CHAPITRE IX

perpendiculaire à Oz, et il est compris entre une droite fixe Ox située dans le plan xy et la projection du rayon r sur le plan xOy, Si Ton désigne par x, y^ z trois coordonnées rectangulaires associées aux coordonnées polaires et relatives aux axes Ox, Oy^ Oz, on aura

ar=: rsinôcosif'i j^ = rsinô sin^J/, zr^rcosô,

d'où

dx = ifrsind cosif» 4- r cosô cosiJ»</0 — r sinô ^n-^d^^ dy z=i drûviB sin^Ji -+- rcosô sin^»^© + rsinô oo^-^d-^^ dz = drcos9 — rsinOdQ;

élevant au carré, ajoutant ensuite et extrayant la racine carrée du résultat, il viendra

ds — yldr^ -f- r^dQ^ -f- /•• ^vû}Bd^^.

Il est facile d'obtenir directement la formule précédente. Effectivement, dans le système des coordonnées polaires, les points de Tespace sont déterminés par Tintersection de trois familles de surfaces qui sont : 1" des sphères concentriques dont r désigne généralement le rayon; 7? des cônes de révolution autour de Taxe Oz et dont l'angle générateur est 0; 3" des plans passant par l'axe Oz et dont ^ désigne Tinclinaison sur le plan fixe zOx. Cela posé, considérons le parallélépipède curviligne dont deux sommets opposés coïncident avec les extrémités de Tare Aa* d'une courbe donnée et qui est déterminé par les sphères de rayons r, r -f- A/', par les cônes dont les angles sont 0, 9 H- A9 ; enfin par les plans qui répondent aux angles ^, «{^ -f- A^". La base de ce parallélépipède sur la sphère de rayon r est un rectangle formé par quatre arcs de cercle; deux côtés opposés sont égaux à rùS et les deux autres côtés sont rsinOA^p,

38o CALCUL DIFFÉRESTiEL.

r sin(6 + ÙO) A^, enfin Tare A5 se projette sur la sphère suivant une diagonale y du rectangle. Les trois arcs de cercle rA9, rsindAïf», y ne diffèrent respectivement de leurs cordes que par des quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes ; d^ailleurs les deux premières de ces cordes font entre elles un angle qui diffère infiniment peu d^un angle droit; donc on a

en négligeant un infiniment petit relativement à y^; pareillement ùs et y diffèrent de leurs cordes par des quantités infiniment petites relativement à ces arcs, et l'angle formé par Ar avec la corde de y diffère infiniment peu d'un angle droit ; on a donc

en négligeant un infiniment petit par rapport à As^. Les deux formules précédentes donnent