Soit

une fonction donnée de la variable indépendante x. Représentons par d*« la différentielle de cette fonction pour un accroissement arbitraire h^ attribué à la variable x\ on a (n« 18)

(2) rfV=/'(x)^,.

JO CALCUL DIFFÉRElfTIEL.

Cette dififérentielle est elle-même une fonction de x\ sa différentielle, prise en attribuant à la variable x un accroissement arbitraire h^j est la différentielle du second ordre de la fonction j, que nous représenterons par le symbole d^^d^^j. On a

Deanéme, la différentielle de cette différentielle du second ordre, relative à un accroissement arbitraire h^ attribué à la variable x, sera donnée par la formule

En continuant ainsi, on obtient une suite

dans laquelle chaque terme est la différentielle du précédent, relative à un certain accroissement attribué à la variable x. Le terme qui occupe le rang n est la différentielle d'ordre n de la fonction j^, et l'on a

(3) <f*- . . . df'tdf'xy =/«( jr)A,/#, ... A».

Il résulte de cette formule que la différentielle d'ordre n ne change pas quand on change l'ordre des caractéristiques d.

Ordinairement on suppose toutes les quantités A|, Aa, . , ., h„y ... égales entre elles. Soit h leur valeur commune : alors les différentielles des divers ordres se représentent par les symboles

et Ton a

d'où