CHAPITRE IX

Donc : Le rapport de l'angle, formé par les tangentes aux extrémités d^un arc infiniment petit, à la courbure de cet arc, a pour limite l'unité.

Comme dans le cas des courbes planes, nous nommerons courbure moyenne d'un arc de courbe le rapport de la courbure absolue à la longueur de Tare. Pareillementy la courbure d'une courbe en un point M sera encore la limite de la courbure moyenne d'un arc infini- \ ment petit ayant l'une de ses extrémités au point M ; le rayon de courbure sera le rayon du cercle dont la courbure est égale à la courbure de la courbe donnée au point M, et ce cercle lui-même sera dit le cercle de courbure.

D'après ces définitions, la courbure de la courbe AM au point M sera

lim — 9 ou - :

A5 as

donc, si l'on désigne parR le rayon de courbure, on aura

comme dans le cas des courbes planes. Les différentielles ds^ da seront toujours de même signe.

262. La courbe AM étant rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires, plaçons à l'origine de ces coordonnées le centre de la spbère dont nous avons fait usage. Désignons par x, y, z les coordonnées du point M et par a, 6, y les angles que fait, avec les directions positives des axes, la direction MT de la tangente en M; les coordonnées du point \k de la courbe sphérique seront

ces a, cos 6, ces 7 \ par conséquent, la différentielle de de l'arc a = «^ aura

384 CALCT3L DIFFÉRENTIEL.

pour valeur

(i) d(T zj= ^(^/cosa)'-f- (</cos6)*H- [dcosy)^» ■

On peut obtenir d^ au très expressions de d7 qp'il est utile de connaître. A cet effet, différentions l'expression

cosa =z -— dxj as

sans fixer la variable indépendante ; on aura

rfcos a=z "-' d^x pr dx.

ds dsr

d*où, en élevant au carré,

(dco%aY=. -7t(^*Jp)*— 2-— ■ dxd*x-\- L__L^î. ^ ' ds* ^ ' ds^ ds*

si l'on remplace dans cette formule x par j^, puis par z, on obtiendra les expressions de (rfcos/3)^ et (rfcosy)^ ; on aura donc pour la somme d<j^ de ces trois carrés la valeur suivante :

. d^^=.-^^[[d^xY-^ [d^xY^ [dHY]

d^s — 2 -7-5 ( dxd^x -i- djrd^jr -r- dz d^z]

^\^^(dx*-^,-djr*^dz*].

Or l'équation

dx* l dx* 4- dz* ^ ds^

donne par la différentiation

dxd*x H- dyd^y -H- dzd*z = dsd*s,

et, après la substitution de ces valeurs, dans l'expression de da^f on aura

j^^ s/{d*x)*-^(d*x)'-h{dH'f^[d*s)* ^ ' ' ds