I -f- ^-^ H- Ti dx ; donc on a

1 H — '- ! dx

(5) ds = yjdx^ H- dj^ -f- dz^.

258. 11 résulte de cette formule que la limite du rap^ port d'un arc de courbe infiniment petit à sa corde est égale à l'unité, proposition déjà établie au n^ 189 dans le cas des courbes planes.

Car, soit c la corde d'un arc infiniment petit MM'; si l'on désigne par s un arc de la courbe, terminé en M et compté à partir d'une origine arbitraire, on pourra re-

présenter MM' par As; alors on aura

Ax» A.i:-

et, par suite,

Iim — = —

Cette propriété permet, comme dans le cas des courbes planes, de trouver facilement l'expression de la difTérenlielle d'un arc de courbe, quand on emploie, au lieu des coordonnées rectangulaires, des variables quelconques. Par exemple, si Ton adopte des coordonnées obliques et que aL^Z^y désignent les angles formé* par les axes OjK et Oz, Oz et Oj:, Ox et O^, pour avoir la différentielle d'un arc s de courbe, on écrira

,. Aj ,. c ,. , / A^ Ai» Ly A3 A3 - Ly

lim -- = Iim — =z hm 4 / I + -^ H -h 2 -=^ — ■ cosa -f- 2 — cos€-f- «î -^ CO87

Ax Ax y A.r* A.r« A.r Ax Ajt Ax '

4r* dz^ dy dz dz ^ dy

+ 2 -7- -r- COSa + 2 3- COS5-4- 2 -7- COS7,

dx y é/x* ctr* dx dx dx dx

€& = Jdc^ -I- r/j* -i- d:^ -\- idydz cosa -t- idztlr. cos6 -h 'ï.dxdy cosy.

259. Dans le système des coordonnées polaires, chaque point de l'espace est déterminé par un rayon vecteur r et par deux angles 0, ^; l'angle d, compris entre zéro et 180 degrés, est celui que forme la direction du rayon r avec un axe fixe Oz; l'angle ^ peut varier de zéro à 36o degrés ; il est situé dans un plan xO/