nécessairement un poini icimum p", dont l'abscisse n" sera fournie par l'équalioii dériviV ;
' V 3lt ~ s/Z'
st facile de relier géométriquement ce point au prcctïdcnt. En ;, si de a" comme centre on dt^crit un demi-cercle de 0 en a'"; , de ce dernier point comme centre, avec la même ouverlui-c ompas, on trace un arc de cercle a"y; et qu'enfin, de 0 comme re, on rabatte Oj- sur l'axe des abscisses par un arc de cercle, irrivera précisément au point a.', comme le montrerait, d'apri'S •lalion (18), le triangle rectangle Of^f". tiant à la valeur a"^" du maximum, elle sera fournie par jation (13) :
a" — An" — Bn">
^éfVI-
laUions encore l'ordonnée i"'y" du point a'" que fournil la conction précédente, et qui a pour abscisse n"'i^ 2n" :
(i'" — n"' (A — M"') = In" [S. — A\ia"*)
cVst-à-dire :
/•/ If
Jl = —}L.
860 — Celte circonstance est importante, car elle nous montre que la portion de la courbe indéfinie qu'il convient d'utiliser pour le phénomène, essentiellement limité, de Textraction, en vue d*oblenir la meilleure régularisation possible, est justement celle qui s'élcnd de 0 en y (et d'autre part, sur une longueur égale, de 0
en ?/").
En eflet, puisque Fécart absolu (19) de la courbe par rapport à l'axe des abscisses est inévitable, nous avons intérêt à aller au moins jusqu'en ,3'", attendu que, par là, nous ne rencontrons nulle pari d'écart plus grand. Donc, en restant dans les mêmes limites (l'irrégularité, nous augmentons le développement en abscisse, ce qui revient à dire en d'autres termes que, pour une même étendue en abscisse (c est-à-dire un même nombre de tours, et par suite une même profondeur du puits) nous diminuons Fécart, et améliorons ainsi la régularisation. Nous avons également intérêt, d*un autre côté, à ne pas dépasser le point P'", car, sans cela, nous augmenterions gratuitement Fécart au delà de ce qui est inévitable, et la solution ainsi obtenue deviendrait moins satisfaisante que la précédente.
11 nous faut donc exprimer cette condition, ce qui se fera en identifiant la valeur extrême n'" avec la valeur finale (11) :
„ftf \ " .
On en déd uit :
" 2 ' «:cR'
el encore (18) :
Telles sont donc les abscisses des points essentiels du tracé.
EXTRACTIOS.
h. [a valeur absolue de l'écart, elle aura pour expression -.
(jl" ^ — [i'" ^= An" — lin"' = 2Bn""
irt à la valeur du moment moyen sera par conséquent :
1 raison du poids du câble par mètre courant, du carré aisseur, du cube de la profondeur, en raison inverse du s et de la quatn{;mc puissance du rayon à la rencontre, larquera que celte valeur maximum [j:" de l'écart se trouve iiatre fois pendant le mouvement, à savoir : deux fois en ux autres en moins; deux fois pour les extrémités et deni des points intermédiaires. En mfime temps, la valeur se réalise pour trois instants différents, à savoir : celui contre, et deux autres en des points intermédiaires. La rpenle entre ces diverses valeurs.
- Détermination des rayons. — Après avoir ainsi exprimé lions relatives au meilleur fonctionnement possible, il nettrc le constructeur en état de les réaliser, en lui fourvaleur des divers rayons h donner à l'appareil. Commenr r«Ia, par évaluer le rayon èi la rencontre, ur se trouve, dès à présent, déterminée implicitement ni préct^le, car nous possédons pour n' deux valeurs (17)
RÉGLLAfUSATIOX DE LEXTRACTION. 151
et (20/ qui doivent nécessairement être égales; d*où une relation renfermant Tinconnue R. Nous obtenons ainsi :
V B ■" 8ic R
c'esl-à-dire :
Rendons actuellement aux symboles A et B leurs valeurs (14) et (15). FI vient par là :
(Q + 2ç + ,H). -H 1^ - 4«xR» - -^ ' 2«/.^' = 0.
Si nous rauUiplions tous les termes de cette équation par le facteur :
4irR«
elle deviendra :
(Q+2î + yH)^^ + ^ - -^iii^ - ir = <>•
c'est-à-dire en réduisant et changeant tous les signes :
/4^tR«y Q -h 2y H~ yH /4:rR«\ __ J — A \ en ) yH V eH ; » '
Prenons enfin pour inconnue auxiliaire :
nous obtiendrons, pour Téquation résolvante, cette forme remarquablement simple après des calculs aussi compliqués :
