CHAPITRE T. S
Dwers ordres d'infiniment petits.
5. Les infiniment petits étant des quantités essentiellement variables, il y a lieu de leur appliquer ce que nous avons dit plus haut des variables en général, que nous avons distinguées en variables indépendantes et en variables dépendantes. Mais tous les cas se ramènent toujours à celui où les infiniment petits que Ton a à considérer dépendent de l'un d'entre eux; ce cas est le seul qu'il y ait lieu d'examiner ici.
Parmi les infiniment petits qui interviennent dans une recherche analytique, on en choisit un arbitrairement, auquel on donne le nom d^ infiniment petit prin^ cipal et auquel on compare les autres Infiniment petits, comme nous allons l'indiquer.
Soient a l'infiniment petit principal, 6 un deuxième
infiniment petit : on aura, par la nature de ces quantités,
lima = o, lim6 = o. Gela posé, si le rapport- tend
vers une limite finie k différente de zéro,.de manière que l'on ait
€ étant un infiniment petit, nous dirons que 6 est un infiniment petit du premier ordre. La formule précédente donne
et elle fournit ainsi l'expression générale des infiniment
petits du premier ordre.
t Si le rapport - est un infiniment petit du premier
ordre, nous dirons que 6 est un infiniment petit du deuxième ordre . Dans cette hypothèse on a, par ce qui
CALCUL DIFFÉREM
précède,
ou
formule qui donne l'expression générale des infiniment petits du deuxième ordre ; k y désigne une quantité finie et déterminée différente de zéro; e est un infiniment petit.
En général, 6 sera dit un infiniment petit du n'*""' ordre
si le rapport - est un infiniment petit d'ordre n — i.
Et si l'on admet que
soit l'expression générale des infiniment petits d'ordre n — I , on aura
ce
ou
d'où l'on conclut que cette formule contient l'expression générale des infiniment petits du n*^'"'' ordre, quel que soit l'entier /i, k désignant, nous devons le répéter, une quantité finie et déterminée difiiérente de zéro, et£ étant un infiniment petit. Le produit ka'^ est le terme principal de rinfiniment petit d'ordre n représenté par S.
D'après ce qui précède, on peut dire aussi que l'ordre infinitésimal d'un infiniment petit 6 est l'exposant n de la puissance à laquelle il faut élever l'infiniment petit
principal a pour obtenir un rapport ~ dont la limite soit
une quantité finie et déterminée difiiérente de zéro. Notre définition, ainsi transformée, embrasse le cas où n ne
