NOTIONS PRÉLIMINAIRES

Des /onctions.

1* Parmi les quantités qui intervienueut dans une recherche mathématique, il y a Heu de distinguer celles dont la valeur est déterminée et celles qui sont susceptibles de prendre plusieurs valeurs différentes. Les premières sont désignées sous le nom de constantes, les autres sont dites des variables.

Dans toute question où il y a lieu de considérer plusieurs variables, on peut attribuer à quelques-unes de ces variables des valeurs arbitraires, et alors les autres variables prennent des valeurs déterminées. Les premières sont nommées variables indépendantes, les autres sont

s. — Cale, diff, I

a CALCUL DIFFÉRENTIEL.

dites variables dépendantes ovl fonctions des variables indépendantes.

Ainsi la considération du cercle conduit à trois quantités : le rayon, la circonférence et la surface. Si l'on attribue à Tune d'elles diverses valeurs arbitraires, les deux autres prennent des valeurs correspondantes déterminées, et en conséquence elles sont des fonctions de la première quantité, qui est ici la variable indépendante.

Dans un cylindre, il y a lieu de considérer quatre quantités : le rayon, la hauteur, la surface et le volume. On peut attribuer à deux d'entre elles des valeurs arbitraires ; les deux autres prennent alors des valeurs déterminées : elles sont donc fonctions de deux variables indépendantes.

2. Les fonctions que nous considérerons seront en général définies analjtiquement, c'est-à-dire par le moyen des relations ou équations qui existent entre elles et les variables indépendantes.

Une fonction est dite algébrique lorsque l'équation par laquelle elle est liée aux variables indépendantes peut être formée en n'exécutant sur les variables que les seules opérations de l'Algèbre : i° l'addition et la soustraction; 2° la multiplication; 3^ la division; 4** l'élévation à des puissances entières ; 5° l'extraction des racines d'indices entiers. Dans le cas contraire, la fonction est transcendante.

Lorsque l'équation qui lie une fonction aux variables indépendantes est résolue par rapport à la fonction, celle-ci est dite une fonction explicite. Dans le cas contraire, la fonction est implicite. On voit que les fonctions explicites sont celles dont la valeur peut être obtenue en exécutant sur les variables et sur des constantes une ou plusieurs opérations bien définies.

CHAPITKE I. 3

Les fonctions algébriques explicites sont rationnelles lorsque dans leur expression ne figure aucun radical affectant une quantité variable ; elles sont irrationAelles dans le cas contraire. Les fonctions rationnelles se subdivisent elles-mêmes en fonctions entières e% en fonctions fractionnaires* Une fonction entière n'est autre chose qu'un polynôme ; une fonction fractionnaire est le quotient de deux polynômes.

Le plus souvent nous désignerons les fonctions par de simples lettres, de même que les variables indépendantes. Toutefois, quand il y aura lieu de mettre celles-ci en évidence, nous emploierons les signes habituels F,/*, (p, ...| après lesquels figureront, entre deux parenthèses, les diverses variables indépendantes. Ainsi F(x), j{x) ^{x)y ... désigneront des fonctions de la variable x; ^{^yj)yf{^9y)) ••• désigneront de même des fonctions des deux variables x, y.

Des limites.

3. Lorsque les valeurs successives d^une variable x se rapprochent de plus en plus de la valeur d'une constante a, de manière que la valeur absolue de la différence X — a puisse devenir et demeurer constamment inférieure à une quantité donnée quelconque, on dit que la variable x a pour limite la constante a.

Il faut remarquer que la variable peut être inférieure ou supérieure à sa limite; il peut nnême arriver qu'elle soit tantôt plus petite, tantôt plus grande que cette limite. Le lecteur est déjà familiarisé avec cette notion des limites par l'étude de la Géométrie et de la Trigonométrie. On sait, par exemple, que la surface du cercle est la limite vers laquelle tend la surface d'un polygone régulier inscrit ou circonscrit, lorsque le nombre des côtés de ce

polygone augmente indéfiniment. On a vu aussi, dans la

Trigonométrie, que les rapports » — -^ ont pour

limite Tunité lorsque Tare x décroit indéfiniment.

Je rappellerai encore le principe de la méthode des limites, dont on fait un si grand usage dans les Mathématiques ; ce principe peut être énoncé comme il suit :

Si deux quantités variables restent constamment égales entre elles dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent, et si l'une d'entre elles tend vers une limite, l'autre tend vers la même limite ou vers une limite égale*

L'évidence de cette proposition est telle, que tout développement serait superflu; son importance est d'ail* leurs révélée par les nombreuses applications qu'on en a faites dans la Géométrie.

Des infiniment petits et des infiniment grands»

4. Lorsqu'une quantité variable tend vers la limite zéro^ on dit qu'elle devient infiniment petite; on la nomme alors un infiniment petit.

Lorsqu'une variable croît indéfiniment, de manière à pouvoir devenir et à rester constamment supérieure à une quantité quelconque donnée, on dit qu'elle devient infiniment grande, ou simplement infinie.

Ces locutions d^ infiniment petit et d* infiniment grand n'ont donc pas d'autre objet que l'abréviation du langage. Ainsi, au lieu de dire que sinx tend vers la limite zéro, et que cotx croît au delà de toute limite quand or tend vers zéro, nous dirons que, x étant un infiniment petit, sinx est lui-même un infiniment petit et cotx un infiniment grand.