Méthodes de décomposition. — Pour effectuer la

Ffx) décomposition d'une fraction rationnelle -A— 79 on déter-

minera la partie entière et les fractions qui correspondent

aux facteurs réels du premier degré du dénominateur, comme on l'a vu aux n*^* 395 et suivants. Quant aux fractions qui correspondent aux facteurs réels du second degré, on pourra les déterminer successivement par le procédé même qui nous a servi à démontrer le théorème I. Onpourraaussi faire usage de laméthode des coefficients indéterminés.

Dans le cas où les racines imaginaires de l'équation /(x) = o sont toutes inégales, on peut déduire la nouvelle expression de la fraction rationnelle -r, — l de celle

qui a été établie au n*^ 394. Soient, en effet h-hk^—i et

h — k^ — I deux racines simples imaginaires et conjuguées de l'équation y*(x) = o; l'expression de la fraction -^. — ■ contiendra les deux termes suivants :

dont la somme a la forme

X — h — ky^ — i X — h-\-k^ —

6l6 GÂLCtlL DIFFÉRENTIEL.

et peut en conséquence se réduire à une expression teUe

que

Px-f-Q

(or— /i)»-+-/r«

Il résulte de là que la fraction , ? où P et Q

désignent des constantes réelles, pourra remplacer, dans l'expression de —, — r ? les deux fractions simples qui correspondent aux racines h±k\l — i.

Détermination d'une fonction entière par le moyen des valeurs qui répondent à des valeurs données de la variable,

405. Une fonction entière du degré m de la variable x est entièrement déterminée lorsque l'on connaît les valeurs de cette fonction qui répondent à m -h i valeurs données de x. La formule qui détermine la valeur de cette fonction est précisément, comme on va le voir, celle qui a été établie au n^ 394, et qui exprime la valeur d'une fraction rationnelle décomposée en fractions simples.

Soient

''o» ''il ''ti • • •» "m

les valeurs d'une fonction F(x) du degré /n, correspondant aux valeurs données

4?0, ^1, Xj, . . . , Xjf^

de la variable x\ posons on aura

X '— Xq X —^ X^ X ^~" Xffg