CHAPITRE III

celles-ci devaDt d*aillears être réduites à

quand k est zéro»

Cette proposition est démontrée dans le cas de deux facteurs; donc, pour en établir la généralité, il suiBt de prouver que, si elle a lieu pour un produit de m — i facteurs, elle subsiste encore dans le cas d'un produit de m facteurs. A cet effet, désignons par j" le produit des m — I facteurs u, Uy . . . , çv. On aura symboliquement

Considérons un terme quelconque du développement de cette puissance, savoir :

d'après ce qui a été dit plus haut, ce terme donnera dans d"{u{^. . .ws)le terme correspondant

Or, par hypothèse, on a symboliquement

d'^jr z=:[du'hdu-^, , ,-h dw)^;

donc le terme précédent écrit symboliquement sera

Ckidu-^du-h^..-^ dw^ds'^'',

et, en faisant la somme de tous les termes, on aura encore symbol iquement

<f'*(ttf. . .wj) = [du -f-fl?f -h. . .-h^ffv -\'ds)^.

* Différentielles des divers ordres des fonctions implicites.

68. Considérons d'abord le cas d'une fonction j^ de la variable x, définie par une équation donnée

y étant une fonction de x, f{xyj) est une fonction composée, et, puisque cette fonction a une valeur constante qui est zéro, ces différentielles de tous les ordres sont nulles. On a donc, en égalant à zéro ces diverses différentielles, et en observant que dx est une constante,

or ojr

Ces formules font connaître successivement les différentielles djy d^j, d^jj . . . , et, par suite, les dérivées dy d*y d^y

dr elz^ djc^

G9. Considérons maintenant le cas le plus général où Ton a m équations

entre une variable indépendante a: et m fonctions y^ 2, u, ... de cette variable.

y, ZfU^ ... sont des fonctions de Xy et par conséquent y, F, cp, ... sont des fonctions composées dont les valeurs sont nulles; les différentielles des divers ordres de ces fonctions sont donc nulles elles-mêmes. En différentiant