Désignons par -j - les coordonnées rectilignes
JC Y
par u une fonction homogène de x, y, z, et considérons la courbe représentée par Téquation
(l) HI--0.
CHÀPITKE yu» 257
Nous ferons, pour abréger,
du du du
puis
ô^u ôui d^u dui du^
d? "" d? ~" "*'*' d^d'x ~~dx ""di"^ "*'"
d^u du^ d^u du^ dui
d^ ~ d^ "" ""'*' d^z ■" di^ — d7 "" "*•"
d^H dttj d*u du^ du^
d? ~" d7 "^ "»•*' d^di ~ "âï "" "^ "^ "*'»'
En différentiant l'équation (i), on a, comme nous Pavons déjà trouvé,
fa) u^d — \- Umd- =0.
Soit n le degré d'homogénéité de la fonction u; U| et Ua auront le degré n — i , et l'on aura
du^ = z(u^,^d^ -f-„j,^n -î(ii,jaj J,
SI donc on différentie Téquation (2) en regardant la dif-
férentielle de - comme constante, et qu'on réduise le résultat par le moyen de la même équation (2), on aura
Maintenant la condition des points d'inflexion est
S. Cale, dijf^ i^
et, si la fonction Ua reste finie, elle réduit l'équation (3) à
(5) «,,(^f)V.«...(rff) (^^) + «,.,(rff)'=o.
Mais il faut remarquer que l'équation (5) n'entraîne plus l'équation (4) quand on a ua = o; dans ce cas on a aussi m< = o, par l'équation (a), et Us = o, par la formule identique
UiX -h u^y -I- «3 z = ntf = o.
11 résulte de là que la formule ( 5 ) convient à la fois aux points d'inflexion et aux points qui satisfont simultanément aux trois équations
(6) tt, = o, w, = o, «, = G.
Il reste à éliminer entre les équations (a) et (5) le rapport des difl'érentielles rf - » rf - -, on obtient immédia-
z z tement
(7 ) «l.t "î — 2 «,., tt, K, -I- «,,, u\ = o,
mais cette équation peut être simplifiée. Effectivement; si 9 entre les quatre équations identiques
{8j 111/ = «lor -f- ttj^ -h 1/3*
et
on élimine x, ^ et ms, on trouvera
CHAPIT1IE VII. aSg
en posant, pour abréger,
OU
(il) {
Quelle que soit la forme de la fonction homogène u, le cas de 71 = I peut toujours être évité en multipliant u par une puissance de z. Alors, au moyen de la formule identique (10) et de l'équation u = o, Téquation (7) se réduit à
1 75. Supposons que la courbe proposée soit algébrique et que u soit une fonction entière et homogène d'un degré entier et positif /i; l'équation (7) sera du degré 3/i — 4> tandis que l'équation (12) sera seulement du degré 3(« — 2) ou 3/1 — 6. Si l'on considère les solutions imaginaires que peuvent admettre deux équations, comme répondant à un point imaginaire commun aux courbes représentées par ces deux équations, on pourra énoncer le théorème suivant dû à Hesse :
Théorème I. — Les points d^ inflexion d^une courbe algébrique du degré n sont situés sur une seconde courbe algébrique du degré 3 (/i — a).
Et si les coefficients de la courbe demeurent indéterminés, de manière qu'il n'existe entre eux aucune relation, les équations (6) du numéro précédent n'admettront pas de solution commune ; par conséquent les points d'intersection des courbes ( i ) et ( 1 2) seront pour la courbe ( i ) des points d'inflexion. D'ailleurs on sait, parle théorème de Bezout, que l'élimination d'une variable entre les équations (i) et (12) conduit à une équation finale dont
a6o CALCUL DIFFÉHEIÎTIEL.
le degré est égal au produit des degrés des deux équations; on a donc cet autre théorème :
THÉORkuE II. — Une courbe algébrique du degré n dont les coefficients demeurent indéterminés aZn{n — a) points d'inflexion*
On voit en particulier que les courbes du deuxième degré n'ont pas de points d'inflexion, ce qui est connu, et qu'une courbe du troisième degré a en général neuf points d'inflexion réels ou imaginaires.
La fonction H(u), définie par l'équation (ii)y est le déterminant formé avec les neuf dérivées partielles du deuxième ordre de la fonction u, savoir :
Hesse l'a nommé le déterminant de la fonction u. Ce déterminant est le dénominateur commun des expressions que l'on obtiendrait en résolvant les équations ( 9) par rapport k x, y^ z'^iX en résulte que l'équation (la)
est toujours satisfaite par les valeurs de ~> -9 susceptibles de satisfaire aux trois équations (6), proposition que nous avons déjà établie plus haut.
Des points singuliers des courbes planes.
176. Considérons un point M d'une courbe plane; menons la tangente TT' au point M, traçons ensuite un contour fermé et convexe infiniment petit, dans l'intérieur duquel se trouve le point M; on peut prendre, si l'on veut, pour le contour dont il s'agit, la circonférence d'un cercle décrit du point M comme centre, avec un
CBAPITBE VII. a6l
rayon infiniment petit. En général, le contour ainsi formé ne coupera la courbe qu'en deux points m^ m!^ et les
rayons Mm, Mm^ feront des angles infiniment petits avec les directions respectives MT, MT'de la tangente; par conséquent Tangle de ces rayons difi(érera infiniment peu de deux angles droits.
Lorsque ces deux circonstances ne se présentent pas simultanément, le point ]V][ est dit un point singulier. Nous allons énumérer les diverses espèces de points singuliers que Ton peut rencontrer.
1° Points multiples. — On nomme points multiples ceux où se croisent plusieurs branches de courbe tan-
gentes ou non les unes aux autres. Le cercle décrit d'un point multiple comme centre, avec un rayon infiniment petit, coupe la courbe en plus de deux points.
2*^ PoiKTS DE REBROUSSEMENT. — On uommc points de rebroussement ceux où deux branches de courbe viennent s'arrêter et où elles ont une tangente commune. Le cercle décrit d'un point de rebroussement comme centre, avec un rayon infiniment petit, ne rencontre la courbe qu'en deux points; mais les rayons qui passent
a6a CALCUL différentiel.
par ces deux points font entre eux un angle infiniment petit.
On distingue les points de rebroussement en deux
genres. Le rebroussement est dit d\i premier genre lorsque les deux branches de courbe sont situées de part et d'autre de la tangente commune ; au contraire il est du deuxième genre quand les deux branches de courbe sont d'un même côté de la tangente.
3° Points isolés. — On nomme points isoles les points qui ne sont voisins d'aucun autre point de la courbe. Le cercle décrit d'un point isolé, comme centre, avec un rayon infiniment petit, ne rencontre la courbe en aucun point.
4° Points n'AimiT. — On nomme point d'arrêt un point où une branche unique d'une courbe vient brusquement s'arrêter. Le cercle décrit d'un point d'arrêt, comme centre, avec un rayon infiniment petit, ne rencontre la courbe qu'en un seul point.
5® Points saillants ou anguleux. — On nomme point saillant ou anguleux un point où viennent se terminer deux branches de courbe qui ont en ce point des tangentes distinctes. Le cercle décrit d'un point saillant,
