CHAPITRE VII. a

demeurent ^réelles et finies; a une constante donnée; - une fraction irréductible positive et supérieure à i,

dont le dénominateur est pair. Comme dans Texemple précédent, la courbe peut être regardée comme composée de deux branches qui répondent respectivement au signe -\- et au signe — du dernier terme de l'équation.

Les deux valeurs de y sont réelles et inégales pour X > a, elles deviennent égales pour x = a, et imaginaires pour X <Cia. Ainsi les deux branches de courbe s'arrêtent Tune et l'autre au point dont l'abscisse est a.

L'expression de - - est

et, pour x = ay elle se réduit, à cause de - ]> i, à la valeur unique (^(a) . Les deux branches de courbe ont donc même tangente au point où elles se rencontrent; par conséquent, celui-ci est un point de rebroussement.

Il est évident (n** 168) que le rebroussement sera du premier genre ou du deuxième genre, selon que les va-

leurs de -— -- qui répondent aux deux branches de courbe

seront de signes contraires ou de même signe pour x = a-f-A, A étant un infiniment petit; l'expression de

-^- = y'(«) ± (* - a jH»(x) d= 2 ^ {^ - «)» f (*)

Lorsque - est > a, les deux valeurs de --4- diffèrent

infiniment peu de ^'\a), pour x = a-^h\ donc, si ^{ti) n'est pas nulle, le rebroussement est du deuxième genre. Cette conclusion subsiste dans le cas où <^'{€l) est nulle^ pourvu que l'ordre infinitésimal de ç''(a + A) soit infé-

rieur à^^ q.

Lorsque - est <C 2, les deux valeurs de -^-Ç sont infinies pour j:=a, et il est évident qu'elles sont de signes contraires pour a: = a 4- /» ; donc le rebroussement est du premier genre.

Les courbes représentées par les équations

font partie de la classe de celles que nous venons de considérer. L'origine des coordonnées est un point de rebroussement du premier genre, pour la première courbe, et un point de rebroussement du deuxième genre pour la seconde.

179. Exemple d'un point d'arrêt. — La courbe représentée par l'équation

ofire l'exemple d'un point d'arrêt, à rorigine des coordonnées. Si l'on fait croître a: de o à 4- 00 , l'ordonnée j^

décroît de -f- 00 à 4- i, et l'on a une première branche de courbe située dans l'angle des coordonnées positives;

CHAPITHE VII. 267

cette branche de courbe a pour asymptotes l'axe des j^ et une parallèle à Taxe des x répondant à une ordonnée égale à I . Si Ton fait décroître a: de o à — oo , la valeur de y croît de o à -|~ i , et Ton a ainsi une deuxième branche de courbe qui s'arrête brusquement à l'origine. Il faut remarquer que la fonction y devient discontinue quand x varie de — h k -\~h,h étant infiniment petit; elle passe brusquement d'une valeur infiniment petite à une valeur infiniment grande, et, pour x = Oy elle a les deux valeurs o et 00 .

180. Exemple n'uw point sàillâist. — La courbe représentée par l'équation

i-he*

ofire l'exemple d'un point saillant à l'origine des coordonnées.

Pour avoir la tangente à l'origine, il suffît (n® 163) de prendre la limite du rapport

pour a: = o. Or, quand x tend vers zéro, é' tend vers o ou vers 4- 00 , suivant que x est positive ou négative ; il y a donc, à l'origine, deux tangentes dont les coefficients

d'inclinaison sont respectivement o et i . La courbe est ainsi composée de deux branches : Tune, OG, est située dans Tangle des coordonnées positives et elle est tangente, à Torigine, à Taxe des abscisses ; l'autre branche, OH, est située dans l'angle des coordonnées négatives et a pour tangente, à l'origine, la bissectrice OT de cet angle ; donc l'origine est un point saillant de la courbe.

Caractère analytique des points singuliers»

181. Nous allons établir ici un théorème général qui embrasse une classe étendue de courbes et qui fait connaître une condition commune à laquelle doivent satisfaire tous les points singuliers.

Théorème. — Soitf{x,j) une fonction des 'variables Xy jj qui reste continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, et qui prenne une valeur bien déterminée quand on donne à x et à y des valeurs déterminées. Si Xq, yo désignent les coordonnées rectilignes d^un point singulier de la courbe représentée par V équation

les équations

admettront toujours la solution a: = Xo, y=^y^.

En effet, désignons par Xo, y^ les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe, et par 6 l'angle des axes coordonnés ; décrivons un cercle du point M comme centre, avec le rayon infiniment petit p, et nommons •^0 4- A, j^o H- ^ les coordonnées d'un point m de la circonférence. On aura

CHAPiTKE y II. af)9

et la condition pour que le point m appartienne à la courbe sera

Au moyen de la formule de Taylor, cette équation devient

en posant

l'indice o exprime ici qu'il faut remarquera: et ^ par x^ et j^o î rindice i indique que x et j^ doivent être remplacées par des valeurs comprises respectivement. entre Xo et Xfi H- hy jo et y^^ -f- Ar.

Soit 0) Tangle que le rayon M/w = p fait avec Taxe des Xj on aura

, sin ( ô — 6) ) , sin u

•^ sinô ^ smô

et l'équation (3) divisée par p deviendra

(tf\ (^f\ sin(Ô — w] /d/\ sinw R,

(^) idij. sinO -^ \'dx),-^9 + 7 = °'

il faut remarquer que — ? s'annule avec p. Cela posé, si

( %- j et ( ^ I ne sont pas nulles simultanément, on

pourra trouver une quantité positive M et un angle a, tels que l'on ait

car M et a ne sont autre chose que les coordonnées po-

2yO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

laires du point qui aurait les coordonnées rectilignes

-:—i [-T-] et r-T ( ^- ) • Au moyen des formules (6),

sinô \dx/o sinO \dx/o «^ ^ ^

Téquation (5) devient

(7) Msinfw — «) H =0,

et, comme il est permis de négliger dans tù les multiples de la circonférence y cette équation ne peut être satisfaite que si o) diffère infiniment peu de a ou de tt + a. Donc, pour connaître le nombre des racines (ù de notre équation, il suffit d'examiner comment varie son premier membre

(8) Msinfw — «)-i-5j,

quand co varie de a — c à a -|~ e ou de (tt -h a) — r à (tc -4- a) -f- e, Ê étant une quantité aussi petite que l'on voudra, mais déterminée.

Or, d'après notre hypothèse, la quantité

est une fonction continue de A et de h\ donc — ^ est une

fonction continue de o); en outre cette fonction s'annule pour /9 = o, quel que soit tù\ par conséquent, la

même chose a lieu à Tégard de la dérivée — r^^ Cela

au

étant, la dérivée de l'expression (8) par rapport à cd est

ail

Mcos(a> — a) -4-—/"»

et elle difFère aussi peu que Ton veut de + M ou de — M, lorsque cd — oc diffère suffisamment peu de o ou