CHAPITRE VI

L'élimination de j^ entre les équations

/(^tr) = o, -^-=0

donne

d*oii

xz^o et xz=^ayji^ et les valeurs correspondantes de y sont

y=:Q et ^z=ay4»

àf

Le premier système (j:=o,j = o) annule ^j et il ne répond pas à la question du maximum ou du minimum ;

le deuxième système (j:=a^2, j^ = a v/4) répond à un maximum; on a effectivement

dx* àf

dx^

— ax

ày

14p. Considérons le cas général où Ton a m H- i variables x^y^ Zy Uf . . . liées entre elles par m équations

[ /[-'^^Xj ^» . . .) = 0,

^ fni—\ ( '^1 ^» ^> . . . j = O,

et supposons qu'on demande les valeurs maxima et minima de Tune des variables^ de j/ par exemple. On peut prendre Tune quelconque des variables pour variable indépendante ; choisissons x et écartons les valeurs de celte

variable pour lesquelles la dérivée y- devient disconli-

2l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

nue; la condition du maximum et du minimum sera

— = o, ou djrz=o.

La difTérentiation des équations (i) donne

ôf ^ df ^ df ^

dx ày àz

^^,i.-^%^dy^-^-à dz+,,.^0,

[i] { dx ày àz

— j — dx H r — dy H T — dz -4- . . . = o ;

àx ày àz

si Ton désigne par Y le déterminant formé avec les rr^

quantités

àf df

par

àz'

àf àz'

df„.

ày

àfm-\ àz '

! devient '

y quand

on y r(

àf

ày

àf à/

àf

àf àx

le résultat de Félimination des différentielles dz^ . . . entre les équations (2) sera