La théorie que nous venons d'exposer s'applique

à toutes les fractions rationnelles -t-t— r ? et les coeflQcients

peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou imaginaires. Mais lorsque ces coefficients sont réels et que parmi les racines de l'équation y (a?) = o il s'en trouve quelques-unes qui sont imaginaires, l'expression de la

Fix) fonction réelle ji — r est elle-même compliquée d'imaginaires. On a cherché à modifier, dans ce cas, la manière d'effectuer la décomposition, et l'on y est parvenu comme nous allons l'indiquer.

401. La possibilité du nouveau mode de décomposition que nous avons en vue résulte du théorème suivant :

Théorème L — Si x^-hpx -+- q est le produit de deux facteurs imaginaires conjugués du polynôme réel f[x)y n la plus haute puissance de ce trinôme qui dis^ise f{pc)» en sorte qu'on ait

f[x)^{x^-hpx^qYf^[x),

la fraction réelle et rationnelle -;n—\ pourra être décomposée en deux parties, de la manière suix^ante :

Y[x) __ Px^-0 ^ Fi(.r)

/(.r)"~ [x^'^px^qY'' [x^^px-^qY'-^f\[x)^

P et Q étant des constantes réelles, et F<(x) un polynôme réeL

CHAPITKE XII. 6ll

En effet, on a identiquement

/(^) (*'-f-77.r-+-^)Vi('a^)

^ Px + Q ^ F(x)-(P^-4-Q)/(.r),

et Ton peut déterminer P et Q de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre soit divisible par a:*H-px-f-y, c'estrà-dire de manière que ce numérateur s^annule quand on remplace x par chacune des racines de Féquation

x*-\-px -+- y := o.

Soient /i -4- A: y/— I et h — k^ — i ces deux racines, et posons

on tirera de là

M et N étant des quantités réelles dont les valeurs sont finies et déterminées, puisque, par hypothèse, /*| [x) n'est pas divisible par X* H- px-f- y. L'équation précédente se décompose dans les deux suivantes :

p;i^Q = M, Pit^rN,

lesquelles donnent pour P et Q ces deux valeurs réelles

et finies,

^ N ^ M^fr — N^

Les valeurs de P et Q étant ainsi déterminées, nous poserons

6ia CALCUL DIFFÉaElITIEL.

Fi[x) désignant un polynôme réel, et Ton aura

ce qu'il fallait démontrer.

F(x) Corollaire. — La fraction rationnelle ~~ pourra

se décomposer de la manière suivante :

Y[x] __ Pj?-4-Q P|j?-hQt

P, Q, Pi, Qf, ... désignant des constantes réelles et Fn{x) un polynôme réel.

402. En combinant le théorème précédent avec le théo rème analogue démontré au n^392; on obtient celui-ci :

Théorème IL — Si l'on décompose le polynôme / (x) en facteurs réels du premier et du deuxième degré, en sorte quon ait

/(x)=(:r— fl)*(jr— e)*...(x—/)^(jr«-+-;>«-h^)»...(x«-t-rx-f-5)'«,

on pourra décomposer la fraction rationnelle yr-^ de la manière suii^ante :

Tî — : =^ E( j:) + 7 r: + 7 rr-r -{- , * .-^

/(jr) ^ ' (x— a)* [x — a]'^^ x — a

[X'-lf [x — l]^^ ' ■• • x — l

P^ + Q ^ Pi^ + Qi ^P„tJr-r-Q