COS2J

Dans le cas de j: = o, les formules (9) deviennent

co^\XyJ—i)=- — -»

sin(7^^) = ^-— \/— i;

on en tire, par la division,

(12) tang(7v/^) ^ ^7^^ ^^-

De la fonction logarithmique et des fonctions circulaires inverses, dans le cas d'une variable imaginaire,

371 . îiousnoTnmerons logarithme népérien d'une quantité donnée z=x -hj y- — i toute quantité u 4- i' y — ' telle, que Ton ait

(1) c«+»'V^=a: -4- jV"-^-

Posons

j: =: p cosfii), X'=^ p sin ûi,

p étant positif et o) étant compris entre les limites — tt

et -htt; l'expression donnée a:-|-j^y/^^^ pourra être mise sous la forme

p(cosw -I- V — I sinwj = p^^r-*, et l'équation (i) deviendra

e" vcosi^ -!- ^ — I sinr; = p(cos« ~\- )j — i sinoi);

or, pour que cette équation ait lieu, il faut et il suffît que les expressions contenues dans les deux membres aient le même module et que leurs arguments ne diffèrent que par un multiple de la circonférence. On a donc

e" =1 p, d'où « = logp et

h étant un entier indéterminé.

Il résulte de là qu'une quantité imaginaire z=pé^'^~-'* a une infinité de logarithmes népériens qui sont donnés par la formule

(2) log« = logp -f- (w -h aX'îr) y/— I.

Si l'on suppose Âr = o, on aura, en adoptant une locu*