Exemple d'un point double ou d'un point isolé

— Considérons la courbe représentée en coordonnées

rectilignes par l'équation

r=?[^) -4- (^ - «) (^^yî

(f (x) désigne une fonction de x bien déterminée, qui reste réelle et finie; a, b^ c sont des lignes positives

données ; enfin ~ est une fraction irréductible dont le

dénominateur est pair.

Le facteur I J ayant deux valeurs égales et de

signes contraires, la courbe dont nous nous occupons est formée de deux branches auxquelles appartiennent respectivement les équations

a64 CiLCUL DIFFÉRENTIEL.

OÙ Ton prend positivement l'expression ( 1 • Les

valeurs de -^ relatives à ces deux branches de courbe sont dx

données par la formule ety pour j: = a, on a

Supposons a^b. Dans ce cas, les deux branches de courbe se réunissent en un point dont Tabscisse est a, mais elles ne s'y arrêtent pas brusquement, puisque Fordonnée de chacune d'elles reste réelle quand on pose X -= a±h. En outre, ces branches de courbe ont des tangentes distinctes au point où elles se rencontrent; on voit que celui-ci est un point double.

dr Dans le cas de a<^b, la valeur précédente de -j- est

imaginaire; il n'y a donc pas de tangente au point dont l'abscisse est a. La valeur de^ relative à chaque branche de courbe devient imaginaire pour x = azhhf et en conséquence le point qui a pour coordonnées x = a^ j^=:<y(a) est un point isolé.

178. Exemple d'un point de rebroussement dd premier ou DU DEUXIÈME GENRE. — Cousidérous la courbe représentée par l'équation

p <f (x) et ^{x) étant des fonctions bien déterminées qui