CHAPITRE ni

et '--^- — ' s'annulent pour j: = oo , il vient

En portant cette valeur de Iogq> [x) dans Téquation ( 1 5) du n*^ 537, on aurait une expression de logr(j:-+-i) qui a été donnée par Cauchj.

541 • De là on peut tirer la formule de Stirling, mais il est nécessaire pour cet objet de transformer la formule (i); Téquation

TTX

sinirâ?

donne

logr ( H- ar) 4- logr(i — «) = logirar — log sinir j?, ety en différentiant,

(r/logr(l-4-x) ^l0gr(l — x) I COSTTd?

dx dx X sinTTj?

d'ailleurs on a, par la formule (i8} du n^ 537,

€ix \ l -i- Xj \1 ^ -h xj

et f en changeant x en — x^

dx \ I — x) \i 1 — xj

Si donc on porte ces valeurs dans l'équation (a), on aura

2;r ax 2x 1 j é^^-^ -he-^'f-^

H- -= z •+■ ^ ; -♦-...= ir^— I — r

ax 2x 1 J —

I X* 2* — X* 3" — x' X ^Wf^-1 fj-'tx^J-l

aia CALCUL ihtégual.

Cette formule n'est autre chose que celle qui donne la valeur de cotTro: en une série indéfinie de fractions simples, et que nous avons démontrée au n^ 491 ; nous aurions donc pu la prendre ici pour point de départ ; mais, outre qu'elle est établie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles et ima^naires de x^ il n'était pas sans intérêt de la rattacher aux formules que nous avons données dans notre théorie des fonctions F.

Si l'on pose x = > la formule précédente deviendra