CHAPITRE nt
tives des axes^ l'une ou l'autre des directions de la tangente, sont proportionnels ( n^ 2d1 ) aux différentielles
dxy djr^ dz.
Or, si l'on désigne par s l'arc de la courbe compris entre une origine fixe arbitraire et le point M, la somme des carrés des trois différentielles dont nous venons de parler sera égale à ds^j la relation
cosa cosê cosy
iix df dz
donnera donc t \ àx ^ dy dz
(l) COSa=— -1 COS6=:— -, C0S7=--9
* ' ds ds ds
ou
( 2 ) dx = ds CCS a, djr = ds cos 6, dz = ds cosy.
Dans ces formules ds représente le radical
^€ix* -f- df* -h dz*
et son signe est indéterminé. Si l'on prend successivement le signe -h et le signe — , on aura deux systèmes de formules qui se rapporteront respectivement aux deux directions opposées de la tangente.
Du rayon de courbure en un point d^une courbe
quelconque,
261 . Soit AM un arc d'une courbe quelconque ; supposons que cet arc soit parcouru par un mobile partant de A et se dirigeant vers M; prenons alors pour direction de la tangente en chaque point la limite vers laquelle tend la direction de la droite partant de ce point et aboutissant à un point suivant infiniment voisin. Décrivons une sphère dont le rayon soit égal à l'unité de
382 CilLGUL DIFFÉHEIVTIEL.
longueur et dont le centre soît «n un point quelconque O ; tirons enfin des rayons parallèles aux directions des tangentes menées par les divers points de l'arc AM. Le lieu des extrémités de ces rayons sera une courbe sphérique, et la longueur de Tare (x.[l=^ a de cette courbe, qui répond à l'arc AM = 5 de la courbe donnée, sera dite la courbure de Tare AM.
Si l'extrémité A de l'arc AM est fixe et que Textrémité M soit mobile, 5 et <j seront des variables; la différentielle da de la courbure est ce qu'on nomme Vangle de contingence de la courbe donnée au point M.
Dans le cas où la courbe AM est plane, afx est l'arc de grand cercle qui mesure l'angle des tangentes aux extrémités de l'arc AM. Les définitions précédentes s'accordent donc avec celles que nous avons données dans le Chapitre VII en traitant des courbes planes.
Si l'on donne à l'arc i l'accroissement infiniment petit A5 = MM', la courbure a prendra l'accroissement correspondant Aff = up.' , Soit i l'angle formé par les direc-, lions des tangentes MT, M'T' menées aux extrémités de l'arc MM'; cet angle i sera égal à fJtO^' ou à l'arc de grand cercle /x^'; par conséquent on aura
/ arc de cercle a/:*' arc de cercle p/x' corde /uiu'
Aff arc de courbe ^^' eu» Je j:*^' ^ "^ arcdecouihe /xcx'
d'où
lim — =:: I ,
Ao-
