Si, dans la formule

on écrit successivement z \j — 1 et — z \J — i au lieu de z, on aura

c'est-à-dire (n» 367)

1 tf=N/-* =: COS2 -I- v^ — I sin3,

( er^>F^z=i COS3 — v^ — i sinz,

formules où z désigne une quantité réelle ou imaginaire quelconque. On déduit de là

GHAPiTRE XI. 555

et

(3) tangz = ~ ^- Tj^y-''

Les fonctions circulaires s'expriment donc par des exponentielles, et inversement les exponentielles peuvent être remplacées par des fonctions circulaires. Si/: désigne un entier quelconque, on aura, par les formules (i),

3G9. Si, dans la formule fondamentale

tf=X e'ir^- e^"*"-«,

on remplace z et z« par 2: y — i et Z| yj — i, puis par

Z\l I et Zj y/'

cos(2-t-2i) + y/—

= \^COS3 -\- \j —

cos(z 4-«i) — \/ —

= (cOS3 — \J —

on aura, par les formules (i),

sin [z-T- Zx]

sxxïz) (cos3j -I- ^ — i sin^i),

sin(2 -f- «i)

sin 3) (cos3j — v^ — 1 sinz,);

en ajoutant ensemble ces deux équations et en retranchant ensuite la seconde de la première, on trouve

( cos(5^- 2i) = cosz. cos3j — siu^sinzi, ' f siiifs -h 3i ) 3~ sin 3 coszj -f- cosz sinzj.

Ce sont les formules fondamentales de la Trigonométrie générale; elles s'appliquent, comme on le voit, à deux quantités quelconques z, z^ , réelles ou imaginaires, et la même chose a lieu, en conséquence, à Tégard de toutes les autres formules que Ton a déduites des équations (6), dans la Trigonométrie, pour le cas des variables réelles. On a, par la formule (3) du n*» 366, en désignant

556 CiLÈDL DIFFÉRENTIEL.

par fJLeiy des entiers positifs^

changeant z en z ^ — i et extrayant la racine v**"* des deux membres, il vient

I (cosz±:^'— I sinzji*