IR
et l'on aura, par la division,
I la*. a*«-* a**
&m désignant, pour abréger, la quantité , \ ^ i dont
la valeur est comprise entre o et i . Donnons à m les valeurs I, 2, 3, ... jusqu'à l'infini, ajoutons ensuite tous les résultats, et remarquons que, si l'on pose
m=l msl
0 sera nécessairement compris entre o et i ; on aura, à cause de la formule (3),
Z\i—e-* a 2/ ^ {2/»ir)* ^ (2/?i7r)* "^" "
d:2a«*-«y , ' ,^ =îZ2ea«'»y . ^-^—^j
m^i mal
cHÂPmiE ni. 2i3
et, si l'on fait
il viendra
(5) { =1l gv-?«»+...± "' ««»-*
0 étant, nous le répétons, une quantité comprise entre o et I.
Ce résultat remarquable est dû à Cauchy ; la fonction de a, qui constitue le premier membre de la formule (5), ne devient infinie que pour les valeurs de a comprises dans la formule a = 2/r7ry — i,/r étant un entier positif ou négatif, mais différent de zéro ; il en résulte que cette fonction est développable en série convergente, par la formule de Maclaurin, pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de cl dont le module est inférieur à 27r, en sorte que Ton a, dans cette hypothèse,
(6) yv=^~'i~^)
= . ^— ? a'-4-...iiz a'**»-"rc..,;
la formule (5) subsiste pour toutes les réelles de a, et elle fait connaître l'expression du reste de la série (6), lorsque Ton s'arrête au terme du rang n.
542. Les coefficients B|, B2, Bs, ..., qui figurent dans les formules (5) et (6), sont connus sous le nom de nom-
21 4 CkhCVL INTÉGBAL.
bres deBernoulU; Téquation (4) fait connaître l'expression générale du /i**"** nombre de Bernoulli, mais cette expression contient la transcendante it et en outre la somme d'une série indéfinie. Il est facile de calculer successivement les nombres B qui sont tous rationnels ; àceteifet, considérons l'équation (6), où nous supposerons a<[27r pour la convergence de la série; si Ton remplace ^ par la valeur égale —^ il viendra
OU
remplaçant les exponentielles par leurs valeurs en séries, on a
X f IH- ^ a« -. . . -f-(-i)»-i ^ ««'*+. . .\ ;
les deux facteurs du second membre sont des séries convergentes, et la deuxième ne cesse pas d'être convergente quand on réduit ses termes à leur valeur absolue, car la série (6) reste convergente quand on remplace a
