CHAPITRE VIII

extérieure considérée soit engendrée par un point M du cercle A roulant sur le cercle fixe O. Soient H Tun des points du cercle fixe avec lesquels le point générateur peut venir coïncider, et P le point de contact actuel des deux circonférences. Joignons ÂIVI et construisons sur

les lignes AO, AM le parallélogramme OAMA'; décrivons enfin une circonférence du point A' comme centre avec le rayon A'M. Celte circonférence sera tangente à la circonférence O en un point P' situé sur le prolongement de la ligne OA'; car, si Ton désigne par /• le rayoi^ du cercle O, par a et a' les rayons des cercles A et A', on a évidemment

dans le cas de l'épicycloïde intérieure, et

dans le cas de l'épicycloïde extérieure.

Maintenant les angles PAM, P'A'M, POP' étant égaux

35o CALCUL DIFFéREITTIEL.

entre eux, on a

arcPM arcP'M arcPP'

arcP'M-':arcPM

arcPP' — - .. . j

et, comme a^ztza est égal à r, on a

arcP'M =h arcPM . - arcP'H ±l arcPH;

les signes supérieurs répondent à Tépicycloïde intérieure, les inférieurs à Tépicycloïde extérieure. Or, dans les deux cas, on a

arcPM = arcPH,

par la nature de la courbe ; donc on a aussi

arcP'M - arcP'H,

et, en conséquence, l'épicycloïde peut être engendrée par un point M de Tune ou de l'autre des circonférences A, A' roulant sur la circonférence O.

238. Rapportons la courbe à deux axes rectangulaires Oxy Oy^ dont le premier passe par le point H, et désignons par cf l'angle MAP dont a tourné le rayon AM du point générateur en s'écartant de sa direction initiale HO ; cet angle ç pourra varier de — oo à -|- oo , car on peut regarder le mouvement comme indéfini. L'arc PM et son égal PH seront alors représentés par aq) et l'angle

POH sera ''^.

Soient X = OQ, y =. MQ les coordonnées du point M; si l'on abaisse AB perpendiculaire sur Ox et MG perpendiculaire sur AB, on aura, d'après la figure,

X — OB -h MC, ^ ^ AB — AC,

CHAPITUE YIII.

et les triangles OAB, OMC donneront

X- (rLCû)cos —^ zpûcos I — î- it 9]) X — . (rzb «) sm -^ — flsin ^ -^ di ç» 1-,

les signes supérieurs ayant lieu pour répicycloïde extérieure et les inférieurs pour répicycloïde intérieure. Posons

on aura, pour l'épi cycloïde extérieure,

jr rt-f-l / . ^

- = COS/ÎO — CCS { 71 -t- 1)9,

.an ^ \ JT7

- = sm/zo — sm /2 -+- iio-

et ces formules conviendront aussi à Tépicycloïde intérieure, si l'on y remplace a, n, ç, par — a, — n, — cp, L'épicycloïde est une courbe algébrique lorsque le nombre positif ou négatif n est rationnel. Il convient

de remarquer le cas de n = ? qui est celui de l'épi-

cycloïde intérieure rectiligne; la deuxième équation (i) devient j=o, et la courbe se réduit à un diamètre du cercle fixe.

Dans le cas de « = — -, les équations (i) deviennent, en changeant a en — a, ç en — ©,

- r= 3 ces "7 -h COS -y- :=r 4 COS' -7?

- m 3 sin 7 -— sm -~ = 4 sm* -7»

35a ' CALCUL DirrÉRENTIEL.

d'où, par rélimination de (fj et en remettant r au lie de 4^9

Dans le cas de /i = i , on a

=:COSç)(l — COSy), =Mn9>(l — COS^j.

Si Ton désigne par |0 et &> deux coordonnées polaires, telles que

X — a=:pCOSW, ^::=pSinw,

les formules précédentes donneront

tangy =^ tangw, d'où y == «, et

p=:2a(i — cosft)) ou p=:4^sin*-M,

En général, répicycloïde est formée d'une infinité de branches égales entre elles, et les points où ces branches se terminent sur le cercle fixe sont des points de rebroussement. Le nombre des branches devient limité quand le rapport n est un nombre rationnel.

239. Tawgewte et normale. a l'épicycloïdk. — La difi'érentiation des équations (i) donne

l — ==(/? -hi) [sin(rt-+-i)^ — sin/î9)]f/^ = 2(/î-{-i)sm - cos ( «? 4- -1 ^?,

=::(7ï-hi)[cos/iy — cos(/7-f- i)f>j^y=^2(/7 -hi)sin-sin ( wy H — ) «^?» d'où (3) ^i = ^"g^^ + f)-