CHAPITRE XII. 6l
E (x) désignant une partie entière qui peut être nulle, et A, A^, . ., L, L<, ..., P, Q, P|, 1^4, ..., R, S, R|, Sf, ... des constantes réelles.
403. Théorème III. — Une fraction rationnelle n'est décomposable que d'une seule manière en fractions simples de la forme qu'on "vient de considérer.
Soient deux valeurs d'une même fraction rationnelle
— — '■• On démontrera, comme au n° 393, l'égalité des
fractions simples qui correspondent aux facteurs du premier degré du dénominateur, et quant à celle des fractions simples qui correspondent aux facteurs du second degré, elle peut se démontrer d'une manière ana-
lofifue, comme onvalevoir. Soient 7— r -!=-— le terme
dont le dénominateur contient la plus haute puissance
de x^-^ px -hq dans la première valeur de -^-4 ' et
7—; ^^ — 7-7 le terme analos^ue dans la seconde va-
leur. Je dis d'abord que n*z=zn. Supposons, en effet, que cela ne soit pas, et que l'on ait n'^n* : de l'égalité
qui a lieu entre les deux valeurs de -J— / tirons la valeur
de r— r ^ — —; cette valeur sera exprimée par une
somme de quantités dont aucune n'a en dénominateur une puissance de x^ -hpx -h q supérieure à la (n — i )**"*. En réduisant donc toutes ces quantités au même dénominateur, on aura une égalité de la forme
Vx-hQ f{x)
[x*-hpx -h^)" "~ [x* ^ px + q }"-^ ^[x)^
ou
Px-4-Q— (j?«-f-/>x-+-7) jT^5
6l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
<f{oo) etf^/^x) désignant des polynômes, dont le second ^{x) n*est pas divisible par x^ -hpx-i-y. Or l'égalité précédente est impossible; car, autrement, l'équation Px -H Q = o devrait mettre les deux racines de l'équation x^-h px -t-y = o, ce qui ne peut arriver, à moins que P et Q ne soient nuls en même temps contrairement à l'hypothèse. On ne peut donc supposer n >/z' ni n'^Uy pour une raison semblable; par conséquent, on
Je dis maintenant que l'on a aussi P'=P, Q'= Q. Reprenons, en effet, l'égalité qui a lieu par hypothèse entre
les deux valeurs de -j^t mettons dans un même membre
I j Px-4-Q P'x-4-Q' ^ j
les deux termes --r ^^„ et j-i » et dans
le second membre tous les autres termes dont les dénominateurs ne contiendront aucune puissance de x^-^-px-hq supérieure à la [n — i^*™»; réduisant tous ces derniers termes au même dénominateur, on aura une égalité de cette forme :
[x^-^px-^ q)"- [x'^-i-px -h îj'*-**f IJ?)'
ou
(P P') X + (Q - Q') = (:r« + /,« + <7) ijjj ,
^[x) Ql^ix) désignant, comme précédemment, des polynômes dont le second n'est pas divisible parx^-4-^a:-f-y, et l'on fera voir aussi, comme plus haut, que cette égalité exige
II suit de laque, dans les deux valeurs de --7— J > les termes
qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance d'un facteur du second degré sont égaux; en supprimant
