CHAPITRE III
en entendant qu'après avoir formé le carré de dy on y remplacera
(àyy (d.r\ (dy\
. \d-u) ' [d-uj [-d^'r '"
respectivement par
du* dudv
Ce résultat peut être généralisé et je dis que Ton aura, quel que soit /i,
pourvu que, après avoir formé la puissance n**"* de dy^ on remplace dans chaque terme les facteurs de la forme
\du) \dv) \ÔH') par les dérivées correspondantes
du^dv^dwf . . .
En effet, notre formule symbolique donne la vraie valeur de dy quand n = i ; il suffit donc, pour l'établir, de montrer que, si elle a lieu pour une valeur de /i, elle subsiste pour la valeur immédiatement supérieure. Admettons donc la légitimité de la formule pour TindiccTi, et soit
un terme de son développement. Le terme correspondant de la vraie valeur de d'^jr sera
84 CALCUL DIFFÉREZfTlEL.
Maintenant, pour avoir rf"+*j^, il faut différentier d'^yy et le terme que nous venons d'écrire donnera
puisque du, dyf, dw, . . . sont constantes. Or, par noire convention, ce résultat peut s'écrire symboliquement comme il suit :
\0U Ôv Ôw I
d'où il suit que l'expression symbolique de d^'^^y sera {dyY^X dy ou (rfx)"^*> c® ^^^ démontre la proposition, énoncée.
Cas d'un produit de plusieurs Jonctions.
66. Il ne sera pas inutile d'indiquer ici la formule gé» nérale qui fait connaître l'expression des différentielles des divers ordres du produit de plusieurs fonctions.
Considérons d'abord le produit uu des deux fonctions u et i/. On a d'abord
( 1 ) d[uv] =^ vdu -f- udvj
puis
d*(uv] = d[vdu) -h d[udvj =z [vd^ u -h dçdu] -f- [dvdu -h ud^v]^
OU
(2) d^ yUv)=^vd*u-\- ^dvdu -^ ud^v'^
une nouvelle différenliation donnera
(3) (P [uv] z= vd^ u -^ Zdvd' u -^ '^d^vdu + ud^v.
chapithe III.
Dans les formules (i), (2), (3), Tordre des différentielles de u diminue d'une unité, et celui des différentielles de i^ augmente d'une unité quand on passe d'un terme au terme* suivant ; en outre, les coefficients numériques sont respectivement les mêmes que dans les développements des première, deuxième et troisième puissances d'un binôme. On est donc fondé à présumer que l'on a généralement
Cette formule ayant été vérifiée pour n = i, 2, 3, sa généralité sera établie si, admettant qu'elle a lieu pour l'ordre n, on démontre qu'elle subsiste pour Tordre 71 -f-i . Différentions donc la formule (4) et écrivons sur une même ligne les parties qui proviennent de la différentiation des deuxièmes facteurs dans les différents termes, et sur une seconde ligne les parties qui proviennent de la différentiation des premiers facteurs. On aura
zzzvd^-^^u -h 'dvd'^u H — ^— ' d^vd"-^u-^..,'^d'^pdu
-hdçd"u -h-d^vd'^^u-h. . .-7- -d^vdu -h d'^-^v.u. I I
En faisant la réduction des termes semblables, on a|ira une formule qui se déduit évidemment de la formule (4) par le changement de n en n-hi\ donc celle-ci est générale.
La formule (4) peut être écrite symboliquement delà, manière suivante :
86 CALCUL DIFFÉREHTiEL.
effectivement, si Ton exécute le développement de la ^ième puissance de la somme du -h rfj^, en ayant soin d'écrire en facteur dans le premier terme la puissance zéro de di^, et dans le dernier la puissance zéro de duf puis
qu'on remplace
[du)'', [dv]"
respectivement par
quand A n'est pas nul, et par
quand k est nul, il est évident qu'on reproduira la formule (4)-
67. Considérons maintenant un produit de m facteurs, iz, (^, . . . , (V, 5; je dis que Ton a encore symboliquement
d'^[uif , .ws) = [du -h dv -h , . . -h dw -{- tlt)^ ;
c'est-à-dire que, pour avoir la différentielle d'ordre n du produit uuw. . .5, il suffit de former le développement de la puissance /i**™* de la somme
du -{-df -h , . .-h dw -f- ds^
en ayant soin d'introduire en facteur dans chaque terme
la puissance zéro de celles des différentielles du, rfi^, . . . ,
dwy ds qui n'y figurent pas, et de remplacer ensuite les
puissances
e/tt*, </t^, . . . , dt^'f ds*
par les différentielles d'ordre Ar,
rf*tf, d'^v^ .... d'^tv^ d^Sy
