CHAPITRE VU» âSâ

OU» i cause de l'équation [4)t

Ajoutons au premier membre la quantité identiquement

nulle

\Z z) ôz^

réduisons ensuite par le moyen de la formule (3) et chassons le dénominateur Z ; Téquation de la tangente sera .simplement

(5) xJ^+y|^+Z^ = o.

^ ' ojc ojr à»

172. Exemple. — Considérons le cas des courbes du deuxième degré. On a ici

puis

2 dz '' '

Téquation de la tangente au point (x, y^ z) sera donc

(£«: 4- <r -h *'«)X-4- (c' j? -f- ô^ -f- a'») Y-h (è'x + ûf'^ -t- cz)Z = o.

Si Ton veut revenir à la notation ordinaire des coordonnées, on fera z = i , Z = i .

173. Le résultat obtenu au n^ 171 nous donne immédiatement le théorème suivant :

Théorème I. — Les points de contact d'une coiu*be

a56 C4LCUL DIFFÉRENTIEL.

algébrique du degré n avec les tangentes qu'on peut lui mener par un point donné sont situés sur une seconde courbe algébrique de degré n — i .

En efiety si Ton suppose que la courbe donnée du degré n soit représentée par Féquation (i) du n** 171, les points de contact des tangentes menées à cette courbe par un point donné (X, Y, Z) satisferont à Téquation (5), et il est évident que cette équation (5) représente une courbe du degré n — i .

Supposons que le point donné occupe successivement toutes les positions sur une droite donnée ; le précédent théorème subsistera pour chacune de ses positions, même quand le point donné sera situé à Tinfini. On a donc cet autre théorème :

Théorème II. — Les points de contact d'une courbe algébrique du degré n avec les tangentes qu'ion peut lui mener parallèlement à une direction donnée sont situés sur une courbe de degré n — i .

Remarque. — Ce dernier théorème se démontre trèssimplement sans recourir à l'emploi des coordonnées homogènes ; mais la démonstration du théorème I exige une transformation quand on fait usage des coordonnées ordinaires.

Rechercha des points d^ inflexion des courbes.