CHAPITRE Vlll
Cette formule montre que la tangente au point M de répicycloïde est la droite MT qui joint le point M au point T diamétralement opposé à P, dans le cercle A. Effectivement Tangle que fait cette ligne MT avec l'axe des X est égal à la somme des angles ÂOx, OTM, somme
qui est toujours égale à /icp+ -> en négligeant les raul-
tiples de la demi-circonférence. Il résulte de là que la normale au point M de Tépicycloïde est la droite MP qui joint le point M au point de contact actuel des deux circonférences O et A.
240. Rectification de l'épicycloïde. — Si l'on ajoute les équations (2), après les avoir élevées au carré, et qu'on extraie ensuite la racine carrée de l'équation obtenue, il viendra
(4) -' = ?(«^-Osm|^?;
et, par conséquent,
- = — âln-T- i) ces - -t- coQst«
Supposons que H soit l'origine de l'arc s, on aura simultanément 5^= o et (p= o; la constante est donc 4(«-h i), et l'on a
i=4(/H-i) f'i — cos^\ =8{/i-4-i)sin«|.
Pour avoir la longueur de Tare S qui forme l'une des branches de la courbe, il faudra faire cp= air, et Ton aura
2 il . Quadrature de l'épigtcloïde. — Les formules ( i )
S. — Cale, diff, a3
354 CALCUL DTFFÉREWTIEL.
et (a) donnent
xdy — ydx (/? -|- i) {'2/? -f- i)
tf* n
(l — COSf»)
ou
du •=. ' '— rt* [dff — cosy cry),
IX étant l'aire comprise entre la courbe, le rayon vecteur OM du point M et Taxe des x. Or c/qp — cosy <iy est la dilTérentielle de cp — sincp; d'ailleurs cette fonction s'annule, ainsi que 1/, pour ^ = o : donc on a
(/H-i) [2wH-l) . .
Il :^ .^ L^ L a«(ip — SinoJ.
Si Ton veut l'aire U comprise entre une branche entière de la courbe et les rayons extrêmes, il faudra faire (y = 27r, ce qui donnera
n Le secteur circulaire compris entre les mêmes rayons extrêmes a pour valeur ; l'aire comprise entre le cercle
fixe et la branche de courbe considérée est donc U
en désignant par U| cette aire, on aura
U,= (2/l-h3)7Tû*;
comme nous admettons pour n des valeurs négatives, cette formule convient au cas de l'épicycloïde intérieure comme à celui de l'épicycloïde extérieure ; elle se réduit àUi =3îra^, dans le cas de /7 = o, et l'on retrouve ainsi le résultat relatif à la cycloïde, obtenu précédemment.
242. Rayon de counBuuE de l'épicycloïde. — La formule (3) montre que l'angle de contingence da est égal à
